1、垂直于弦的直径教案一、教学目标(一)知识与技能：1.充分认识圆的轴对称性；2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理；2.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图.(二)过程与方法：1.让学生经历“实验观察猜想验证归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；2.让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力.(三)情感态度与价值观：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神.二、教学重点、难点重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.难点：1.垂径定理的证明；2.垂径定理的题设与结论的区分.三、教学过程问题情境问题：
2、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.证明：如图，设CD是O的任意一条直径，A为O上点C，D以外的任意一点.过点A作AACD，交O于点A，垂
3、足为M，连接OA，OA. 在OAA中， OA=OA OAA是等腰三角形 又 AACD AM=MA 即CD是AA的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.从前面的证明我们知道，如果O的直径CD垂直于弦AA，垂足为M，那么点A和点A是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A重合，AM与AM重合，分别与，重合. 因此，AM=AM，=，= 即直径CD平分弦AA，并且平分，.这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.定理应用格式： CD是O的直径，AB为弦
4、，CDAB，垂足为E. AE=BE，=，=.进一步，我们还可以得到推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理应用格式： CD是O的直径，AB为O的弦(不是直径)，且AE=BE CDAB，=，=.例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是
5、AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m，CD=7.23m所以，AD=AB=37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即 R2=18.52+(R-7.23)2解得 R27.3(m)因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m练习1.如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径.解：过点O作OEAB，垂足为E，连接OA. AE=BE=AB=8=4(cm)在RtAOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2即 42+32=AO2解得 AO=5cm因此，O的半径为5cm.2.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形.证明： ABAC，ODAB，OEAC A=ODA=OEA=90 四边形ADOE是矩形 ODAB，OEAC AE=CE=AC，AD=BD=AB又 AB=AC AE=AD 四边形ADOE是正方形.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关. 在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.
