22.3 实际问题与二次函数 教案（新人教版九年级上册数学）.pdf

1、教师备课系统多媒体教案教师备课系统多媒体教案 0 22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 教学目标教学目标 1. 会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 3. 根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系 教学重点教学重点 1. 根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系 2. 求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 课时安排课时安排 3 课时. 人教版义务教育教材数学九年级上册 人教版义务教

2、育教材数学九年级上册 1 教案教案 A 第第 1 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（1） 教学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、 拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义从这 节课开始，我们就共同解决这几

3、个问题 二、新课教学二、新课教学 问题 1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t （单位：s）之间的关系式是 h30t5t2 (0t6)小球运动的时间是多少时，小球最 高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时 间 t（单位：s） 然后让学生计算当 t1、t2、t3、t4、t5、t6 时，h 的值是多少？ 再让学生根据算出的数据，画出函数 h30t5t2 (0t6)的图象（可见教材第 49 页图） 根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高 度是多少？ 学生结合图

4、象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分这条抛物线的顶点是 这个函数的图象的最高点，也就是说，当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题 当 t3 时，h 有最大值45 a b 2)5(2 30 a bac 4 4 2 )5(4 302 教师备课系统多媒体教案教师备课系统多媒体教案 2 答：小球运动的时间是 3s 时，小球最高小球运动中的最大高度是 45m 问题 2 如何求出二次函数 yax2bxc 的最小（大）值？ 学生根据问题1归纳总结 ： 当a0（a0） ， 抛物线yax2bxc的顶点是最低 （高） 点，也就是说，当 x时，二次函数 yax2

5、bxc 有最小（大）值 a b 2a bac 4 4 2 三、巩固练习三、巩固练习 探究 1 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而 变化当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 教师引导学生参照问题 1 的解法，先找出两个变量，然后写出 S 关于 l 的函数解析 式，最后求出使 S 最大的 l 值 解：矩形场地的周长是 60 m，一边长为 l m，所以另一边长（l） m场地的 2 60 面积 Sl(30l)，即 Sl230l（0l30） 因此， 当 l15 时， S 有最大值225 也 a b 2) 1(2 30 a bac 4 4 2 ) 1(4

6、 302 就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大 四、课堂小结四、课堂小结 利用二次函数解决实际问题的过程是什么？ 找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定 自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 1、4 题 第第 2 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（2） 教学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 3根据不同条件设自变量 x 求二次函

7、数的关系式 教学重点教学重点 1根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式 2求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 人教版义务教育教材数学九年级上册 人教版义务教育教材数学九年级上册 3 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 探究 2：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映： 如调整价格， 每涨价 1 元， 每星期要少卖出 10 件 ； 每降价 1 元， 每星期可多卖出 20 件 已 知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能

8、使利润最大？ 教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量在这个探究中，某商品调整，销量会 随之变化调整的价格包括涨价和降价两种情况 （1）我们先看涨价的情况 设每件涨价 x 元，每星期则少卖 l0 x 件，实际卖出(300l0 x)件，销售额为(60 + x) (300l0 x)元，买进商品需付 40(30010 x)元因此，所得利润 y(60+x)(300l0 x)一 40(300l0 x)，即 yl0 x2+100 x+6 000 列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定 x 的取值范围呢？ 由 300l0 x0，得 x30再由 x0，得 0 x30 根据上面的函数，可知： 当 x5 时，y 最

9、大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利 润最大，最大利润是 6250 元 （2）我们再看降价的情况 设每件降价 x 元，每星期则多卖 20 x 件，实际卖出(30020 x)件，销售额为(60 x) (30020 x)元，买进商品需付 40(30020 x)元因此，所得利润 y(60 x)(30020 x)40(30020 x)， 即 y20 x2100 x6 000 怎样确定 x 的取值范围呢？ 由降价后的定价(60 x)元，不高于现价 60 元，不低于进价 40 元可得 0 x20 当 x2.5 时，y 最大，也就是说，在降价的情况下，降价 2.5 元，即定价

10、57.5 元时， 利润最大，最大利润是 6125 元 由（1） （2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价 65 元 时，利润最大 三、巩固练习三、巩固练习 1某商场购进一批单价为 16 元的日用品，经试销发现，若按每件 20 元的价格销 售时，每月能卖 360 件，若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销 售件数 y（件）是价格 x（元/件）的一次函数，则 y 与 x 之间的关系式是 ， 销售所获得的利润为 w（元）与价格 x（元/件）的关系式是 2某商店销售一种商品，每件的进价

11、为 2.50 元，根据市场调查，销售量与销售单 价满足如下关系 ： 在一段时间内，单价是 13.50 元时，销售量为 500 件，而单价每降低 1 元，就可以多售出 200 件.设每件商品降价 x 元，总利润为 y 元，请你写出 y 与 x 的函数 关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？ 参考答案：1y30 x96 0，w(x16)(30 x960) 2 y(13.5x2.5)(500200 x)200 x21 700 x550 0，顶点坐标为（4.25， 教师备课系统多媒体教案教师备课系统多媒体教案 4 9112.5） ，即当每件商品降价 4.25 元，即售价为 1

12、3.54.259.25 时，可取得最大利润 9112.5 元 四、课堂小结四、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 8 题 第第 3 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（3） 教学目标教学目标 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2将实际问题转化成二次函数问题 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 复习二次函数 yax2的性质和特

13、点，导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 探究 3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4 m水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？ 教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的 二次函数为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐 标系 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式 人教版义务教育教材数学九年级上册 人教版义务教育教材数学九年级上册 5 如上图，设这条抛物线表示的二次函数为 yax2由抛物线经过点(2，2)，可得 2a22

14、， a 2 1 这条抛物线表示的二次函数为 y x2 2 1 当水面下降 1m 时，水面的纵坐标为3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐 标为，据此可求出这时的水面宽度是 2 666 答：水面下降 1m，水面宽度增加 24m 6 三、巩固练习三、巩固练习 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A 处 安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为 0.8m水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下，如左图所示 根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 yx22x 4 5 （1）喷出的水流距水平面的最大高

15、度是多少? （2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水 池内? 教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求 函数 yx22x 最大值，问题（2）就是求右图 B 点的横坐标 4 5 学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评 四、课堂小结四、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 6、7 题 教师备课系统多媒体教案教师备课系统多媒体教案 6 教案教案 B 第第 1 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（1） 教学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bx

16、c 的最小（大）值 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象 求一元二次方程的根对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模 型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究 二、新课教学二、新课教学 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t （单位：s）之间的关系

17、式是 h30t5t2 (0t6)小球运动的时间是多少时，小球最 高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时 间 t（单位：s） 然后画出函数 h30t5t2 (0t6)的图象（可见教材第 49 页图） 根据函数图象，可以观察到当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值也就是说， 当小球运动的时间是 3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是 45m 一般地，当 a0（a0） ，抛物线 yax2bxc 的顶点是最低（高）点，也就是 说，当 x时，二次函数 yax2bxc 有最小（大）值 a b 2a bac 4 4 2 探究 1

18、用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而 变化当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 教师引导学生参照问题 1 的解法，先找出两个变量，然后写出 S 关于 l 的函数解析 式，最后求出使 S 最大的 l 值具体步骤可见教材第 50 页 三、巩固练习三、巩固练习 1已知一个矩形的周长是 100 cm，设它的一边长为 x cm，则它的另一边长为 人教版义务教育教材数学九年级上册 人教版义务教育教材数学九年级上册 7 _cm，若设面积为 s cm2，则 s 与 x 的函数关系式是_，自变量 x 的取值 范围是_当 x 等于_cm 时，s 最大，为_ cm2

19、. 2已知：正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上任意一 点，且 AE=AF，若 EC=x，请写出AEF 的面积 y 与 x 之间的 函数关系式，并求出 x 为何值时 y 最大 参考答案：参考答案： 150 x，s=x(50 x)，0x50，25，625 2yx24x，当 x4 时，y 有最大值 8 2 1 四、课堂小结四、课堂小结 今天学习了什么，有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 1、4 题 第第 2 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（2） 教学目标教学目标 1会求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 2能够从实际问题中抽象出二

20、次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 3根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式 教学重点教学重点 1根据不同条件设自变量 x 求二次函数的关系式 2求二次函数 yax2bxc 的最小（大）值 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 1探究 2： 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映 ： 如调整价格， 每涨价 1 元， 每星期要少卖出 10 件 ； 每降价 1 元， 每星期可多卖出 20 件 已 知商品的进

21、价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式具体 教师备课系统多媒体教案教师备课系统多媒体教案 8 步骤见教材第 50 页 2巩固练习 重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区 政府对该花木产品每投资 x 万元，所获利润为 P (x30)210 万元，为了响应我 1 50 国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的 10 年规划时，拟开发此花木产品， 而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 50 万元，若开发该产品，在前 5 年 中，必须每年从专项资金中拿出 25 万元投资修通一条公路

22、，且 5 年修通，公路修通后， 花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 x 万 元可获利润 Q(50 x)2 (50 x)308 万元 49 50 194 5 （1）若不进行开发，求 10 年所获利润最大值是多少? （2）若按此规划开发，求 10 年所获利润的最大值是多少? （3）根据（1） （2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法 教师引导学生先自主分析，小组进行讨论在学生分析、讨论过程中，对学生进行 学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数 的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题 解：（1）若不开发此产品，按原

23、来的投资方式，由 P (x30)210 知道， 1 50 只需从 50 万元专款中拿出 30 万元投资，每年即可获最大利润 10 万元，则 10 年的最大 利润为 M11010100 万元 （2）若对该产品开发，在前 5 年中，当 x25 时，每年最大利润是： P (2530)2109.5（万元） 1 50 则前 5 年的最大利润为 M29.5547.5 万元 设后 5 年中 x 万元就是用于本地销售的投资， 则由 Q (50 x)(50 x) 49 50 194 5 308 知，将余下的(50 x)万元全部用于外地销售的投资才有可能获得最大利润 则后 5 年的利润是 M3(x30)2105(

24、x2x308)5 1 50 49 50 194 5 5(x20)23500 故当 x20 时，M3取得最大值为 3500 万元 10 年的最大利润为 MM2M33547.5 万元 （3）因为 3547.5100，所以该项目有极大的开发价值 三、课堂小结三、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 四、布置作业四、布置作业 习题 22.3 第 8 题 人教版义务教育教材数学九年级上册 人教版义务教育教材数学九年级上册 9 第第 3 课时课时 教学内容教学内容 22.3 实际问题与二次函数（3） 教学目标教学目标 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次

25、函数及性质解决最小（大） 值等实际问题 教学重点教学重点 1根据不同条件建立合适的直角坐标系 2将实际问题转化成二次函数问题 教学难点教学难点 将实际问题转化成二次函数问题 教学过程教学过程 一、导入新课一、导入新课 复习二次函数 yax2的性质和特点，导入新课的教学 二、新课教学二、新课教学 探究 3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4 m水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？ 教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的 二次函数为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的

26、对称轴为 y 轴建立直角坐 标系 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式 设这条抛物线表示的二次函数为 yax2由抛物线经过点(2，2)，可得这条抛物 线表示的二次函数为 yx2 2 1 当水面下降 1m 时，水面宽度就增加 24 m 6 三、巩固练习三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽 AB1.6 m 时，涵 洞顶点与水面的距离为 2.4 m这时，离开水面 1.5 m 处，涵洞宽 ED 是多少？是否会超 教师备课系统多媒体教案教师备课系统多媒体教案 10 过 1 m？ 分析：根据已知条件，要求 ED 的宽，只要求出 FD 的长 度在如右图的

27、直角坐标系中，即只要求出 D 点的横坐 标因为点 D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到 点 D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算 出点 D 的横坐标 2让学生完成解答，教师巡视指导 3教师分析存在的问题，书写解答过程 解 ： 以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线 为 x 轴，建立直角坐标系 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，开口向下，所以可 设它的函数关系式为 yax2 (a0) 因为 AB 与 y 轴相交于 C 点，所以 CB0.8（m） ，又 OC2.4 m，所以点 B AB 2 的坐标是(0.8，2.4) 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人，得2.4a0.82 所以 a 15 4 因此，函数关系式是 yx2 15 4 OC2.4 m，FC1.5 m，OF2.41.50.9（m） 将 y0.9 代入式得 0.9x2 15 4 解得 x1，x2 5 6 5 6 涵洞宽 ED20.981 5 6 四、课堂小结四、课堂小结 今天你学习了什么？有什么收获？ 五、布置作业五、布置作业 习题 22.3 第 6、7 题