人教版九年级数学上册教案：21.2.3 公式法.pdf

1、1 21.2.321.2.3 公式法公式法 教学内容教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程； 2公式法的概念； 3利用公式法解一元二次方程 教学目标教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念， 会熟练应用公式法解一元 二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2+bx+c=0（a0）的求根公 式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程 重难点关键重难点关键 1重点：求根公式的推导和公式法的应用 2难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4

2、x2-3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为 1，得：x2- 7 6 x=- 1 6 配方，得：x2- 7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 = 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 = 1 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） （1）移项； （2）化二次项系数为 1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n 的形式； （5）

3、如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元 二次方程无解 二、探索新知二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a0） ，你能否用上面配方法的步骤求 出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问题问题：已知 ax2+bx+c=0（a0）且 b2-4ac0，试推导它的两个根 x1= 2 4 2 bbac a ， 2 x2= 2 4 2 bbac a 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c也当成一个具体数字， 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为 1，得 x2+ b a x=

4、- c a 配方，得：x2+ b a x+（ 2 b a ）2=- c a +（ 2 b a ）2 即（x+ 2 b a ）2= 2 2 4 4 bac a b2-4ac0 且 4a20 2 2 4 4 bac a 0 直接开平方，得：x+ 2 b a = 2 4 2 bac a 即 x= 2 4 2 bbac a x1= 2 4 2 bbac a ，x2= 2 4 2 bbac a 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时， 将 a、b、c 代入

5、式子 x= 2 4 2 bbac a 就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例例 1用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3） （x-2） （3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=240 x= ( 4)2442 626 2 242 3 x1= 26 2 ，x2= 26 2 （2）将方程化

6、为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-43（-2）=490 x= ( 5)4957 2 36 x1=2，x2=- 1 3 （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-439=130 x= ( 11)131113 2 36 x1= 1113 6 ，x2= 1113 6 （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-441=-70 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P42 练习 1 （1） 、 （3） 、 （5） 四、应用拓展

7、四、应用拓展 例例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2 2m x +（m-2）x-1=0 提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？ 分析分析 ： 能 （1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）0 （2）要使它为一元一次方程，必须满足: 2 11 (1)(2)0 m mm 或 2 10 20 m m 或 10 20 m m 解：解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 当 m=1 时，m+1=1+1=20

8、 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） 当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 4 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x= ( 1)91 3 2 24 x1=，x2=- 1 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=- 1 2 （2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时， （m+1）+（m-2）=2m-1=-10 所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0，m 不存在 当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-30 所以 m=-1 也满足题意 当 m=0 时，一元一次方程

9、是 x-2x-1=0， 解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=- 1 3 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1； 当 m=-1 时，其一元一次方程的根为 x=- 1 3 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业六、布置作业 1教材复习巩固 4 2选用作业设计: 一、选择题一、选择题 1用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（ ） Ax= 36 2 Bx= 36 2

10、Cx= 32 3 2 Dx= 32 3 2 2方程2x2+43x+62=0 的根是（ ） Ax1=2，x2=3 Bx1=6，x2=2 5 Cx1=22，x2=2 Dx1=x2=-6 3 （m2-n2） （m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 2 二、填空题二、填空题 1一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当 x=_时，代数式 x2-8x+12 的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_ 三、综合提高题三、综合提高题 1用公式法解关于 x

11、的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根， （1）试推导 x1+x2=- b a ，x1x2= c a ；（2）求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，那么这户居 民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10元用电费外超过部分 还要按每千瓦时 100 A 元收费 （1） 若某户 2 月份用电 90 千瓦时， 超过规定 A 千瓦时， 则超过部分电费为多少元？（ 用 A 表示） （2）下表是这户居民 3 月

12、、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？ 答案答案: 一、1D 2D 3C 二、1x= 2 4 2 bbac a ，b2-4ac0 24 3-3 三、1x= 222 2444 2 aaba =ab 2 （1）x1、x2是 ax2+bx+c=0（a0）的两根， x1= 2 4 2 bbac a ，x2= 2 4 2 bbac a x1+x2= 22 44 2 bbacbbac a =- b a ， x1x2= 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a = c a 6 （2）x1，x2是 ax2+bx+c=0 的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =0 3 （1）超过部分电费=（90-A） 100 A =- 1 100 A2+ 9 10 A （2）依题意，得：（80-A） 100 A =15，A1=30（舍去） ，A2=50