1、 2020 年高三学期初第一次模拟考试 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 复数 z 满足 z 7i 12i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z A13i B13i C3i D3i 2. 集合 Ax|2x2，By|y x，0 x4，则下列关系正确的是 AARB BBRA CRARB DABR 3. 已知直线 l：xym0 经过抛物线 C：y22px(p0)的焦点，l 与 C 交于 A、B 两 点若|AB|6，则 p 的值为 A.1 2 B. 3 2 C.1 D.2 4. 九章算术中方田章有弧
2、田面积计算问题,术 曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田 面积计算公式为:弧田面积=1 2(弦矢+矢矢).弧田是 由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧 田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦 的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧 田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦 AB 等于 6 米,其弧田弧所在圆为圆 O,若用上 述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为7 2平方米,则 cosAOB= A. 1 25 B. 3 25 C. 1 5 D. 7 25 7. 数列 n a的前n项和3n n Sk=+（ * nN，k为常数） ，那么下面结论正确的是 A.0k
3、 =时， n a是等比数列 B. k为任意实数时， n a是等比数列 C. 1k = 时， n a是等比数列 D. n a不可能是等比数列 8. 已知四边形 ABCD，BAD120，BCD60，ABAD2，则 AC 的最大值为 A.4 3 3 B4 C.8 3 3 D8 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合要求的。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9. 下列说法正确的是 A.若x，0y ，2xy+=，则22 xy +的最大值为4 B.若 1 2 x ，则函数 1 2 21 yx x =+ 的最大值
4、为1 C.若x，0y ，3xyxy+=，则xy的最小值为1 D.函数 22 14 sincos y xx =+的最小值为9 10. 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0,00), 设 P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b), 则 x1+x2=(8-2kb) k2 , x1x2=b 2 k2, 若 x 轴是PBQ 的角平分线,则 kPB+kQB=1+ 1+1 +2+ 2+1 =(1+)(2+1)+(2+)(1+1) (1+1)(2+1) =212+(+)(1+2)+2 (1+1)(2+1) = 8(k+b) k2(x1+1)(x2+1)=0 即 k=-b, 故直线 l 的方程为 y
5、=k(x1),直线 l 过定点(1,0). 22. （1）由题意知，函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1ax1ln xax， 令 f(x)0，可得 aln x x ， 令 h(x)ln x x (x0)，则由题可知直线 ya 与函数 h(x)的图象有两个不同的交点， h(x)1ln x x2 ，令 h(x)0，得 xe，可知 h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单 调递减，h(x)maxh(e)1 e，当 x0 时，h(x)，当 x时，h(x)0，故实 数 a 的取值范围为 e 1 0，. （2）当 a2 时，f(x)xln xx22x，k(x2)g(x)f(x)，即
6、k(x2)22xx2 xln xx22x，整理得 k(x2)xln xx， 因为 x2，所以 kxln xx x2 . 设 F(x)xln xx x2 (x2)，则 F(x)x42ln x (x2)2 . 令 m(x)x42ln x(x2)，则 m(x)12 x0，所以 m(x)在(2，)上单调递增， m(8)42ln 842ln e2440，m(10)62ln 1062ln e3660，所以函数 m(x)在(8,10)上有唯一的零点 x0， 即 x042ln x00，故当 2xx0时，m(x)0，即 F(x)0，当 xx0时，F(x)0， 所以 F(x)minF(x0)x 0ln x0 x0 x02 2 2 4 1 0 0 0 + x x x x0 2，所以 k x0 2， 因为 x0(8,10)，所以x0 2(4,5)，故 k 的最大值为 4.
