初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第28讲 避免漏解的奥秘.pdf

1、1 第二十八讲第二十八讲 避免漏解的奥秘避免漏解的奥秘 “会而不对，对而不全” ，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高 解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论 分类讨论就是按照一定的标准， 把研究对象分成几个部分或几种情况， 然后逐个加以解 决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略 解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发 生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重 复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行 【例题求解】【例题求解

2、】 【例 1】 四条线段的长分别为 9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们拼成两个直角三角形， 且 AB 与 CD 是其中的两条线段(如图)，则x可取值的个数为 思路点拨思路点拨 AB 是四条线段中最长的， 故 AB=9 或 AB=x， 又 CD 长不定， 所以应就 AB、 CD 的取值作全面讨论 注：初中数学常见的分类方法有： (1)按定义、性质、法则、公式分类； (2)对参数分类； (3)按图形位置分类； (4)按图形特征分类； (5)按余数分类 注 ： 参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必 须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数

3、中有广泛的应用 【例 2】 方程1) 1( 32 x xx的所有整数解的个数是( ) A2 B3 C4 D5 思路点拨思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题， 根据幂指数的意义， 可将原问题分成三个并列 的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于 1；(2)1 的任何次幂等于 1；(3)1的偶次幂等 于 1 2 【例3】 试确定一切有理数r， 使得关于x的方程023)2( 2 rxrrx有根且只有整数根 思路点拨思路点拨 根据方程定义，r是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以， 应对 r=0 及r0 两种情况分类求解 【例 4】 已知一三角形纸片 ABC，面积为 25，BC 边

4、的长为 10，B 和C 都为锐角，M 为 AB 边上的一动点(M 与点 A、 B 不重合) 过点 M 作 MNBC， 交 AC 于点 N 设 MN=x (1)用x表示AMN 的面积 SAMN； (2)用AMN 沿 MN 折叠，使AMN 紧贴四边形 BCNM(边 AM、AN 落在四边形 BCNM 所在的平面内)， 设点 A 落在平面 BCNM 内的点为 A， AMN 与四边形 BCNM 重叠部 分的面积为y试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当x为何 值时重叠部分的面积y最大，最大为多少? 思路点拨思路点拨 折叠AMN，A 点位置不确定，可能在ABC 内或在 BC 边上或在AB

5、C 外， 故需按以上三种情况分别求出y关于x的函数关系式，进而求出y的最大值 注 ： 有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关 系， 其解答结果可能不同， 也可能需要使用不同的方法解决， 初中平面几何按位置关系分类， 最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系 【例 5】 已知Ol与O2外切，Ol的半径 R=2，设O2的半径是 r (1)如果Ol与O2的圆心距 d=4，求 r 的值； (2)如果Ol、O2的公切线中有两条互相垂直，并且 rR，求 r 的值 思路点拨思路点拨 题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一， 故应分类讨论

6、3 注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形： (1)由点的不确定定引起的分类讨论； (2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论； (3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论 学力训练学力训练 1已知 m 为实数，如果函数62)4( 2 mmxxmy的图象与x轴只有一个交点，那么 m 的取值为 2若实数a、b满足058 2 aa，058 2 bb，则 1 1 1 1 b a a b 的值为 3若半径为 5 和 4 的两个圆相交，且公共弦长为 6，则它们的圆心距等于 4已知O 和不在O 上的一点 P，过 P 直线交O 于 A、B 点，若 PAPB=4，OP=5， 则O 的半

7、径为 5和抛物线1108 2 xxy只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为( ) A76 xy B1x C76 xy或1x D1y 6若线段 AB 两端点到直线l的距离分别为 4 和 8，则 AB 的中点到直线l的距离是( ) A2 B4 C6 D2 或 6 7点 A(-4，0)，B(2，0)是xoy坐标平面上两定点，C 是2 2 1 xy的图象上的动点，则满 足上述条件的直角ABC 可以画出( ) A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个 8如图，在直角梯形 ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边 AB 上的点 P 使得以 P、 A、D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点

8、的三角形相似，那么这样的 P 点有( ) A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 9已知关于x的方程022) 13( 22 kkxkx (1)求证：无论k是取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形 ABC 的一边长6a，另两边长为b、c恰好是这个方程的两个根，求此三 角形的周长 10已知：如图，抛物线 C1经过 A，B，C 三点，顶点为 D，且与 x 轴的另一个交点为 E （1）求抛物线 C1的解析式； （2）求四边形 ABCD 的面积； （3）AOB 与BDE 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由； （4）设抛物线 C1的对称轴与 x 轴交于点 F，另一条抛物线

9、C2经过点 E（抛物线 C2与抛物 4 线 C1不重合） ，且顶点为 M（a，b） ，对称轴与 x 轴相交于点 G，且以 M，G，E 为顶点的 三角形与以 D，E，F 为顶点的三角形全等，求 a，b 的值（只需写出结果，不必写出解答过 程） 11以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 9cm 和 5cm，O与这两个圆都相切，则O 的半径是 12在ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角 B 的大小为 13如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，若以 C 为圆心，R 为半径所作的圆 与斜边 AB 只有一个公共点，则 R 的取值范围是

10、14已知点 A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中 m6，以 M 为圆心，MC 为半径 作圆，那么当 m= 时，M 与直线 AB 相切 15关于x的方程01) 1( 2 xkkx有有理根，求整数是的值 16华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下： (1)若一次购物少于 200 元，则不予优惠； (2)若一次购物满 200 元，但不超过 500 元，按标价给予九折优惠； (3)若一次购物超过 500 元，其中 500 元的部分给予九折优惠，超过 500 元部分给予八 折优惠 小明两次去该超市购物， 分别付款 198 元与 554 元， 现在小亮决定一次去购买小明分两 次购买的

11、同样多的物品，他需付款多少? 17如图，已知：ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P 点在 AC 上(与点 A、C 不重合)，Q 点在 BC 上 (1)当PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 CP 的长； (2)当PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长； (3)试问：在 AB 上是否存在点 M，使得PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明 理由；若存在，请求出 PQ 的长 y y x x B B O O A A D D E E C C( (2 2, ,3 3) ) 3 3 - -1 1 - -2 2 5 18已知关于x的方程0) 1(

12、 2 pxqpx(q0)的两个实数根为，且 (1)试用含有，的代数式表示p和q； (2)求证：1 (3)若以，为坐标的点 M(，)在ABC 的三条边上运动，且ABC 顶点的坐标分 别为 A(1，2)，B( 2 1 ，1)，C(1，1)，问是否存在点 M 使p+q= 4 5 ，若存在，求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 19某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场 售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示 ； 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙 表示的抛物线段表示 (1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系)(tfP ； 写出图乙表示的种植成本与时间的 函数关系式)(tgQ (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和 种植成本的单位：元102，时间单位：天) 6 参考答案参考答案 7 8