湖北省荆州市沙市区2016-2017学年高二数学下学期期中试题[理科](有答案，word版).doc

1、 1 湖北省荆州市沙市区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间： 2017 年 4月 18日 上午 8:00-10:00 试卷满分： 150分 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1下 列说法中错误的是（ ） A给定两 个命题 ,pq，若 pq? 为真命题，则 pq?、 都是假命题； B命题“若 2 3 2 0xx? ? ? ，则 1x? ”的逆否命题是“若 1,x? ，则 2 3 2 0xx? ? ? ”； C若命题 1: , 2 12xxp x R? ? ? ?，则 0:p x R? ? ?

2、 ，使得0 01212x x?； D函数 ()fx在 0xx? 处的导数存在， 00: ( = 0 :p f x q x x?） ； 是 ()fx的极值点 .则 p 是 q 的充要条件 . 2直线 l 的倾斜角是直线 1 : 3 2 0l x y? ? ?的倾斜角的两倍，则直线 l 的斜率为（ ） A 23 B 34 C 34? D 2? 3 已知集合 2, 2 , 1,1 AB? ? ? ?，设 ( , ) | , P x y x A y B? ? ?，在集合 P 内随机取出一个元素(, )xy 为点 Q 的坐标，则点 Q 到直线 0xy?的距离不大于 12 的概率为（ ） A 14 B 2

3、4 C 12 D 22 4 i是虚数单位，复数 ? ?z a i a R? ? ?满足 2 13z z i? ? ?，则 |z =（ ） A 2 或 5 B 2或 5 C 5 D 5 5已知直线 1 0( )ax y a R? ? ? ?是圆 22: ( 1) ( 2 ) 4C x y? ? ? ?的一条对称轴， 过点 ( 2, )Aa? 向圆 C 作切线，切点为 B ，则 |AB? （ ） A 6 B 10 C 14 D 32 6过抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点 F 作倾斜角为 60? 的直线 l 交抛 物线于 AB、 两点，且| | | |AF BF? ，则 | |:| |=

4、AF BF （ ） 2 ODBCAPQ第 7 题 7 899 46 4 4 3 A 13 B 32 C 2 D 3 7如 图是某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数 的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方 差分别为（ ） . A 84 4.84 B 84 1.6 C 85 4 D 85 1.6 8已知点 A 是抛物线 2 4xy? 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且满足 | |= | |PA m PB ，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 AB、 为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ） A 5+12 B 2+

5、12 C 2+1 D 51? 9函数 ()fx的定义域为 R ，且满足 (2) 1f ? ， ()fx的导函数 ()fx的图象如右图，若正实数 ,ab 满足 (2 ) 1f a b?，则 11ba? 的取值范围为（ ） A 2( ,2)3 B 1( ,3)2 C (1,4) D 13( , )32 10现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在 4 个车库中（每个车库放 2辆），则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法有（ ）种 A 144 B 108 C 96 D 72 11 如图，在三棱锥 A BCD?中， 2 , 2B C D C A B A D

6、 B D? ? ? ? ?， 平面 ABD? 平面 ,BCDO为 BD中点， ,PQ分别为线段 ,AOBC 上的动点（不含端点），且 AP CQ?，则三棱锥 P QCO?体积的 最大值为 （ ） A 248 B 224 C 216 D 14 12 已知函数 ? ? lnf x x x x?,若 kZ?,且 ( 1) ( )k x f x? 对任意的 1x? 恒成立，则 k的最大值为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 请将答案填在 答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . x y O 第 8 题 3 13曲线

7、 lny x x? 在 1x? 处的切线与曲线 2y ax ax?相切，则 a? . 14椭圆 122 ?myx 的长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 15 1 21 ( 1 2 )x x dx? ? ? ?. 16 已知定义在 R上的函数 ?fx满足 ? ?21f ?，且 ?fx的导函数 ? ?1f x x?，则不等式 ? ? 21 12f x x x? ? ?的解集为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 对一批电子元件进行寿命追踪调查，从这批 产品中抽取 N个 产品（其中200N?）， 得到频率分布直方图如图 . （）求 m的值； （）

8、从频率分布直方图估算这批电子元件寿命 的平均数、中位数分别是多少？ （）现要从这批电子元件中按频率分布直方图用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 20 的样本，则在 400 500及 500 600这两组中抽出两个电子元件的使用寿命之和大于 1000 小时的概率是多少？ 18（本小题满分 12 分）已知函数 321( ) 2 5 2 ln3f x x x x x? ? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的极值点；（ 2）求函数 ()fx在 1,3 上的最大值和最小值 . 19（本小题满分 12分） 已知以点)2( ttC，（ 0? tRt 且）为圆心的圆与 x轴交于点 O和点 A，与y轴交于点

9、O和点 B，其中 O为原点 （ 1）求证： OAB的面积为定值； （ 2）设直线 42 ? xy 与圆 C交于点 M, N，若 ONOM?，求圆 C的方程 4 F1 x y A O B F2 20（本小题满分 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PC底面 ABCD， ABCD是直角梯形， AB AD，AB CD， AB=2AD=2CD=2 E是 PB 的中点 （ 1）求证：平面 EAC平面 PBC； （ 2）若二面角 P AC E的余弦值为 63，求直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值 21（本小题满分 12 分） 设椭圆 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?

10、的左、右焦点分别为 1F 、 2F ， 上顶点为 A ，在 x 轴负半轴上有一点 B ，满足 1 1 2BF FF? ，且 2AB AF? （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若过 A 、 B 、 2F 三点的圆恰好与直线 3 3 0xy? ? ? 相切，求椭圆 C 的方程； （ ） 在（ ）的条件下， 设直线 l ： y kx m? (其中 k 、 mZ? )与椭圆 C 交于不同两点 ,MN，与双曲线 22:14 12xyD ?交于不同两点 ,EF问是否存在直线 l ，使向量 0NF ME?，若存在，指出这样的直线有多少条，若不存在，请说明理由 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 (

11、 ) ln ( )1af x x a Rx? ? ?. （ 1）当 92a? 时，如果函数 ( ) ( )g x f x k?仅有一个零点，求实数 k 的取值范围； （ 2）当 2a? 时，试比较 ()fx与 1的大小； （ 3）证明： 1 1 1 1l n ( 1 ) ( * )3 5 7 2 1n n Nn? ? ? ? ? ? ? 5 沙市中学 2017年春季高二年 级期中考试理数答案 一、 选择题： D B B C C D D C B D A C 12解： ln ,1x x xk x? ? 令 ln( ) ,1x x xgx x? ? 则 22 ln() ( 1)xxgx x? ? ，

12、令 ( ) 2 lnh x x x? ? ? ， 则 1( ) 1 , 1 , ( ) 0 , ( )h x x h x h xx? ? ? ? ?在 (1, )? 上递增。 由 ( 3 ) 1 l n 3 0 , ( 4 ) 2 l n 4 0hh? ? ? ? ? ? 得， 0 (3,4),x? 使得 ()gx在 0(1, )x 上递减，在 0( , )x ? 上递增， 0 0 0m i n 0 0 0 00ln( ) ( ) , ( ) 2 l n 0 ,1x x xg x g x h x x xx? ? ? ? ? ? ?00ln 2xx? ? ? ，代入上式得： 0 m in 0(

13、) (3, 4)g x x?，故 0kx? . 二、 填空题： 13.1 14. 4或 14 15.? 16. | 2xx? 三、 17. 解： （）由 0 . 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 . 0 0 4 1 0 0 0 . 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1mm? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 0.0015m?， 。 3分 （）平均数估计值为 0 . 0 1 1 5 0 0 . 0 1 5 2 5 0 0 . 0 4 3 5 0 0 . 0 2 4 5 0 0 . 0 1 5 5 5 0 3 6 . 5x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，前 2组的 频率为

14、 0.25，前 3组的频率为 0.65，所以中位数的估计值为0 .2 53 0 0 3 6 2 .50 .0 0 4?. ? 7 （）使用寿命在 400 500有 20 0.2 4?人，在 500 600有 0.15 20 3?人， 故 2437 291 35Cp C? ? ? 10分 18.解： 19. 解：（ 1） OC过原点圆? ， 设圆 的方程是 2222 4)2()( tttytx ? 6 令 0?x，得 tyy4,0 21 ?；令 0?y，得 txx 2,0 21 ? 4|2|4|2121 ? ? ttOBOAS O AB ，即： OAB?的面积为定值 （ 2） , CNCMONO

15、M ? OC?垂直平分线段 MN 21,2 ? ocMN kk? ， 直线 的方程是 xy 21?,tt 212?， 解得： 22 ? tt 或,当 2?t时，圆心 C的坐标为 )1,2(， 5?OC， 此时 C到直线 42 ? xy 的距离559 ?d，圆 与直线 42 ? xy 相交于两点 当 2?t时，圆心 C的坐标为 )1,2( ?， 5?OC， 此时 C到直线 42 ? xy 的距离559 ?d圆 与直线 42 ? xy 不相交， 2?t不 符合题意舍去 ?圆 C的方程为 5)1()2( 22 ? yx 20.（ ）证明： PC 平面 ABCD， AC?平面 ABCD， AC PC，

16、 AB=2， AD=CD=1， AC=BC= ， AC2+BC2=AB2， AC BC， 又 BC PC=C， AC 平面 PBC， AC?平面 EAC， 平面 EAC 平面 PBC ?4 分 （）如图，以 C为原点，取 AB 中点 F， 、 、 分别为 x轴、 y 轴、 z轴正向，建立空间直角坐标系，则 C（ 0， 0， 0）， A（ 1， 1， 0）， B（ 1， 1， 0） 设 P（ 0， 0， a）（ a 0），则 E（ ， ， ）， ? （ 6分） =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， a）， =（ ， ， ）， 取 =（ 1， 1， 0），则 ? = ? =0， 为面 PAC

17、的法向量 设 =（ x， y， z）为面 EAC的法向量， 则 ? = ? =0， 即 取 x=a， y= a， z= 2，则 =（ a， a， 2）， 依题意， |cos ， |= = = ，则 a=2 ? （ 10分） 于是 =（ 2， 2， 2）， =（ 1， 1， 2） 7 设直线 PA与平面 EAC所成角为 ，则 sin=|cos ， |= = ， 即直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值为 ? （ 12分） 21. 解： （ ）由题意知 1( ,0)Fc? ， 2( ,0)Fc ， (0, )Ab， 1 1 2BF FF? 知 1F 为 2BF 的中点， AB 2AF 2Rt ABF? 中， 2 2 222BF AB AF?， 2 2 2 2 2( 4 ) ( 9 )c c b a? ? ?，又 2 2 2a b c? 2ac? ，故椭圆的离心率 12ce a? ?3 分 （ ） 由 （ ） 知 12ca? 得 12ca? ，于是2 1( ,0)2Fa, 3( ,0)2Ba? ， 2Rt