马尔科夫随机场课件.ppt

1、马尔科夫随机场随机过程n在当代科学与社会领域里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。人类历史上第一个从理论上提出并加以研究的过程模型是马尔科夫链，它是马尔科夫对概率论乃至人类思想发展作出的又一伟大贡献。马尔科夫随机过程n通俗的讲，马尔科夫随机过程就是，下一个时间点的状态只与当前的状态有关系，而与以前的状态没有关系，即未来的状态决定于现在而不决定于过去。n用前苏联数学家辛钦（18941959的话来说，就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由

2、现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程一维马尔科夫过程0111100,11,|,|,nnnnnnnnnnnXnTnTi iiIP XiXiXiP XiXiXnT设有随机过程若对于任意正整数和任意的条件概率满足就称为马尔科夫过程，该随机过程的统计特性完全由条件概率所决定马尔科夫随机过程的分类按照参数集和状态空间分成四类n时间和状态都是离散的马尔科夫过程。也成为马尔科夫链n时间连续、状态离散的马尔科夫过程。通常称为纯不连续马尔科夫过程。n时间和状态都是连续的

3、马尔科夫过程。n时间连续、状态离散的马尔科夫过程。马尔科夫随机场马尔科夫随机场包含两层意思n马尔科夫性质n随机场马尔科夫性质n马尔科夫性质指的是一个随机变量序列按时间先后关系依次排开的时候，第N+1时刻的分布特性，与N时刻以前的随机变量的取值无关。拿天气来打个比方。如果我们假定天气是马尔可夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联，而与前天及前天以前的天气没有关系。其它如传染病和谣言的传播规律，就是马尔可夫的。随机场n当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫做随机场。其中有两个概念：位置（site），相空间（phase space）。我们不妨拿

4、种地来打个比方。“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是要种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。马尔科夫随机场 拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个马尔可夫随机场。马尔科夫随机场与图像的关系n一维马尔科夫随机过程很好的描述了随机过程中某点的状态只与该点之前的一个点的状态有关系。对于定义在二维空间上的图像，也可以将它看为一个二维随机场。自然也存在二维马尔科夫随机场,此时

5、必须考虑空间的关系,二维MRF的平面网格结构同样可以较好的表现图像中像素之间的空间相关性。基本定义S(,)|1,1MNi jiMjN 设表示位置的有限格点集即随机场中的位置=1,2L，表示状态空间，即随机场中的相空间X=|XsssxsSsSxx 表示定义在处的随机场表示在随机场 上，状态空间为 的隐状态随机变量，即在图像中n格点集S表示像素的位置 nX称为标号场，也可以表示像素值的集合或图像经小波变换后的小波系数集合n为标号随机变量 的集合nL表示将图像分割为不同区域的数目sx邻域系统=()|SssS设是定义在 上的通用邻域系统的集合，其满足如下特性：(1)()(2)()(3),()()()s

6、()ssSsss rS srrsrss则位置称作 的邻点，称作 的邻点集分阶邻域系统与子团在图像模型中，可以根据对象元的距离建立一种分阶邻域系统，定义如下：()()(+1)()|(,),()0,()()nnnsr d s rn rsndnss 式中 为邻域系统的阶次，表示距离函数，经常使用欧氏距离，市区距离，棋盘距离等函数。对满足特性子团 S中有不同的邻域结构，在S上由单个像元或由象元与其邻点组成的子集 称为一个子团。子团c的集合用C来表示。cS分阶邻域系统与子团示例SX=x,s S1PX=0,x(2)PX=x|,()X=x|,()XsssrrssrrXx rsrsPXxrs 设 为 上的邻域

7、系统，若随机场满足如下条件：（）x则称 为以 为邻域系统的马尔科夫随机场，上式称为马尔科夫随机场的局部特性马尔科夫随机场MRFssss邻域系统 的的含义：在任意格点 的其余格点位置上随机变量x 取值已知的条件下，随机场在格点 处的取值概率只与格点 的 相邻点有关。P()P(|)在图像中，表示标号场的先验概率，表示邻域系统标号的局部作用关系在数字图像中，一个像元的灰度值仅与其邻域系统内各象元的灰度值有关，因而可以利用马尔科夫随机场来模拟数字图像。当邻域系统 足够大时，任何定义在S上的图像数据均可看成马尔科夫随机场的一个实现MRF与Gibbs分布的等价关系n由于标号场先验概率和标号场的邻域局部关系

8、在实际应用中很难确定，20世纪80年代Hammersley-Clifford给出了Gibbs分布与MRF的关系，从而用Gibbs分布求解MRF中的概率分布MRF与Gibbs分布的等价关系Gibbs分布：()SX=x,P()(1/)exp()XxXXS()()()cscccCUxxsSXxZU xU xVxVxZe 是定义在上的邻域系统，当且仅当随机场的联合概率分布具有如下形式：则称为吉布斯随机场，式中 是随机场的一“实现”，即在格点集上的一组态。称为能量函数，是仅与子团 内各象元值有关的子团势函数称为配分函数，是一个归一化常数MRF与Gibbs分布的等价关系Gibbs分布与MRF的等价条件：一

9、个随机场是关于邻域系统的MRF，当且仅当这个随机场是关于邻域系统的Gibbs分布，表示为：1exp(|)P(|,()exp(|)scsrc CsrLcsrxc CV xxxx rsV xxn上式解决了求MRF中概率分布的难题,使对MRF的研究转化为对势函数Vc(x)的研究,使Gibbs分布与能量函数建立了等价关系,是研究邻域系统(s)MRF的一个重要里程碑。基于MRF的图像分割模型MAP基于马尔科夫随机场模型的图像分割算法假设待分割图像的像素只与其邻域内的像素相关，与邻域外的像素无关；基于该假设我们能定量计算图像局部的先验结构信息，并根据最大后验概率准则（），有效的利用像素间结构信息分割图像。

10、M*NYy,x,X=x,1,2,LY=,iiiiiiSxLy iS对于一幅给定的的图像，其中任意一个像素分割后对应的标记为定义两个随机场：是图像分割后的类别标号场，表示分割成 个区域，但其类别状态不能直接观察到。是可观测的随机场，即图像的观测灰度场，那么分割问题可以描述为：1arg12arg2,1,2,*arg(|)()Xargmax(|)argmax()iiiXXitetitetyYxxX iMNLitetLp Y X p Xp X Yp Y根据贝叶斯准则，最优分割准则为：*111Ypargmax(|)()XMRFMarkovMRFGibbsexp()p()exp()()cCiXM NciM

11、 Nc CiiLicixc Cciip Y X p XV xp xV xxx对于一幅给定的图像，已知，所以(Y)为常数，故上式等价于:由于随机场 是，具有正概率性和性。由与分布的等价性可知(X)=式中V是包含 的基团 的势函数，是所有基团的集合V)ijciijifxxxifxx（其中 为耦合系数22(|)()1(|)exp22smssssmmp Y Xyup YyXx对于是条件概率函数，也成为似然函数，其概率分布要根据图像服从的分布而选择。在这里我们假设图像的各个位置的像素是独立同分布的，p(Y|X)服从高斯分布，即：p(Y=y|X=x)=Xmmu其中参数和分别是第m区域的均值和方差，可以根据

12、其在概率论中的公式计算根据上面得到的p(x)和p(Y|X)的计算公式就可求得最优分割结果。MRF图像分割的关键点n基团的选取n势函数 的定义n先验概率p(X)的确定（图像预分割）n选取合适的条件分布n条件分布中参数的估计n分割算法的选取()cV x参考文献n匡锦瑜.吉布斯随机场模型及其在图像处理中的应用J.通信学报n王玲，逯贵祯,肖怀宝.基于马尔科夫随机场的合成孔径雷达图像分割方法J.中国传媒大学学报自然科学版n卢晓东，周军，周凤岐.基于可能性FMRF 的红外图像分割算法及其参数估计J.红外与激光工程n刘爱平，付琨，尤红建，刘忠.基于MAR-MRF的SAR图像分割方法J.电子与信息学报n李旭超，朱善安.图像分割中的马尔可夫随机场方法综述J.中国图像图形学报n张鹏，张桂林.Markov随机场在图像处理中应用的研究D.华中科技大学