高等数学第二章导数与微分1课件.ppt

1、 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.1 2.1 导数的概念导数的概念一、导数概念的引入一、导数概念的引入二、导数的定义二、导数的定义三、单侧导数三、单侧导数四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系一、导数概念的引入一、导数概念的引入求函数变化率的两个实例求函数变化率的两个实例实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动

2、的瞬时速度.设设质点的运动方程为质点的运动方程为：s=s(t).).则则从时刻从时刻t0到到t0+t时间段内时间段内，质点走过的路程为：，质点走过的路程为：s=s(t0+t)-)-s(t0)在时间间隔在时间间隔t内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为:00()()s tts tsvtt 000()()limts tts tvt 当当 t0 0时，时，取极限取极限得得质点在时刻质点在时刻t0 0的瞬时速度的瞬时速度:实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2

3、2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例

4、实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、导数的定义二、导数的定义0000000000000 ()(),(),()()(),()

5、,()()im,.lx xxxxx xf xxf xyf xxU xxxU xyf xyf xdydf xxyfxdxdxxx 设设在在点点 的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义且且若若存存在在则则称称在在并并称称这这个个极极限限为为在在点点处处的的记记为为或或点点处处可可导导导导数数定义定义1 1即即00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 0000()()lim().xf xxf xf xxx 如如果果不不存存点点 处处，则则称称在在不不可可导导在在.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00

6、000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动的瞬时速度:00()()v ts t 实例实例2 曲线曲线y=f(x)上一点上一点M(x0,f(x0)处的切处的切线斜率线斜率0tan()fx xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或)()(00 xfxf(),().yf xIf xI 如如果果在在开开区区间间 内内的的每每一一点点处处都都可可导导就就称称函函数数在在开开区区间间 内内可可导导定义定义2 200()()()(),(),.xIfxyfxdydf xf xyfxdxdx导

7、导由由确确定定的的新新函函数数叫叫做做的的，简简称称，记记作作或或函函数数导导数数注意注意:00()().x xfxfx .,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x注意注意(2)右导数右导数:单侧导数单侧导数 (1)左导数左导数:0000000()()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000()()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx ，定义定义左、右导数统称为左、右导数统称为单侧导数单侧导数定理定理1如如果果

8、)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.注意注意:由定义求导数由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22si

9、n)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 02sincos()22limhhhxh(cos)sin.xx例例3 3.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例4 4.)1,0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 11log.lnaexxa1(log).ln

10、axxa 即 0log(1)limahhxh01limlog(1)ahxhxhx例例5 5.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121 x.21x)(3 x23x)(1 x11)1(x.12x hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim

11、.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy注意导数的几何意义与物理意义注意导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM(1)几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 000()(,()()yf xM xf xyf xx曲线在点处的切线存在函数在 处可导0000()(,()lim()xyf xM xf xxyyf xxx 当曲线在点处的切线垂直于

12、轴时，即函数在 处的导数为无穷大.例例7 7.,)2,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即.01582 yx即即(2)物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.l

13、im)(0dtdststvt 交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.0()lim.tQdQi ttdt 非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.定理定理 若若f(x)在在x0处可导，则处可导，则f(x)在在x0处处连续连续.证证三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0

14、x 注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立(连续函数未必可导连续函数未必可导)例如例如y=|x|在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.0 x 假设例例7 7.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx例例8 8?,1)(,1,1,)

15、(2应取什么值应取什么值处连续且可导，处连续且可导，在在为了使函数为了使函数设函数设函数baxxfxbaxxxxf 解解21(1)lim1xfx1(1)lim()xfaxbab1)1(f1,1)(baxxf则则连续连续在在若若2_11()(1)1(1)limlim211xxf xfxfxx111()(1)1(1)limlimlim111xxxf xfaxbaxafaxxx)1()1(,2_ ffa时时当当2,1,()1abf xx 当时在处连续且可导小结小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线

16、的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf 有什么区别与联系?与导函数2.设)(0 xf 存在,则._)()(lim000hxfhxfh3.已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4.设0,0,sin)(xxaxxxf,问 a

17、 取何值时,)(xf),(都存在,并求出.)(xf 在2.2 函数的求导法则函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则二、反函数求导法则二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则定理定理并且并且也可导也可导处处在点在点分母不为零分母不为零它们的和、差、积、商它们的和、差、积、商那么那么处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(3)

18、(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略.),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf推论推论;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf ;)3(wuvwvuvwuuvw

19、 .)1()4(2vvv 例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解23xy x4.cos x xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解同理可得同理可得2(cot)sc.cxx 2(tan)sec.xx 即即)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 例例4 4.sec的导数的导数求求

20、xy 解解同理可得同理可得(sec)sta.ecnxxx 即即(csc)cc.scotxxx xx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin)cos1()(sec xxy.1csc22yxxy ，求求例例5 5解解2222(csc)(1)csc(1)2(1)xxxxyx 222)1(2)1(cotcsc2xxxxx 222csc cot(1)2csc2(1)xxxxxx).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 例例6 6,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 ,1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 ,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf三、小结三、小结注意注意:);()()()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时,分段点导数用左右导数求分段点导数用左右导数求.Z 思考思考1、求曲线求曲线 上与上与 轴平行的切线方程轴平行的切线方程.32xxy x解答解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和