高考数学第一轮总复习经典实用-23函数的值域与最值学案课件.ppt

1、基础知识基础知识一、函数的值域的定义一、函数的值域的定义在函数在函数yf(x)中，与自变量中，与自变量x的值对应的的值对应的y值叫做值叫做 ，函数值的集合叫做函数的，函数值的集合叫做函数的 函数值函数值 值域值域二、基本初等函数的值域二、基本初等函数的值域1ykxb(k0)的值域为的值域为 .2yax2bxc(a0)的值域是的值域是当当a0时，值域为时，值域为 ；当当a0，且，且a1)的值域是的值域是 5ylogax(a0，且，且a1)的值域是的值域是 .6ysinx，ycosx，ytanx的值域分别为的值域分别为 、R.(0，)R1,11,1三、确定函数的值域的原则三、确定函数的值域的原则1

2、当函数当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指用表格给出时，函数的值域是指表表格格中实数中实数y的集合的集合2当函数当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指的图象给出时，函数的值域是指3当函数当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定数的定义域及其对应法则唯一确定4当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定实际意义确定图象在图象在y轴上的投影所覆盖的实数轴上的投影所覆盖的实数y的集合的集合?四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定四、求函数的值域是高中数学的难点，它

3、没有固定的方法和模式常用的方法有：的方法和模式常用的方法有：1直接法直接法从自变量从自变量x的范围出发，推出的范围出发，推出yf(x)的的取值范围，如取值范围，如y(x3)的值域为的值域为 2配方法配方法配方法是求配方法是求“二次函数类二次函数类”值域的基值域的基本方法，形如本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，的函数的值域问题，均可使用配方法，如均可使用配方法，如y4x2x的值域为的值域为 2，)(0，)3反函数法反函数法利用函数和它的反函数的定义域与利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域的互逆关系，通过求反函数的定义域

4、，得到原函数的值域形如值域形如y (a0)的函数的值域，均可使用反的函数的值域，均可使用反函数法此外，这种类型的函数值域也可使用函数法此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数分离常数法法”求解，如：求解，如：y 的值域为的值域为 (1,1)4判别式法判别式法把函数转化成关于把函数转化成关于x的二次方程的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式，通过方程有实根，判别式0，从而求得原，从而求得原函数的值域形如函数的值域形如y (a1，a2不同时为零不同时为零)的函数的值域常用此法求解如的函数的值域常用此法求解如y 的值域的值域为为 2,15换元法换元法运用代数或三角代换，将所给函数化运用代

5、数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形如如yaxb (a、b、c、d均为常数，且均为常数，且a0)的的函数常用此法求解，如函数常用此法求解，如yx 的值域的值域为为 1，)6不等式法不等式法利用基本不等式：利用基本不等式：ab2 (a、bR)求函数的值域用不等式法求值域时，要注意求函数的值域用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”，如，如yx 的值域为的值域为 (，44，)7单调性法单调性法确定函数在定义域确定函数在定义域(或某个定义域的或某个定

6、义域的子集子集)上的单调性求出函数的值域形如上的单调性求出函数的值域形如y 的函的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为 ,)5211、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2023-7-12023-7-1July 1,202314、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的

7、人才有学问。17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2023年7月2023-7-12023-7-12023-7-17/1/202318、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。2023-7-12023-7-18求导法求导法当一个函数在定义域上可导时，可当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如根据其导数求最值，如yx3x，x0,2的值域为的值域为 9数形结合法数形结合法当一个函数图象可作时，通过当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意图象可求其

8、值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如义，借助于几何方法求出函数的值域，如y 的值域为的值域为 0，)易错知识易错知识一、值域求解失误一、值域求解失误1求求ysin2xsinx1的值域结果为的值域结果为，)对吗？对吗？答案：答案：，32已知函数已知函数f(x)log2(x2axa)的值域为的值域为R，则实，则实数数a的取值范围的取值范围_答案：答案：(，40，)二、忽视定义域对值域的制约作用而失误二、忽视定义域对值域的制约作用而失误3已知已知f(x)2log3x，其中，其中x1,9，当，当x_时，函数时，函数yf(x)2f(x2)有最大值，最大值为有最大值，最

9、大值为_答案：答案：x313解析：解析：先求出函数先求出函数yf(x)2f(x2)的定义域：的定义域：1x3.函数的定函数的定义义域域为为1,3，又又yf(x)2f(x2)(2log3x)222log3x(log3x)26log3x6(log3x3)23.1x3.0log3x1.则则x1时时有最小有最小值值6，当，当x3时时有最大有最大值值13.三、区分求函数值域的方法三、区分求函数值域的方法4求函数求函数yx 与与yx 的值域，的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为_，值域为，值域为_；后者采用的方法为；后者采用的方法为_，值

10、域为，值域为_答案：答案：换元法换元法(，三角换元法三角换元法1，解析：解析：yx ，令，令 t，x1t2yt2t1，t0，)y(，yx ，令，令xsin，ysincos sin()，y1，回归教材回归教材1(教材教材P1016题改编题改编)函数函数y (xR)的值域是的值域是()A(0,1B(0,1)C0,1)D0,1)解析：解析：1x21 (0,1答案：答案：A2函数函数y x2x1(x0)的最小值为的最小值为()A.B2C1D3解析：解析：y (x1)2 ，x0y 1，故选，故选C.答案：答案：C3值域是值域是(0，)的函数是的函数是()Ayx2x1 By()1xCy3 1 Dy|log

11、2x2|解析：解析：A中中y ，)，C中中y1，D中中y0，故应，故应选选B.答案：答案：B5(2008重庆重庆)函数函数f(x)的最大值为的最大值为()A.B.C.D1解析：解析：将解析式整理，得将解析式整理，得y ，利用均值不，利用均值不等式求得等式求得f(x)的最大值为的最大值为 .答案：答案：B4(教材教材P10213题改编题改编)函数函数y 的值域为的值域为()A(0,1 B0,1)C(0,1)D0,1答案：答案：B【例【例1】求下列函数的值域求下列函数的值域(1)y4 ；(2)y2x ；(3)yx .解析解析(1)(配方法配方法)：由：由32xx20，得，得1x3.y4 ，当当x1

12、时，时，ymin422.当当x1或或3时，时，ymax4.函数值域为函数值域为2,4(2)(换元法换元法)：令：令t (t0)，则，则xyt2t1(t )2 ，当当t 即即x 时，时，ymax ，无最小值，无最小值函数值域为函数值域为(，3)(三角换元法三角换元法)函数的定义域是函数的定义域是x|1x1设设xsint，t ，则，则yx 化为化为ysintcost，y t t ，1sin(t )，y1.原来的函数的值域是原来的函数的值域是 ，1总结评述总结评述对于形如对于形如yax2bxc(a0)或求二或求二次复合函数的值域可用配方法次复合函数的值域可用配方法对于形如对于形如yaxb 的函数令的

13、函数令t ，x 且且t0，使之变形为二次函数，再利用配方，使之变形为二次函数，再利用配方，对于含对于含 的结构的函数，可利用三角代换，令的结构的函数，可利用三角代换，令xacos，0，或令，或令xasin，对形如对形如y 等一些结构简单的函数，可通过等一些结构简单的函数，可通过直接法直接法求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1)y()|x|；(2)ysin2x4cosx1；(3)y2x5 .解析：解析：(1)|x|0,0()|x|1，值域为值域为(0,1(2)ysin2x4cosx1cos2x4cosx2(cosx2)26由由1cosx1.3cosx211(cosx2)293(cosx2)2

14、653y5，值域为值域为3,5【例【例2】求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1)y ；(2)y .解析解析(1)解法一：解法一：(反函数法反函数法)由由y 解出解出x，得得x ，2y10，函数的值域为函数的值域为y|y ，且，且yR.解法二：解法二：(分离常数法分离常数法)y ，y ，故函数的值域为，故函数的值域为y|y 且且yR(2)(判别式法判别式法)：由：由y 得得yx23x4y0，当，当y0时，时，x0，当，当y0时，由时，由0得得 y ，函数定义域为函数定义域为R，函数函数y 的值域为的值域为 .总结评述总结评述反函数的定义域即为原函数的值域，反函数的定义域即为原函数的值域，形如

15、形如y (a0)的函数值域可用反函数法，也可用配的函数值域可用反函数法，也可用配凑法凑法把函数转化成关于把函数转化成关于x的二次方程的二次方程F(x，y)0，通过，通过方程有实根，判别式方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，这种，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法形如方法叫判别式法形如y (a1，a2不同时为不同时为0)的函数的值域常用此法此类问题分为两大类：一类为的函数的值域常用此法此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式分子和分母没有公因式一般可使用判别式0解得，但要解得，但要注意判别式注意判别式中二次项系数为零和不为零两种情况；另一中二次项系数为零和不为

16、零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到方法去解方法去解决决求下列函数的值域求下列函数的值域解析：解析：(1)解法解法1：(化为真分式化为真分式)：解法解法2：(利用反函数法利用反函数法)：由由y 得得2x 0，所以，所以y(1,1)(2)由由y 变形得变形得(y1)x2(y1)xy30当当y1时，此方程无解；时，此方程无解；当当y1时，时，xR(y1)24(y1)(y3)0解得解得1y ，又，又y1，1y .故函数的值域为故函数的值域为y|1y .【例【例3】(2007重庆模拟重庆模拟)已知：已知：f(x)3xx2|x|(xR.(1)求

17、求f(x)的最大值；的最大值；(2)是否存在实数是否存在实数a，b使使f(x)在区间在区间a，b上的取值范上的取值范围为围为 解析解析(1)f(x)3xx2|x|当当x0时，时，f(x)33x23(1x)(1x)，所以当，所以当x(0,1)，f(x)0，所以，所以x(0,1)时时f(x)递增当递增当x(1，)，f(x)0，所以，所以x(1，)时时f(x)递减递减当当x0，所以，所以x(，0)时时f(x)递增递增因为函数因为函数f(x)在在x0处连续，所以处连续，所以x(，1)时时f(x)递增，递增，x(1，)时时f(x)递减递减所以所以f(x)maxf(1)2.(2)由由 ab0.0ab时，由

18、时，由(1)可知：可知：x(0，)时，时，f(x)maxf(1)2，所以，所以 2a1，即即1ab，由，由(1)可知：可知：xa，b时时f(x)递减，递减，所以所以 即即a，b是方程是方程f(x)的两根的两根3xx3 x43x220 x11；x2 ，所以，所以a1，b .ab0时，由时，由(1)可知：可知：x(，0)时时f(x)递增，递增，所以所以相减得相减得3a2abb2 ；相加得；相加得3a2abb2 ，所以，所以ab0，无解，无解综合综合，存在，存在a1，b 使使f(x)在区间在区间a，b上的上的取值范围为取值范围为 总结评述总结评述本题考查了导数及其运用，以及函数值本题考查了导数及其运

19、用，以及函数值域的讨论域的讨论如图所示，将边长为如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器器当这个正六棱柱容器的底面边长为的底面边长为_时，其容积最大时，其容积最大解析：解析：本小题主要考查正本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查考生运用数的相关知识，考查考生运用导数知识解决实际问题的能导数知识解决实际问题的能力力设被切去的全等四边形的设被切去的全等四边形的一边为一边为x，如图所示，

20、则正六，如图所示，则正六棱柱的底面边长为棱柱的底面边长为12x，高，高为为 x，所以正六棱柱的体积所以正六棱柱的体积V6 (12x)2 x(0 x0，V是增函数；是增函数；当当x(，)时，时，V0，V是减函数是减函数当当x 时，时，V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为有最大值，此时正六棱柱的底面边长为 .答案：答案：1求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种基本方求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种基本方法的基础上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法的基础上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法解决法解决2求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用要特别注意定义域对值域的制约作用3遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题时，应对字母进行合理的分类讨论时，应对字母进行合理的分类讨论 请同学们认真完成课后强化作业