1、 - 1 - 陕西省榆林二中 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理 时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知复数 z 满足 为虚数单位 ，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于 ”时，应假设 A. 三角形中至多有一个内角不小于 B. 三角形中三个内角都小于 C.三角形中至少有一个内角不大于 D. 三角形中三个内角都大于 3用数学归纳法证明不等式 “1 12 13 ? 12n 12 n(n N )” 时，第一步应验证 ( ) A 1 12 12 1 B 1
2、 12 1 C 1 12 13 14 12 2 D 1 12 1 4.下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 5已知函数 y f(x)，其导函数 y f( x)的图像如图所示，则 y f(x) ( ) A在 ( ， 0)上为减少的 B在 x 0 处取极小值 C在 (4， ) 上为减少的 D在 x 2 处取极大值 6.一个物体的运动方程是 ，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 2 秒末的瞬时速度是 A. 3 米 秒 B. 4 米 秒 C. 5 米 秒 D. 2 米 秒 7.设 为可导函数，且满足条件 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为 A. 6 B. 3 C. D. 无法确定
3、 8.若 f(x) log3(2x 1)，则 f(3) ( ) A.23 B 2ln 3 C. 23ln 3 D. 25ln 3 9.已知 ，则 A. 0 B. 6 C.- 6 D. 8 10.定积分 ? ?dxex x? ? cos0?的值为 A. 0 B. C. D. - 2 - 11.函数 在定义域 R 内可导，若 ，且 ，则 的解集为 A. B. C. D. 12.设 f(x)， g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数当 x0，且 g( 3) 0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 ( ) A (， 3) (0,3) B ( 3,0) (0,3) C (， 3) (3， ) D
4、 ( 3,0) (3， ) 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 _ 14.由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积为 _ 15.设 ，当 时， 恒成立，则实数 m 的取值范围为 _ 16.观察下列等式； ， ， ， ， 由此可归纳出一般性的等式： 当 时， _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17.（ 12 分）当实数 m 为何值时， 为纯虚数； 为实数； 对应的点在复平面内的第二象限内 18.（ 10 分）已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程 . 19.（ 12 分）求函数 的单调区间与极值 - 3 - 20.
5、（ 12 分）已知函数 若函数 在 处有极值 ，求函数在 上的最大值和最小值 21.（ 12 分）已知函数 若 ，讨论函数 的单调性； 若函数 在区间 上单调递减， 求 a 的取值范围 - 4 - 22.（ 12 分）设 当 时，求 的最大值和最小值； 如果对任意的 ，都有 成立，求实数 a 的取值范围 - 5 - 答案 1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 6. A 7. A 8. D 9.B 10. D 11. B 12.A 13. 14. 15. 16. 17. （ 12 分） 解： 由 ，解得 ， 当 时，复数 z 为纯虚数； 由 ，得 或 ， 当 或 时，复 数 z 为实
6、数； 由 ，解得 ， 当 时，复数 z 对应的点在第二象限内 18. （ 10 分） 解：函数 的导数为 ， 可得曲线 在点 处的切线斜率为 ， 切点为 ，即为 ， 曲线 在点 处的切线方程为 ； 19. （ 12 分） 解： 令 ，即 ，得 ，当 ，即 ，此时 为增函数，又 ，增区间为 ，当 ，即 ，此时 为减函数，减区间为综上所述，函数 在 递增，在 递减 )(xf 的极大值为eef 1)( ?，无极小值。 20. （ 12 分） 解： ，依题意有 ， 即 得 所以 ， 令 ，解得 随 x 的变化情况如下表： 由上表知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增 故可得 21. （ 12 分）
7、解： 若 ， ， - 6 - 当 时， ，当 时， 故函数的减区间为 ，增区间为 ； 若函数 在区间 上单调递减， 则 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 当 时，满足条件， 当 时，不等式等价为 ， ， 则 法 2：若函数 在区间 上单调递减， 则 在 上恒成立， 则只需要 ， 即只需 ， 解得 22. （ 12 分） 解： 对于函数 ， ， 令 ，得 或 ； 当 x 变化时， 、 变化情况如下表： x 0 2 0 0 递减 极 最 小值 递增 1 由上表可知： ， 由 知，在区间 上， 则原问题等价于当 时， 恒成立， 等价于 恒成立， 记 ； 记 ， ， ， - 7 - 在 上递减， 且当 时， 时， ， 即函数 在区间 上递增，在区间 上递减， ，
