1、第六章 平面向量及其应用6.4.3 第1课时 余弦定理一、教学目标1.掌握证明余弦定理的向量方法，熟记公式；2.掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2.掌握余弦定理公式的变式，判别三角形形状；4.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.余弦定理的发现和证明过程；2.余弦定理在解三角形时如何进行边角互化。三、教学过程：1、创设情境： 量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角，最后通过计算求出岛B和岛C的长度.问题1：此实际问题如何转化为数学问题？生答：如图，已知：边AB
2、、 AC和角(两条边、一个夹角)，求边BC.问题2:已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？教师就这个问题提出小组探究活动主题2、探索新知探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用b，c和A表示a？教师：将数学问题可以先特殊化，A=900，怎么解决？生答：利用勾股定理。问题3：你能利用向量证明勾股定理吗？生答：由想到再平方处理得到。问题4：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，如果是斜三角形，三条边之间的关系又是如何？学生小组活动探讨解决，投影展示学生探讨活动的成果。利用，两边平方得到a2b2c22bccosA，
3、二. 建构数学余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 探究2：正弦定理结构的最大特点是什么？等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美问题4：正弦定理里面包含了几个等式？每个等式中有几个量？生答：3个等式 4个量问题5：使用余弦定理解斜三角形？应用1：已知两边和一个夹角，求第三边例1.在中，已知b=60cm，c=34cm， ，求（角度精准到 ，边长精确到1cm.）解：由余弦定理，得，所以，变式训练：在中，角，的对边分别为，已知，则求解：在中，角，的对边
4、分别为，已知，可得探究3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知两边和一个夹角，求第三边，如果知道了三角形的三边能否确定三角形的角，怎么确定呢？生答：，例2.已知的内角，的对边分别为，若，则求。解：由，可得，由，可得变式训练：在中，内角，所对的边长分别为，如果，那么最大内角的余弦值等于ABCD解：在中，是三角形中的最大角，则，即的最大内角的余弦值为故选：例3.（1）在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB（ ） A4B.C. D2解：由余弦定理知b2a2c22accos B.23c22c.即c2c10.解得c或c，当c时，由余弦定理得 cos A
5、.0A180，A60，C75.当c时，由余弦定理得cos A.0A180，A120，C15.故c，A60，C75或c，A120，C15.（2）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos Cccos B2b，则_.解：由余弦定理得bcos Cccos Bbca，所以a2b，即2.（3）在ABC中，若lg(ac)lg(ac)lg blg，则 A_.解：由题意可知lg(ac)(ac)lg b(bc)，所以(ac)(ac)b(bc)即b2c2a2bc.所以cos A.又0A180，所以A120.（4）在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形解：sin2，cosAa2b2c2，符合勾股定理故ABC为直角三角形四、小结：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 变形：，应用:（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； （2）已知三角形的三条边就可以求出其它角。方法:(1)从特殊到一般的方法；(2)向量法证明余弦定理。五、作业：习题6.4.3
