数学人教A版高中必修二（2019新编）9-4总体百分位数、集中趋势、离散程度的估计（学案）.docx

1、第04讲 总体百分位数、集中趋势、离散程度的估计目标导航课程标准课标解读1. 了解百分位数概念及意义，掌握求一组数据百分位数的方法与基本步骤；2. 掌握用样本估计总体集中趋势的特征数（众数、中位数、平均数）的概念及意义，会求样本数据的众数、中位数、平均数，并能准确应用特征数估计总体数据的集中情况；3. 掌握用样本估计总体离散程度的特征数（方差、标准差、极差）的概念及意义，会求样本数据的方差、标准差、极差，并能对总体的离散程度进行准确的估计.4. 通过实例选择正确的方法，用样本数据估计总体数据所在的位置，集中趋势以及波动情况，从而能正确的指导人民的生活、生产中所遇到的相关统计问题.通过本节课的学

2、习，要求会求一组数据的百分位数，会求众数、中位数、平均数、方差、标准差、极差；能准确的判断数据的集中趋势及离散程度.知识精讲知识点 1.百分位数第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.常用的百分位数(1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数.(2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数.计算一组n个数据的计算第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i np%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻

3、整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.2.表达集中趋势的特征数众数：一组数据中重复出现次数最多的数中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在最中间位置位置(或最中间两个数据的平均数)的数叫做这组数据的中位数平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫做这n个数的平均数频率分布直方图中的众数、中位数、平均数:在频率分布直方图中，将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和3.离散程度的

4、特征数方差、标准差的定义：一组数据x1，x2，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为总体方差、总体标准差的定义:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，YN，总体平均数为，则称S2 为总体方差，S2为总体标准差如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，记为Y1，Y2，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i1,2，k)，则总体方差为S2样本方差、样本标准差的定义:如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，yn，样本平均数为，则称s2为样本方差，s为样本标准差方差、标准差特征:标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据

5、的离散程度越小在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的但在解决实际问题中，一般多采用标准差【即学即练1】数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是（）A7.0B8.4C8.6D8.7【答案】B【解析】【分析】结合百分位数概念直接计算即可.【详解】题设共8位数，所以，应取第三位数，为8.4.故选：B【即学即练2】以将个数据按照从小到大的顺序进行排列，第四个数据被墨水污染，已知第百分位数是，则第四个数据是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】设第四个数据为，根据百分位数的定义，求出，故选取第4个和第5个数据的平均数作为第百分位数，从而得到方程，求出第

6、4个数据【详解】设第四个数据为，因为一共有10个数据，为整数，根据百分位数的定义可得：，解得：故选：D【即学即练3】对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法中正确的个数为（）（1）平均数为5；（2）没有众数；（3）没有中位数A0B1C2D3【答案】B【解析】【分析】计算数据的平均数众数和中位数，对比选项得到答案.【详解】数据平均数为，（1）正确；3，6，8都出现最多的两次，故众数是3，6，8，（2）错误；数据按从小到大排列得到2，3，3，4，6，6，8，8，故中位数为，（3）错误.故选：B.【即学即练4】一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中

7、，中位数为22，则（）A21B15C22D35【答案】A【解析】【分析】利用中位数定义直接求解【详解】一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中，中位数为22，解得故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查中位数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【即学即练5】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A73.3，75，72B72，75，73.3C75，72，73.3D75，73.3，72【答案】B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众

8、数、中位数的求法,即可得解.【详解】由频率分布直方图可知,平均数为 众数为最高矩形底边的中点,即中为数为: 可得.所以中为数为 .综上可知,B为正确选项.故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题.【即学即练6】下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（）A极差B平均数C方差D标准差【答案】B【解析】【分析】利用平均数、极差、方差、标准差的定义直接求解【详解】对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故不选A；对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一

9、组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故选B；对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故不选C；对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故不选D故选：B【即学即练7】已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（）A，B，C，D，【答案】B【解析】【分析】设这10个数据分别为：，进而根据题意求出和，进而再根据平均数和方差的定义求得答案

10、.【详解】设这10个数据分别为：，根据题意，所以，.故选：B.【即学即练8】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的方差为（）分数54321人数2010303010ABC3D【答案】D【解析】【分析】根据表中数据，首先求出，再由方差的公式即可求解.【详解】，故选：D【即学即练9】已知某个数据的平均数为，方差为，现加入和两个新数据，此时个数据的方差为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用方差公式可求得结果.【详解】设原数据为、，则，加入和两个新数据后，所得个数据的平均数为，所得个数据的方差为.故选：B.【即学即练10】（多选题）高一某班的同学在学习了“统计学初步”

11、后，进行了交流讨论，甲同学说：“均值是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.”乙同学说：“众数刻画了总体中个数的稳定或波动程度.”丙同学说：“方差越小，表明个体越整齐，波动越小.”丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方差也较大.”其中说法正确的是（）A甲B乙C丙D丁【答案】AC【解析】【分析】根据均值、方差、极差的定义即可判断答案.【详解】均值是刻画一组数据集中趋势最主要的指标，甲的说法正确.方差刻画了总体中个数的稳定或波动程度，乙的说法错误.方差越小，表明个体越整齐，波动越小，丙的说法正确.两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据不能说明其方差也较大，丁的说法错误.故选：A

12、C.【即学即练11】（多选题）乐乐家共有七人，已知今年这七人年龄的众数为35，平均数为44，中位数为55，标准差为19，则5年后，下列说法中正确的是（）.A这七人岁数的众数变为40B这七人岁数的平均数变为49C这七人岁数的中位数变为60D这七人岁数的标准差变为24【答案】ABC【解析】【分析】根据众数、平均数、中位数的概念计算辨析【详解】根据众数、平均数、中位数的概念得5年后，每人的年龄相应增加5，而标准差不变，所以这七人年龄的众数变为40；平均数变为49；中位数变为60；标准差不变，为19.故选ABC.【点睛】本题考查众数、平均数、中位数的概念，其中注意：设一组数据为，众数为，平均值为，方差

13、为，则新数据，的众数为，平均值为，方差为【即学即练12】（多选题）已知数据x1，x2，xn的平均数为，标准差为s，则（）A数据x12，x22，xn2的平均数为2，标准差为s2B数据2x1，2x2，2xn的平均数为2，标准差为2sC数据x12，x22，xn2的平均数为2，方差为s2D数据2x12，2x22，2xn2的平均数为22，方差为2s2【答案】BC【解析】【分析】举反例得到A错误，再根据平均值和方差的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】取，则，故，A错误；数据的平均数为，标准差为，B正确；数据的平均数为，方差为，C正确；数据的平均数为，方差为，D错误.故选：BC【即学即练13】已知一组数

14、据的平均数是2，方差为6，则数据的平均数是_，方差是_【答案】 1； 6.【分析】由已知得，然后计算的平均数和方差可得答案.【解析】由已知得，所以，.故答案为：1；6.【即学即练14】数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是_.【答案】8.4【解析】【分析】利用百分位数的定义求解即可【详解】因为830%=2.4，故30%分位数是第三项数据8.4，故答案为：8.4.【即学即练15】2020年11月12日中国人民银行通过微信公众号宣布，“双十一”当日网联、银联共处理网络支付业务22.43亿笔、金额1.77万亿元某公司对某地区10000名在2020年“双十

15、一”当日网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额都在区间（单位：万元）内，其频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，估计该地区网络购物者在“双十一”当日的消费金额的中位数为_万元（结果保留两位小数）【答案】0.53【解析】【分析】从小到大，利用小矩形面积之和为0.5来估计求解中位数【详解】由频率分布直方图，可知，解得，设消费金额的中位数为x万元，则，得，所以估计该地区网络购物者在“双十一”当日的消费金额的中位数为0.53万元故答案为：0.53【即学即练16】从某项综合能力测试中抽取20人的成绩，具体如下：5，5，5，5，4，3，3，3，4，3，2，2，3，3，2，2，1，1，2，2，则这

16、20人成绩的标准差为_.【答案】【解析】【分析】根据数据求出平均数，再由方差、标准差的公式求解即可.【详解】将数据整理为分数54321人数42662，.故答案为：【即学即练17】某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）情况如图所示，试结合图象分析得分的平均数、众数、中位数之间的大小关系【答案】平均数中位数众数【解析】【分析】求出中位数，平均数，众数，比较大小即可.【详解】由图知平均数为众数为5，中位数为，故平均数中位数众数.【即学即练18】某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74.（1）求这10个学生体重

17、数据的平均数、中位数、方差、标准差；（2）估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.【答案】（1）平均数71、中位数71.5、方差11、标准差；（2）平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、方差、标准差的计算公式即可求解.（2）由（1）计算的数据即可得出结果.【详解】 (1)这10个学生体重数据的平均数为(74717268767367706574)71.这10个学生体重数据从小到大依次为65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中间的两个数是71，72，这10个学生体重数据的中位数为.这10个学生体重数

18、据的方差为s2(7471)2(7171)2(7271)2(6871)2(7671)2(7371)2(6771)2(7071)2(6571)2(7471)211，这10个学生体重数据的标准差为s.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.能力拓展考法01 百分位数位置的判断【典例1】下列关于分位数的说法正确的是 （）A分位数不是中位数B总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是C它是四分位数D它只适用于总体是离散型的数据【答案】C【解析】【分析】由百分位数的意义判断每个选项.【详解】由百分位数的意义可知，将一组数据从小到大排序，并计算相应的

19、累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数；分位数是中位数，分位数表示至少有的数据项小于或等于这个值，且至少有的数据项大于或等于这个值，第50百分位数又称第二个四分位数，所以选项A，B，D错误.故选：C【典例2】下列判断正确的是_（1）若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数（2）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23（3）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24【答案】（1）（3）【解析】【分析】结合百分位数概念直接判断即可.【详解】对于（1），因为一组样本数据各不相等，假设该组

20、数据有10个数，25%分位数为第三个数，75%分位数为第八个数，故其75%分位数大于25%分位数，（1）正确；对于（2）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中至少有10%的数据小于等于23，（2）错误；对于（3）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24，（3）正确；故答案为：（1）（3）考法02 求百分位数【典例3】已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为（）A9B12C17.5D21【答案】C【解析】【分析】结合百分位数概念直接计算即可.【详解】，故该组数据的总体的第三四分位数

21、为第6个数和第7个数的平均数.故选：C【典例4】某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是_.【答案】13.7，14.7，15.3【解析】【分析】所给数据的第25，50，75百分位数分别是：第3个数据与第4个数据的平均数、第6个数据与第7个数据的平均数、第9个数据和第10个数据的平均数，进而可得答案.【详解】将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7

22、，15.8.由i=1225%=3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数即=13.7；由i=1250%=6，得的给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即=14.7；由i=1275%=9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即=15.3.故答案为：13.7，14.7，15.3【典例5】如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其25%分位数为_.【答案】10.5【解析】【分析】根据频率可判断25%分位数在内，列式即可求出.【详解】由图可知第一组的频率为，前两组的频率之和为，则可知其25%分位数在内，设为，

23、则，解得.故答案为：10.5.考法03百分位数的综合应用【典例6】已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：甲组：27、28、39、40、50；乙组：24、34、43、48、52.若这两组数据的百分位数、百分位数分别相等，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据百分位数的定义，求出，故选取第2个数据为百分位数，同理选取第5个数据作为百分位数，求出，进而求出结果.【详解】因为，大于的比邻整数为2，所以百分位数为，大于的比邻整数为5，所以百分位数为，所以.故选：A【典例7】在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，小李成绩的百分位数为75，则他们两人中成绩较好的是

24、_【答案】小李【解析】【分析】由百分位数的定义求出小李的排名，然后再与小张的比较即可【详解】因为小李成绩的百分位数为75，所以约有75名学生的成绩比小李低，即小李的排名大约为25名，因为小张的成绩排名是第75名，所以小李成绩较好故答案为：小李【典例8】人体测量的数据以第百分位数（记为）作为一种指标界值.最常用的是，三种.在身高中，我们称为矮身材，为中身材，为高身材.现调查得到如下所示的20名19岁中国女性的身高数据（单位：cm）：152152153154155156158159160161162162163163165167168170171172请分别求矮身材、中身材、高身材的界值.【答案】

25、矮身材的界值为152cm，中身材的界值为161.5cm，高身材的界值为171.5cm【解析】【分析】利用百分位数的定义进行运算.【详解】根据题意以第百分位数（记为）作为指标界值，矮身材为，即第百分之五，由百分位数的定义可得，所以第百分之五分位数是取152cm和152cm的平均数，为cm；中身材为，即第百分之五十，取16lcm和162cm的平均数为161.5cm；高身材为，即第百分之九十五，取171cm和172的平均数为171.5cm故矮身材的界值为152cm，中身材的界值为161.5cm，高身材的界值为171.5cm考法04众数、中位数、平均数（1）众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据

26、中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题众数可以有一个，也可以有多个（2）中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势中位数只有一个（3）平均数受个别极端数据的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据时，平均数对总体估计的可靠性较差，往往用众数或中位数去估计总体有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体平均数只有一个【典例9】已知数据：18，32，14，8，12；21，4，7，14，11；5，4，6，5，4，3，1，4；，3，1，0，0，其中平均数与中位数相等的是数据（）ABCD【答案】D【解

27、析】【分析】把所给的四组数据都求出中位数和平均数，求中位数时，要把数据按照从小到大排列，最中间两个数字的平均数就是中位数，把两个数字进行比较得到结论.【详解】18，32，14，8，12；中位数是，平均数是13，两个数字相等；21，4，7，14，11；计算可得中位数是9，平均数是9，两个数字相等；5，4，6，5，4，3，1，4；中位数是4，平均数是4，两个数字相等；，3，1，0，0，中位数是0，平均数是0，两个数字相等；综上可知，都满足条件.故选：D【典例10】某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度

28、评分的频率分布直方图若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为，平均数分别为，则（）A，B，C，D，【答案】C【解析】【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果【详解】由频率分布直方图得：甲地区，的频率为：，的频率为，甲地区用户满意度评分的中位数，甲地区的平均数乙地区，的频率为：，的频率为：，乙地区用户满意度评分的中位数，乙地区的平均数，故选：C【典例11】某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，检测结果的频率分布直方图如图所示，据此估计这批产品的中位数为（）A20B25C22.5D22.75【答案】C【解析】根据频率分布直方图，计算

29、出频率为0.5时落在的组，0.5减去前几组的频率的差，再根据小长方形的面积可得出答案.【详解】由频率分布直方图得，第一组、第二组的频率为，第三组的频率为，所以中位数落在第三组并设为，则有，解得.故选：C.【典例12】已知一组数据，3，5的中位数为7，平均数为8，则_【答案】135【解析】【分析】先由平均数为8，求出，然后分和讨论，当时，不妨设，再分，和三种情况讨论即可【详解】因为一组数据，3，5的平均数为8，所以，解得，若，则，此时四个数为，显然中位数不是7，不妨设，若，则，此时4个数排列为，中位数为4，不合题意，若时，则，此时4个数排列为，显然中位数不是7，若，则4个数排列为，则中位数为，解

30、得，则，所以，故答案为：135【典例13】某商店销售了30双皮鞋，其中各种尺码的销售量如下表所示：鞋的尺码（cm）2222.52323.52424.525销售量（双）12414531(1)计算30双皮鞋尺码的平均数、中位数、众数；(2)从实际出发，问题（1）中的三种统计特征量对商店有无指导意义？【答案】(1)平均数为23.55 cm，中位数为23.5 cm，众数为23.5 cm(2)众数对商店进货有实际指导意义【分析】（1）直接结合平均数，中位数，众数概念计算即可；（2）结合生活实际考虑，众数对进货量有指导意义.【解析】（1）30双皮鞋尺码的平均数为:cm；由于小于23.5 cm的皮鞋的销售量

31、为（双），大于23.5 cm的皮鞋的销售量为（双），故将数据从小到大排序后，处于正中间位置的两个数均为23.5 cm，从而中位数为23.5 cm；又23.5 cm共出现14次，所以众数也为23.5 cm；（2）众数对商店进货有实际指导意义，因为尺码为23.5 cm的皮鞋销量最多，所以商店应多进货，而尺码为22 cm，25 cm的皮鞋销量较少，故应少进货考法05标准差、方差用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况【典例14】已知数据，的平均数为2，方差为3，那么数据，的平均数和

32、方差分别为（）A2，3B7，6C7，12D4，12【答案】C【解析】【分析】利用平均数与方差的运算性质求解即可【详解】因为数据，的平均数为2，方差为3，所以数据，的平均数为，方差为故选：C【典例15】某次训练中，甲、乙、丙、丁四人各自的射击情况如下表所示：甲乙丙丁次数3534平均环数8.48.78.78.3方差3.63.62.25.4则这次训练中，四人全部射击成绩的方差约为（）（结果精确到0.1）A3.8B8.3C3.9D3.7【答案】A【分析】根据平均数和方差的概念依次计算即可得出结果.【解析】四人全部射击成绩的平均环数，所以故选：A【典例16】样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形

33、图如图所示，则标准差最大的一组是（）A第一组B第二组C第三组D第四组【答案】D【解析】【分析】写出各组数据，分别求得标准差，从而得出结论.【详解】第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0;第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为;第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为;第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为，故标准差最大的一组是第四组.故选：D.【典例17】一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（）

34、A2B3C4D5【答案】B【解析】【分析】先判断出平均数不变，然后分别表示出原先一组数的方差和新数据的方差，作差化简即可得到答案.【详解】一个数由4改为1，另一个数由6改为9，故该组数据的平均数不变，设没有改变的八个数分别为，原先一组数的方差，新数据的方差所以，故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查了平均数与方差的求解，正确解题的关键是熟练掌握方差的计算公式.【典例18】已知数据x1，x2，xn的平均数5，方差s24，则数据3x17，3x27，3xn7的平均数为_，标准差为_【答案】 22 6【解析】根据平均数、方差的公式推广即可求解.【详解】数据3x17，3x27，3xn7的平均数为3572

35、2，方差为32436，则标准差为6.故答案为：22；6【典例19】甲、乙两名学生某门课程的5次测试成绩依次分别为60，80，70，90，70和80，65，70，80，75，因为_，所以学生_成绩更稳定【答案】 乙【解析】【分析】首先求出甲、乙两名学生成绩的平均数，再求出方差即可得出答案.【详解】，显然.故答案为：；乙【典例20】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：），结果如下：(1)计算该零件抽样尺寸的极差；(2)计算该零件抽样尺寸的样本均值，样本方差和样本标准差；(3)将样本均值作为总体均值的估计值，样本标准差作为总体标准差的估计

36、值，根据生产经验，在一天的抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查【答案】(1)；(2)；，；(3)需要【分析】（1）利用极差公式直接计算即可；（2）利用平均数公式及方差与标准差公式直接计算即可；（3）由（1）可得，进而判断.【解析】(1)由已知可得极差为；(2)；(3)由（2）可得，所以，又，所以需要检查.考法06特征数的综合应用【典例21】下列命题中不正确的是（）A一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数B数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5

37、C若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟【答案】A【解析】【分析】由中位数以及众数判断A；由百分位数的定义计算判断B；计算乙组数据的方差判断C；计算被抽中的30名学生每天平均阅读时间从而判断D.【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；对于B，将该组数据从小到大排列为，则该组数据的分位数为5，故B正确；对于C，乙组

38、数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；故选：A【典例22】中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x与药物功效y之间满足.检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5，标准差为，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（）A18B15C20D10【答案】B【解析】【分析】设这6个样本中成分甲的含量分别为，.，平均值为，根据方差公式计算可得，则，计算即可得出结果.【详解】

39、设这6个样本中成分甲的含量分别为，.，平均值为，则 ，所以，所以，则.故选:B.【典例23】甲乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A平均数为67B平均数为66C方差为296D方差为287【答案】BD【解析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数，乙的平均数，而甲乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为，乙队队员在所有队员中所占比重为故甲、乙

40、两队全部队员的体重的平均数为：；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：.故选：BD.【典例24】某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.（1）求，的值；（2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛.【答案】（1），；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加【分析】（1）利用茎叶图，根据甲班7名学生成绩的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是85先求出，（2

41、）求出乙班平均分，再求出甲班7名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此能求出结果【解析】（1）甲班的平均分为：；解得，乙班7名学生成绩的中位数是85，（2）乙班平均分为：；甲班7名学生成绩方差，乙班名学生成绩的方差，两个班平均分相同，乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加【点睛】本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题【典例25】一家人才测评机构对“创客园区”的20家小微企业的经理人进行自信心测试，获得的测试分数如下：7863728991566876856071846189799386789280(1)以上述数据组成总体，求总体平均数与总体标准差.(2)设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽

42、取一个容量为10的样本，求样本均值与标准差.(3)利用上面的随机抽样方法，再抽取容量为10的样本，计算样本均值和标准差.将求得的结果与（2）中的结果进行比较，它们一样吗？(4)利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为8，12，16，18的样本，求样本均值与标准差.分析样本容量与样本均值、样本标准差对总体的估计效果之间有什么关系.【答案】(1)总体平均数，总体标准差；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析【分析】（1）利用平均数公式和标准差公式求解即可，（2）利用抓阄法进行抽样，抽出10个样本，然后利用平均数公式和标准差公式求解，（3）抽出10个样本，利用平均数公式和标准差公式求解，（4）利用平均数公式和标准差公式求解【解析】(1)总体平均数为，总体方差为，所以样本标准差为(2)利用抓阄法进行抽样，若抽出的10个样本分别为78，89，68，60，84，89，86