数学人教A版高中必修一（2019新编）3-2-1 单调性与最大（小）值—最值（第2课时）（教学课件）.pptx

1、第 3章 函数的概念与性质人教A版2019必修第一册01图像法求函数最值图像法求函数最值02利用函数的单调性求最值目录03函数单调性的实际应用04二次函数最值05恒成立（存在有解）与最值问题学习目标1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.（数学抽象）2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.（数学运算）3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.（数学建模）下列两个函数的图象：图1ox0 xMyyxox0图2M观 察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小

2、关系如何？f(x)M 2f x=-x+1 xR数数例例如如函函(0)=1O122、存在0，使得(0)=1.1、对任意的 都有(x)1.xR1是此函数的最大值函数函数f(x)=x2的图象有一个最低点的图象有一个最低点(0，0)即对于即对于任意的任意的xR，都有，都有f(x)f(0)当一个函数当一个函数f(x)的图象的图象有最低点有最低点时，时，就说函数就说函数f(x)有最小值有最小值.最小值最小值函数函数最大值最大值最小值最小值条件设函数设函数y=f(x)的的定义域为定义域为I，若存在，若存在实数实数M满足：满足：xI，都有，都有f(x)M;x0I，使得，使得f(x0)=M.xI，都有，都有f(

3、x)M;x0I，使得，使得f(x0)=M.结论称称M是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值称称M是函数是函数y=f(x)的最小值的最小值几何意义f(x)图象上图象上最高点的纵坐标最高点的纵坐标f(x)图象上图象上最低点的纵坐标最低点的纵坐标最大最大(小小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素.?16)4(,4)2(4,2(,)(2吗最大值为的最小值为函数ffxxxf无最小值无最小值求函数的最值应先判断单调性求函数的最值应先判断单调性(图象图象/定义定义/观察观察).对函数的最值的理解（1）最值首先是一个函数值，即在函数的定义域 I 内，

4、存在在一个自变量 ，使得 等于最值.（2）对于定义域内任何元素 x，都有 “任意”两个字不可省略.（3）使函数 f（x）取最值的自变量的值有时可能不止一个.（4）函数 f（x）的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.0 x)(0 xf，或)()()()(00 xfxfxfxf函数的最值与值域的关系（1）函数的最值和值域反应的是函数的整体性质，针对的是整个定义域；（2）函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在；（3）若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；（4）若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最

5、值.1.1.图像法求函数最值图像法求函数最值 2.hth t=-4.9t+14.7t+18,?1?菊菊花花 烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂 如如果果烟烟花花距距地地面面的的高高度度米米与与时时间间 秒秒之之间间的的关关系系为为:那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻 这这时时距距地地面面的的高高度度是是多多少少精精确确到到 米米典例典例1解：做出函数 的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.2h

6、(t)=-4.9t+14.7t+18oth43215101520由二次函数的知识，对于函数2h(t)=-4.9t+14.7t+18，我们有当 时，函数有最大值14.7t=-=1.52(-4.9)24(-4.9)18-14.7h=294(-4.9)所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.方法总结 图象法求函数最值的一般步骤2.2.利用函数单调性求最值利用函数单调性求最值 已知函数 ，求函数的最大值与最小.1f(x)=(x2,6)x-1 分析：由函数的图象可知道，此函数在2，6上递减。所以在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值.解：设 是区间2，6上的任意两

7、个实数，且 ，则12x,x12x 0,(x-1)(x-1)0,于是12f(x)-f(x)0即12f(x)f(x)所以，此函数在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值为0.4.（4）若函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.3.3.函数单调性的实际应用函数单调性的实际应用（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？典例典例3方法总结 （1）解实际应用题时，要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.（2）在实际应用问

8、题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.练一练练一练练一练练一练3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？练一练练一练4.4.二次函数最值二次函数最值问题1：.如何表示矩形的面积？问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？答案 求解二次函数最值问题的方法：（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.（2）在图象上标出定义域的位置.（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.方法指导 结合二次函数的单

9、调性和求最值的方法进行求解.典例典例4方法总结 1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数图象的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.2.图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.练一练练一练5.5.恒成立（存在有解）恒成立（存在有解）与最值与最值20,2,2,.xxxaa 恒成立 求 的范围.2)(2xxxf记.2,0,)(maxxxfa只需.1,1)1()(maxafxf.2,2,0)(2恒成立分离参数xxax恒成立)(,xfaDxDxxfa,)(max恒成立)(,xfaDxDxxfa,)(min.02,2,0)(2恒成立不分离参数axxx.2,0,2)(2xaxxxg

10、记.2,0,0)(minxxg只需.1,01)1()(minaagxg)(,xfaDxDxxfa,)(min)(,xfaDxDxxfa,)(max分离参数分离参数恒成立恒成立/存在存在(有解有解)问题化为最值问题问题化为最值问题一般只适用于二次不等式一般只适用于二次不等式典例典例5.,2)(1,1)2(;)()1(.1)0(,2)()1()(1的取值范围求实数恒成立上不等式若在区间的解析式求且满足若二次函数变式aaxxfxffxxfxfxf1)(2xxxf.21,1,1)2(:2恒成立解axxxx.013,1,12恒成立即axxx.1,1,0)(,13)(min2xxgaxxxg只需记.13,

11、1,12恒成立即xxax.1,1,)(,13)(min2xxhaxxxh只需记1a.,01),2,1(22的范围求恒成立变式kkkxxx.1),2,1(:xkx思路2k分离参数分离参数分离参数分离参数.,0)(),1,2)(3.2的范围求恒成立若设变式axfxxaxxxf).,1,)2(,2,02,02),1:max2.2.2.2xxxaxxaaxxxaxxx恒成立解,1)1(2)(.2.2xxxxg.3)1()(,),1)(maxgxgxg上单调递减在.3a分离参数分离参数函数最值函数最值.,),22)(4的范围求上有意义在变式aaxxf02),2:axx思路).,2,2xxa1a分离参数分

12、离参数2201,5,.xxaxa关于 的不等式在区间上有解 求 的范围,02,5,1:2axxx使解,2,5,1 xxax,5,1,)2(maxxxxa.1)1()(,5,1 2)(maxfxfxxxf上单调递减在.1a分离参数分离参数函数最值函数最值.,01),3,1(2的范围求是假命题成立使命题变式mmxxx,01),3,1(2是真命题使mxxx,1),3,1(xxmx),38,0(1,)3,1(xxyx时.380mm或分离参数分离参数,01),3,1(2是真命题使若mxxx,1),3,1(xxmx即).38,0(),38,0(1,)3,1(mxxx时.380,mm或原命题为假时典例典例6

13、课本练习课本练习整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：0020：00的期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.解：函数的一个可能图象如图（1）所示：单调增区间：8,12)，13,18);单调减区间：12,13)，18,20.图象的形状不是唯一的，只要能反映气温的变化情况即可2.设函数的定义域为-6，11.如果 在区间-6，2上单调递减，在区间2，11上单调递增，画出 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2)函数

14、 f(x)的一个_.解：在区间-6，11上的大致图象如图所示.)(xf)(xf)(xf最小值3.已知函数 ，求函数在区间2，6上的最大值和最小值.xxf1)(解：，则，且21216,2,xxxx所以，函数 在区间2，6上单调递减.)11)()(21122121xxxxxxxfxf).()(,0)()(2121xfxfxfxf即,0,0,62211221xxxxxx得由xxf1)(.61)6()(,21)2()(minmaxfxffxf随堂检测随堂检测CBB求函数最值的方法 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值。求函数最值的常用方法如下：（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；（2）换元法：用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出（4）利用数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.THANKS“”