3-3 专题研究1利用导数研究恒成立问题 PPT课件（2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学）.ppt

1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第2页页 专题讲解 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第3页页 专题研究一 利用导数研究恒成立问题利用导数研究恒成立问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第4页页 专专 题题 讲讲 解解 题型一 分离参数求参数范围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第5页页 例1 已知函数f(x)

2、 1lnx x ，如果当x1时，不等式f(x) k x1恒成立，求实数k的取值范围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第6页页 【思路】 恒成立不等式为1lnx x k x1，只需不等号两侧 同时乘以x1即可进行参变分离，且由于x1，x10，也不 存在不等号变号问题则可得：k （x1）（1lnx） x ，只需 k （x1）（1lnx） x min 即可，设g(x) （x1）（1lnx） x ，尝试利用导数求得最小值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第7页页 【解析】 x1， 1lnx x k x1 （x1）（1lnx）

3、x k 即只需要k （x1）（1lnx） x min 设g(x)（x1）（1lnx） x g(x) （x1）（1lnx）x（x1）（1lnx） x2 xlnx x2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第8页页 令h(x)xlnx(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造 函数进行分析)， h(x)11 x x1 x .x1，h(x)0， h(x)在1，)单调递增，h(x)h(1)10， g(x)0，g(x)在1，)单调递增， g(x)ming(1)2，k2. 【答案】 (，2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第9页页 状元

4、笔记 参数法来确定不等式f(x，)0(xD，为实参数)恒成立 问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形 式； (2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值； (3)解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min，得到的取值范 围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第10页页 思考题1 (2019 人大附中模拟)已知函数f(x)lnx. (1)求函数g(x)f(x1)x的最大值； (2)若对任意x0，不等式f(x)axx21恒成立，求实数a 的取值范围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数

5、学理（新课标版）理（新课标版） 第第11页页 【解析】 (1)因为f(x)lnx， 所以g(x)f(x1)xln(x1)x，x1. 所以g(x) 1 x11 x x1. 当x(1，0)时，g(x)0，所以g(x)在(1，0)上单调递 增； 当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调 递减 所以g(x)在x0处取得最大值g(0)0. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第12页页 (2)因为对任意x0，不等式f(x)axx21恒成立 所以 alnx x ax1 x 在x0上恒成立，进一步转化为 lnx x max a x1 x min. 设h(x)

6、 lnx x ，则h(x) 1lnx x2 ，当x(0，e)时，h(x) 0；当x(e，)时，h(x)0，所以h(x)h(e)1 e. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第13页页 要使f(x)ax恒成立，必须a 1 e .另一方面，当x0时，x 1 x 2，要使axx21恒成立，必须a2，所以满足条件的a的取 值范围是 1 e，2 . 【答案】 (1)0 (2) 1 e，2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第14页页 题型二 等价转化法求参数范围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第

7、15页页 例2 函数f(x)x22axlnx(aR) (1)若函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y10 垂直，求a的值； (2)若不等式2xlnxx2ax3在区间(0，e上恒成立，求 实数a的取值范围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第16页页 【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x 2a1 x，f(1)32a， 由题意f(1) 1 2(32a) 1 21，解得a 5 2. (2)不等式2xlnxx2ax3在区间(0，e上恒成立等价于 2lnxxa3 x0. 令g(x)2lnxxa3 x， 高考一轮总复习高考一轮总复习

8、 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第17页页 则g(x)2 x1 3 x2 x22x3 x2 （x3）（x1） x2 ， 则在区间(0，1)上，g(x)0，函数g(x)为增函数 由题意知g(x)ming(1)1a30，得a4， 所以实数a的取值范围是(，4 【答案】 (1)a5 2 (2)(，4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第18页页 状元笔记 遇到f(x)g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差 法，构造“左减右”的函数h(x)f(x)g(x)或“右减左”的函数 u(x)g(x)f(x)，进而只需满足h(x)min0或u(x)max0，将

9、比较 法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围 较广，但是往往需要对参数进行分类讨论 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第19页页 思考题2 若f(x)x3ax2x1，aR.在区间 2 3， 1 3 存在单调递减区间，求a的取值范围 【解析】 函数f(x)在区间 2 3， 1 3 存在单调递减区间，即f (x)0在 2 3， 1 3 有解 f(x)3x22ax1，aR， 2ax3x 21 2x 在 2 3， 1 3 有解， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第20页页 即研究g(x)3x 21 2x 在 2

10、3， 1 3 的最小值 g(x) 3x21 2x 3 2 x 1 3x 在 2 3， 3 3 单调递减，在 3 3 ，1 3 单调递增， g(x)ming 3 3 3， a 3，即a( 3，) 【答案】 ( 3，) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第21页页 题型三 含量词的恒成立问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第22页页 例3 设f(x)a xxlnx，g(x)x 3x23. (1)如果存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，求满 足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t 1 2，2 ，

11、都有f(s)g(t)成立，求实 数a的取值范围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第23页页 【解析】 (1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成 立，等价于g(x1)g(x2)maxM. 由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x x2 3 . 令g(x)0得x0或x 2 3 ，令g(x)0得0 x 2 3 ，又 x0，2， 所以g(x)在区间 0，2 3 上单调递减，在区间 2 3，2 上单调递 增，所以g(x)ming 2 3 85 27， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第24页页 又g(0)3，

12、g(2)1，所以g(x)maxg(2)1. 故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min112 27 M， 则满足条件的最大整数M4. (2)对于任意的s，t 1 2，2 ，都有f(s)g(t)成立，等价于在 区间 1 2，2 上，函数f(x)ming(x)max， 由(1)可知在区间 1 2，2 上，g(x)的最大值为g(2)1. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第25页页 在区间 1 2，2 上，f(x) a xxlnx1恒成立等价于axx 2lnx 恒成立 设h(x)xx2lnx，h(x)12xlnxx， 令m(x)xlnx，由m(x)l

13、nx10得x1 e. 即m(x)xlnx在 1 e， 上是增函数， 可知h(x)在区间 1 2，2 上是减函数， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第26页页 又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0； 当1 2x1时，h(x)0. 即函数h(x)xx2lnx在区间 1 2，1 上单调递增，在区间(1， 2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1， 所以a1，即实数a的取值范围是1，) 【答案】 (1)4 (2)1，) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第27页页 状元笔记 (1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其

14、实质，深 刻挖掘内含条件，进行等价转化 (2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中 尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第28页页 思考题3 已知函数f(x)ax2(2a1)xlnx，aR，g(x) exx1，若对于任意的x1(0，)，x2R，不等式 f(x1)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围 【思路】 f(x)含有参数a，而g(x)为常系数函数，且能求出最 值，所以以g(x)为入手点：若f(x1)g(x2)恒成立，则只需 f(x1)g(x)min.可求出g(x)min0，进而问题转化为x1(0

15、， )，ax12(2a1)x1lnx10恒成立，此不等式不便利用参变分离 求解，考虑利用最值法分类讨论解决 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第29页页 【解析】 f(x1)g(x2)恒成立，只需f(x1)g(x)min， 由g(x)exx1，得g(x)ex1，令g(x)0，解得 x0，令g(x)0，解得x0时，令x2a1 a ， 则f 2a1 a ln 2a1 a ln 21 a 0，与f(x)0矛盾， 当a0时，2ax10解得x1， f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减， f(x)maxf(1)a(2a1)a1， a10，a1， 综上所述

16、：a1，0 【答案】 1，0 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第31页页 不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径： (1)f(x)a恒成立f(x)mina； 存在x使f(x)a成立f(x)maxa. (2)f(x)b恒成立f(x)maxb， 存在x使f(x)b成立f(x)minb. (3)f(x)g(x)恒成立F(x)f(x)g(x)，F(x)min0. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第32页页 请做：专题层级快练（十八） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢