7-6 专题研究数学归纳法 PPT课件（2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学）.ppt

1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第2页页 专题要点 专题讲解 02 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第3页页 专题研究 数学归纳法数学归纳法 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第4页页 专专 题题 要要 点点 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第5页页 1数学归纳法的适证对象 数学归纳法是用来证明关于正整数命题的

2、一种方法，若 n0 是起始值，则 n0是使命题成立的最小正整数 2数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当 nn0(n0N*)时，验证命题成立； (2)假设 nk，(kn0，kN*)时命题成立，推证 nk1 时 命题也成立，从而推出对所有的 nn0，nN*命题成立，其中第 一步是归纳基础，第二步是归纳递推，二者缺一不可 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第6页页 专专 题题 讲讲 解解 题型一 证明恒等式 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第7页页 例 1 求证： 11 2 1 3 1 4 1 2n

3、1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n(nN *) 【证明】 (1)当 n1 时，左边11 2 1 2，右边 1 11 1 2.左 边右边，等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN*)时等式成立，即 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 2k， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第8页页 则当 nk1 时， 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k2 1 k3 1 2k1 1 2k2. 即当 nk1 时，等式也成立 综合(1)(2

4、)可知，对一切 nN*，等式成立 【答案】 略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第9页页 状元笔记 用数学归纳法证明恒等式的方法 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于 “先看项”， 弄清等式两边的构成规律， 等式的两边各有多少项， 项的多少与 n 的取值是否有关 由 nk 到 nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎 样的项 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第10页页 思考题 1 用数学归纳法证明： 1 24 1 46 1 68 1 2n（2n2） n 4（n1）(其中 nN *) 高考一轮总复习高考一

5、轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第11页页 【证明】 (1)当 n1 时，等式左边 1 24 1 8， 等式右边 1 4（11） 1 8，等式成立 (2)假设 nk(k1，kN*)时等式成立 即 1 24 1 46 1 2k（2k2） k 4（k1）成立，那么当 n k 1 时 ， 1 24 1 46 1 68 1 2k（2k2） 1 2（k1）2（k1）2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第12页页 k 4（k1） 1 4（k1）（k2） k（k2）1 4（k1）（k2） （k1）2 4（k1）（k2） k1 4（k1）1， 即 nk1

6、 时等式成立 由(1)(2)可知，对任意 nN*等式均成立 【答案】 略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第13页页 题型二 证明不等式 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第14页页 例 2 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等 式 11 3 11 5 1 1 2n1 2n1 2 成立 【证明】 (1)当 n2 时，左11 3 4 3，右 5 2 ，左右， 不等式成立 (2)假设 nk 时，不等式成立，即 11 3 11 5 1 1 2k1 2k1 2 成立， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新

7、课标版）理（新课标版） 第第15页页 那 么 当n k 1时 ， 11 3 11 5 1 1 2k1 1 1 2（k1）1 2k1 2 2k2 2k1 2k2 2 2k1 4k28k4 2 2k1 4k28k3 2 2k1 2k3 2k1 2 2k1 2（k1）1 2 ， nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对一切大于 1 的 自然数 n，不等式都成立 【答案】 略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第16页页 状元笔记 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用 其他方法不容易证，则可考虑应用数

8、学归纳法 (2)证明的关键：由 nk 时命题成立证 nk1 时命题也成 立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法 等来加以证明， 充分应用均值不等式、 不等式的性质等放缩技巧， 使问题得以简化 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第17页页 思考题 2 求证： 1 n1 1 n2 1 3n 5 6(n2，nN *) 【证明】 (1)当 n2 时，左边1 3 1 4 1 5 1 6 57 60 5 6，不等式 成立 (2)假设 nk(k2， kN*)时命题成立， 即 1 k1 1 k2 1 3k 5 6. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理

9、（新课标版）理（新课标版） 第第18页页 当 nk1 时， 1 （k1）1 1 （k1）2 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3（k1） 1 k1 1 k2 1 3k( 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1) 5 6 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 3 1 3k3 1 k1 5 6. 当 nk1 时不等式亦成立 原不等式对一切 n2，nN*均成立 【答案】 略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第19页页 题型三 证明整除问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第20页页 例 3 用数学归

10、纳法证明 42n 13n2 能被 13 整除，其中 nN*. 【证明】 (1)当 n1 时，42 1131291 能被 13 整除 (2)假设当 nk 时，42k 13k2 能被 13 整除， 则当 nk1 时，42(k 1)13k342k1423k2342k13 42k 1342k1133 (42k13k2)， 42k 113 能被 13 整除，42k13k2 能被 13 整除， 当 nk1 时也成立 由(1)(2)知，当 nN*时，42n 13n2 能被 13 整除 【答案】 略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第21页页 状元笔记 证明整除问题的关键

11、“凑项” 证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项 和因式分解等手段，将 nk1 时的式子凑出 nk 时的情形， 从而利用归纳假设使问题获证 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第22页页 思考题 3 (2019 西安模拟)试证：当 nN*时，f(n)32n 2 8n9 能被 64 整除 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第23页页 【证明】 (1)当 n1 时，f(1)64，命题显然成立 (2)假设当 nk(kN*，k1)时，f(k)32k 28k9 能被 64 整除 当 nk1 时，由于 32(k 1)28(

12、k1)9 9(32k 28k9)9 8k9 98(k1)9 9(32k 28k9)64(k1)， 即 f(k1)9f(k)64(k1)，f(k)能被 64 整除，64(k1) 能被 64 整除，nk1 时命题也成立 根据(1)(2)可知，对于任意 nN*，命题都成立 【答案】 略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第24页页 题型四 归纳猜想证明 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第25页页 例4 已知数列an的前n项和Sn满足Snan 2 1 an1且an0， nN*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；

13、 (2)证明通项公式的正确性 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第26页页 【解析】 (1)当 n1 时， 由已知得 a1a1 2 1 a11，a1 22a 120. a1 31(a10) 当 n2 时，由已知得 a1a2a2 2 1 a21， 将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220. a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5. 猜想 an 2n1 2n1(nN*) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第27页页 (2)证明：由(1)知，当 n1，2，3 时，通项公式成立 假设当 nk(k3，kN*)时，通项

14、公式成立， 即 ak 2k1 2k1. 由 ak1Sk1Ska k1 2 1 ak1 ak 2 1 ak， 将 ak 2k1 2k1代入上式并整理， 得 ak122 2k1 ak120. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第28页页 解得 ak1 2k3 2k1(an0) 即当 nk1 时，通项公式也成立 由和， 可知对所有 nN*， an 2n1 2n1都成立 【答案】 (1)a1 31，a2 5 3，a3 7 5，an 2n1 2n1 (2)略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第29页页 状元笔记 1 “归纳猜想证明

15、”的一般步骤 (1)计算：根据条件，计算若干项； (2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结 论； (3)证明：用数学归纳法证明 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第30页页 2与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策 略 (1)与函数有关的证明： 由已知条件验证前几个特殊值正确得 出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明 (2)与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时， 可考虑应用数学归纳法 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第31页页 思考题 4 已知 ai0(i1，2，n)， a1 1 a11

16、； (a1a2) 1 a1 1 a2 4； (a1a2a3) 1 a1 1 a2 1 a3 9. 归纳出对 a1，a2，an都成立的类似不等式，并用数学归 纳法加以证明 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第32页页 【解析】 结论：(a1a2an) 1 a1 1 a2 1 an n2(nN*) 证明：当 n1 时，显然不等式成立 假设当 nk 时，不等式成立， 即(a1a2a3ak) 1 a1 1 a2 1 ak k2. 当 nk1 时， (a1a2akak1) ( 1 a1 1 a2 1 ak 1 ak1) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标

17、版）理（新课标版） 第第33页页 (a1a2ak)( 1 a1 1 a2 1 ak)ak1( 1 a1 1 a2 1 ak) 1 ak1(a1a2ak)1 k2 ak1 a1 a1 ak1 ak1 a2 a2 ak1 (a k1 ak ak ak1)1k 2 2k1(k1)2.即当 nk1 时命题也成立 由可得，不等式对任意正整数 n 成立 【答案】 (a1a2a3an)( 1 a1 1 a2 1 a3 1 an)n 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第34页页 运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误，特别是寻找 nk 与 nk1 的关系 时，项数发生什么变化被弄错 (2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥 梁作用的，桥梁断了就通不过去了 (3)关键步骤含糊不清， “假设 nk 时结论成立，利用此假设 证明 nk1 时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是 证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证 明过程的严谨性、规范性 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第35页页 请做：专题层级快练（四十七） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢