1、专题层级快练专题层级快练(十九十九) 1若 a2，则函数 f(x) x3ax21 在区间(0，2)上恰好有() 1 3 A0 个零点 B1 个零点 C2 个零点 D3 个零点 答案B 解析f(x)x22ax，且 a2，当 x(0，2)时，f(x)0，f(2)4a0，f(x)在(0，2)上恰好有 1 个零点故选 B. 11 3 2已知函数 f(x)ex2xa 有零点，则 a 的取值范围是_ 答案(，2ln22 解析由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex2xa0 有解，即方程 a2xex有解 令函数 g(x)2xex，则 g(x)2ex，令 g(x)0，得 xln2，所以 g(x)在(，ln2)
2、 上是增函数，在(ln2，)上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln2)2ln22.因此，a 的取 值范围就是函数 g(x)的值域，所以，a(，2ln22 3(2020合肥市一诊)已知函数 f(x)xlnxaex(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (0， 1 e) 解析f(x)lnx1aex，x(0，)，若 f(x)xlnxaex有两个极值点， 则 ya 与 g(x)有 2 个交点 lnx1 ex g(x)，x(0，) 1 xlnx1 ex 令 h(x) lnx1，h(x) 0，g(x)0，g(x)单调递增 当 x(1，)时，h(x)0，g(x)0，g
3、(x)单调递减 g(x)极大值g(1) . 1 e 当 x0 时，g(x)，当 x时，g(x)0. 若 ya 与 g(x)在(0，)有 2 个交点，则 0a0； 33 当 x(32，32)时，f(x)0，所以 f(x)0 等价于3a0. x3 x2x1 设 g(x)3a，则 g(x)0，仅当 x0 时 g(x)0，所以 g(x) x3 x2x1 x2 （x 22x3） （x 2x1）2 在(，)上单调递增 故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 又 f(3a1)6a22a 6 0， 故 f(x)有一个零点 综上， f(x) 1 3 (a 1 6) 2 1 6 1 3 只有一个
4、零点 5(2019东北四校联考)已知 f(x) 3，F(x)lnx3x2. 1 x ex e ex e (1)判断 f(x)在(0，)上的单调性； (2)判断函数 F(x)在(0，)上零点的个数 答案(1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)3 个 解析(1)f(x)， 1 x2 ex e x2exe ex2 令 f(x)0，解得 x1，令 f(x)0，解得 0 x1， 所以 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 (2)F(x)f(x) 3， 1 x ex e 由(1)得 f(x)minf(1)1，则x1，x2，满足 0 x11x2， 使得 f(x)在(0
5、，x1)上大于 0，在(x1，x2)上小于 0，在(x2，)上大于 0， 即 F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增， 而 F(1)0，x0 时，F(x)，x时，F(x)， 画出函数 F(x)的草图，如图所示 故 F(x)在(0，)上的零点有 3 个 6已知函数 f(x)(2a)(x1)2lnx(aR) (1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在上无零点，求 a 的取值范围 (0， 1 3) 答案(1)单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)23ln3，) 解析(1)当 a1 时，f(x)x12lnx，定义
6、域为(0，)， 则 f(x)1 ，由 f(x)0，得 x2，由 f(x)0，得 0 x2. 2 x x2 x 故 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，) (2)因为 f(x)0 在区间上恒成立不可能， (0， 1 3) 故要使函数 f(x)在上无零点， (0， 1 3) 只要对任意的 x，f(x)0 恒成立， (0， 1 3) 即对 x，a2恒成立 (0， 1 3) 2lnx x1 令 h(x)2，x， 2lnx x1 (0， 1 3) 则 h(x)， 2lnx2 x2 （x1）2 再令 m(x)2lnx 2，x， 2 x (0， 1 3) 则 m(x)0， 2（1x） x
7、2 故 m(x)在上为减函数 (0， 1 3) 于是 m(x)m42ln30. ( 1 3) 从而 h(x)0，于是 h(x)在上为增函数， (0， 1 3) 所以 h(x)h23ln3， ( 1 3) 所以 a 的取值范围为23ln3，) 7已知函数 f(x)lnx2x23，g(x)f(x)4xalnx(a0) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若关于 x 的方程 g(x)a 有实数根，求实数 a 的取值范围 答案(1)f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为 (0， 1 2)( 1 2，) (2)a(，0)1，) 解析(1)依题意，得 f(x) 4x，x(0，) 1 x 14x2
8、x （12x）（12x） x 令 f(x)0，即 12x0，解得 0x ； 1 2 令 f(x)0，即 12x ， 1 2 故函数 f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (0， 1 2)( 1 2，) (2)由题意，得 g(x)f(x)4xalnx alnx， 1 x 依题意，方程 alnxa0 有实数根， 1 x 令 h(x) alnxa，即函数 h(x) alnxa 存在零点 1 x 1 x 又 h(x) ，令 h(x)0，得 x . 1 x2 a x ax1 x2 1 a 当 a0 时，h(x)0，h(e1 )aa1 10 时，h(x)，h(x)随 x 的变化如下表： x (0， 1 a) 1 a ( 1 a，) h(x) 0 h(x) 极小值 所以 haaln aalna 为函数 h(x)的极小值，也是最小值 ( 1 a) 1 a 当 h0，即 0a0， 1 e 1 e 所以函数 h(x)存在零点 综上所述，当 a(，0)1，)时， 方程 g(x)a 有实数根
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