1、专题层级快练专题层级快练(四十七四十七) 1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为1 2n(n3)条时，第一步检验第一个值 n0等于 ( ) A1 B2 C3 D0 答案 C 解析 边数最少的凸 n 边形是三角形 2(2019 山东德州一模)用数学归纳法证明 12222n 22n31，在验证 n1 时， 左边的式子为( ) A1 B12 C1222 D122223 答案 D 解析 当 n1 时，左边122223.故选 D. 3用数学归纳法证明不等式“11 2 1 3 1 2n1 n 2(nN *)”的过程，由 nk 到 nk 1 时，不等式的左边( ) A增加了 1 项 B增加了 2 项
2、C增加了 2k项 D增加了(2k1)项 答案 C 解析 2k 12k2k. 4设 f(n)11 2 1 3 1 3n1(nN *)，那么 f(n1)f(n)等于( ) A. 1 3n2 B. 1 3n 1 3n1 C. 1 3n1 1 3n2 D. 1 3n 1 3n1 1 3n2 答案 D 5用数学归纳法证明 34n 152n1(nN)能被 8 整除时，当 nk1 时，对于 34(k1)152(k 1)1 可变形为( ) A5634k 125(34k152k1) B3434k 15252k C34k 152k1 D25(34k 152k1) 答案 A 解析 因为要使用归纳假设，必须将 34(
3、k 1)152(k1)1 分解为归纳假设和能被 8 整除的两 部分所以应变形为 56 34k 125(34k152k1) 6若数列an的通项公式 an 1 （n1）2，记 cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算 c1， c2，c3的值，推测 cn_ 答案 n2 n1 解析 c12(1a1)2 11 4 3 2， c22(1a1)(1a2)2 11 4 11 9 4 3， c32(1a1)(1a2)(1a3)2 11 4 11 9 1 1 16 5 4， 故由归纳推理得 cnn2 n1. 7设数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有：(Sn1)2anSn. (1)求
4、S1，S2，S3； (2)猜想 Sn的表达式并证明 答案 (1)S11 2，S2 2 3，S3 3 4 (2)Sn n n1，证明略 解析 (1)由(S11)2S12，得 S11 2； 由(S21)2(S2S1)S2，得 S22 3； 由(S31)2(S3S2)S3，得 S33 4. (2)猜想：Sn n n1. 证明：当 n1 时，显然成立； 假设当 nk(k1 且 kN*)时，Sk k k1成立 则当 nk1 时，由(Sk11)2ak1Sk1，得 Sk1 1 2Sk 1 2 k k1 k1 k2. 从而 nk1 时，猜想也成立 综合得结论成立 8(2019 保定模拟)已知 f(x)x3 2
5、x 2，设 0a 11 2，an1f(an)，nN，证明：an 1 n1. 答案 略 证明 (1)当 n1 时，0a11 2，不等式 an 1 n1成立； 因为 a2f(a1)3 2 a11 3 2 1 6 1 6 1 3，故 n2 时不等式也成立 (2)假设 nk(k2)时， 不等式 ak 1 k1成立， 因为 f(x)x 3 2x 2的对称轴为 x1 3， 知 f(x) 在 (，1 3上为增函数，所以由 ak 1 k1 1 3，得 f(ak)f 1 k1 . 于是有 ak1 1 k1 3 2 1 （k1）2 1 k2 1 k2 1 k2 k4 2（k1）2（k2） 1 k2. 所以当 nk
6、1 时，不等式也成立 根据(1)(2)可知，对任何 nN，不等式 an 1 n1成立 9(2020 湖北宜昌一中模拟)已知函数 f(x)1 3x 3x，数列a n满足条件：a11，an1f(an 1)试比较 1 1a1 1 1a2 1 1a3 1 1an与 1 的大小，并说明理由 答案 1 1a1 1 1a2 1 1a3 1 1an1 解析 f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21. 函数 g(x)(x1)21x22x 在区间1，)上单调递增， 于是由 a11，得 a2(a11)21221，进而得 a3(a21)21241231. 由此猜想：an2n1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当 n1 时，a12111，结论成立； 假设 nk(k1 且 kN*)时结论成立，即 ak2k1， 则当 nk1 时， 由 g(x)(x1)21 在区间1， )上单调递增知， ak1(ak1)2122k 12k 11，即 nk1 时，结论也成立由知，对任意 nN*，都有 a n2 n1.即 1 an2n， 1 1an 1 2n. 1 1a1 1 1a2 1 1a3 1 1an 1 2 1 22 1 23 1 2n1 1 2 n 1.
