上海市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试卷（有答案解析，word版）.doc

1、 1 2016 学年第二学期高二数学期末考试 一、填空题 (本大题满分 54 分 )本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7题至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分 1. 的展开式中 项的系数为 _ 【答案】 【解析】 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，可得展开式中 项的系数为 ， 故答案为 10. 2. 已知直线经过点 且方向向量为 ，则原点 到直线的距离为 _. 【答案】 1 【解析】 直线的方向向量为 ，所以直线的斜率为 ，直线方程为， 由 点到直线的距离可知 ，故答案为 1. 3. 已知全集 ，集合,

2、 , 若，则实数 的值为 _. 【答案】 2 【解析】试题分析：由题意 ，则 ，由得 ，解得 考点：集合的运算 4. 若变量 满足约束条件 则 的最小值为 _. 【答案】 2 【解析】 由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 ，化目标函数 ，得 ，由图可知，当直线 过点 时，直线在 y 轴上的截距最小， 有最小值为 ， 故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题 .求目标函数 最值的一般步骤是 “ 一画、二移、三求 ” ：（ 1） 作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（ 2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后

3、通过的顶点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值 . 5. 直线 上与点 的距离等于 的点的坐标是_. 【答案】 或 . 【解析】解：因为直线 上与点 的距离等于 的点的坐标是 和 6. 某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第 二个路口时第一次遇到红灯的概率是_. 【答案】 【解析】 设 “ 这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯 ” 为事件 ，则所求概率为 ，故答案为 . 7. 某学校随机抽取 名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需

4、时间的范围是 ，样本数据分组为， ， ， ， 则该校学生上学所需时间的均值估计为 _（精确到 分钟） . 3 【答案】 34. . 点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解 直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为 1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值 . 8. 一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种 _. 【答案】 186 【解析】试题分析：设取红球 个，白球 个，则 考点：古典概型

5、 . 9. 如图，三棱锥 满足： ， ， ， ，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是 _ 4 【答案】 【解析】 由于 平面 ，在 中， ，要使 面积最大，只需 ， 的最大值为 ， 的最大值为，该三棱锥的体积 V 的取值范围是 . 10. 是双曲线 的右支上一点， 分别是圆 和上的点，则 的最大值等于 _. 【答案】 9 【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点， ，再根据双曲线的定义得 的最大值为. 考点：双曲线的定义，距离的最值问题 . 11. 棱长为 1 的正方体 及其内部一动点 ，集合 ,则集合 构成的几何体表面积为 _. 【答案】 【解析】试题分析 ： . 考点：几何体的表面积 .

6、 12. 在直角坐标平面 中，已知两定点 与 位于动直线的同侧，设集合 点 与点 到直线的距离之差等于 ， ，记, .则由 中的所有点所组成的图形的面积是 _. 【答案】 5 【解析】 过 与 分别作直线的垂线，垂足分别为 ， ， 则由题意值 ，即 ， 三角形 为正三角形，边长为 ，正三角形的高为 ，且 ， 集合 对应的轨迹为线段 的上方部分， 对应的区域为半径为 1 的单位圆内部，根据 的定义可知， 中的所有点所组成的图形为图形阴影部分 阴影部分 的面积为 ， 故答案为 . 二、选择题 (本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案 .考生应在答题纸的相应编号上，将代表答

7、案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 13. 已知 为实数，若复数 是纯虚数，则 的虚部为（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. -2 【答案】 C 【解析】 复数 是纯虚数， ，化为，解得 ， ， ， 的虚部为 ， 故选 C. 14. 已知条件 ： “ 直线在两条坐标轴上的截距相等 ” ，条件 ： “ 直线的斜率等于 ” ，则 是 的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】 B 【解析】 当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故 不6 成立； 当直线的斜率等于 ，可设直线方程为 ，故其

8、在两坐标轴上的截距均为 ，故可得 成立，则 是 的必要非充分条件，故选 B. 15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点 在 轴上， 平行于 轴，侧棱平行于 轴当顶点 在 轴正半轴上运动时，以下关于此直三 棱柱三视图的表述正确的是 （ ） A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化； B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化； C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化； D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化 【答案】 B 【解析】 A、 该三棱柱主视图的长度是 或者 在 轴上的投影，随 点得运动发生变化，故错误； B、设 是 z 轴上一点，且 ，则该三棱柱左视图就是矩形 ，图形不变故正确； C

9、、该三棱柱俯视图就是 ，随 点得运动发生变化，故错误 D、与 矛盾故错误；故选 B. 点睛：本题考查几何体的三视图 ，借助于空间直角坐标系本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点 ； 从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中 C 点对三棱柱的结构影响进一步判断 . 16. 如图，两个椭圆 ， 内部重叠区域的边界记为曲线 ， 是曲线 上任意一点，给出下列三个判断： 到 、 、 、 四点的距离之和为定值； 曲线 关于直线 、 均对称； 曲线 所围区域面积必小于 上述判断中正确命题的个数为（ ） 7 A. 0 个 B. 1 个

10、C. 2 个 D. 3 个 【答案】 C 【解析】 对于 ，若点 在椭圆 上， 到 、 两点的距离之和为定值、到 、 两点的距离之和不为定值，故错；对于 ，两个椭圆 ，关于直线 、 均对称，曲线 关于直线 、 均对称，故正确； 对于 ，曲线 所围区域在边长为 6 的正方形内部，所以面积必小于 36，故正确；故选 C. 三、解答题 (本大题满分 76 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知复数 满足 ， （其中 是虚数单位），若，求 的取值范围 【答案】 或 【解析】 试题 分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为

11、的形式即可得到 ， 根据模长之间的关系，得到关于 的不等式，解出 的范围 . 试题解析： ， ， 即 ， 解得 或 18. 如图，直四棱柱 底面 直角梯形， ， ，是棱 上一点， ， ， ， ， . （ 1）求异面直线 与 所成的角； （ 2）求证： 平面 . 8 【答案】 （ 1） （ 2）见解析 【解析】试题分析：（ 1）本题中由于有 两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（ 2）同（ 1）我们可以用向 量法证明线线垂直，以证明线面垂直， ， ，易得 当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先 ，这由已知可直接得到，而证明 可在直角梯形

12、通过计算利用勾股定理证明， ，因此 ，得证 . （ 1）以 原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .则 ， ， . 3 分 于是 , , , 异面直线 与 所成的角的大小等于 . 6 分 （ 2）过 作 交 于 ，在 中， ， ，则 ， ， ， 9 ， 10 分 ， .又 ， 平面 . 12 分 考点：（ 1）异面直线所成的角；（ 2）线面垂直 . 19. 如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，线段 和线段 都是底面圆的直径，且直线 与直线 的夹角为 ，已知 ， （ 1）求该圆锥的体积； （ 2）求证：直线 平行于平面 ，并求直线 到平面 的距离 【答案】 （ 1） （ 2）

13、 【解析】 试题分析： （ 1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（ 2）由对称性得 ，即可证明直线 平行于平面 ， 到平面 的距离即直线 到平面 的距离，由，求出直线 到平面 的距离 . 试题解析：（ 1）设圆锥的高为 ，底面半径为，则 ， ， 圆锥的体积 ； （ 2）证明：由对称性得 ， 不在平面 ， 平面 ， 平面 ， C 到平面 的距离即直线 到平面 的距离， 设 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ， 可得 ， ， 直线 到平面 的距离为 20. 阅读： 10 已知 ， ，求 的最小值 . 解法如下： ， 当且仅当 ，即 时取到等号， 则 的最小值为 . 应用上述解法，求解下列问题： （ 1）已知 ， ，求 的最小值； （ 2）已知 ，求函数 的最小值； （ 3）已知正数 ， ， 求证： . 【答案】 （ 1） 9（ 2） 18（ 3）见解析 【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄 清给定材料提供的方法（ “1”的代换），并加以运用 .主要就是 ，展开后就可应用基本不等式求得最值 .（ 1）；（ 2）虽然没有已知的“1” ，但观察求值式子的分母，可以凑配出 “1” ： ，因此有，展开后即可应用基本不等式；（ 3）观察求证式的分母，结合已知有 ，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如 与合并相加利用基本不等式有 ，从而最终得出 .