《应用数学基础上册（第二版）训练教程》课件第十章极坐标和参数方程.ppt

1、*第十章 极 坐 标 和 参 数 方 程(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)极坐标的概念，曲线的极坐标方程.(2)参数方程的概念与作图，曲线参数方程的建立.二、本章重点、难点二、本章重点、难点 曲线的极坐标、参数方程是重点；作图是难点.三、对学习的建议三、对学习的建议 (1)极坐标系也是一种常用的坐标系，建立极坐标系的要素是：极点；极轴；长度单位；角旋转的正方向.当用点的极坐标描点时，应先按极角找出点所在的直线，然后再在这条直线上按极径的正、负和数值来描点.若由点求其极坐标

2、时，应先按点与极点的距离，求出极径的数值，并赋以正号或负号，然后按照极径的正、负及它所在直线的位置求出极角.(2)等速螺线是在极坐标系中的一种重要曲线，应掌握它的定义，方程和求法.四、本章关键词四、本章关键词参变量参数方程椭圆 摆线的参数方程 (3)应该注意，参数方程中的三个变量、(或、)，其中、(或、)表示点的坐标，第三个变量 是参数，且、(或、)分别是 的函数，这样组成的方程组才叫参数方程.xyttxytxyt11 32233 (4)化曲线的参数方程为普通方程时，关键在于消去参数.还应注意：在化参数方程为普通方程时，会出现同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程，例如 与 表示同一条直线；并

3、不是所有的参数方程都能化成普通方程，例如圆的渐开线参数方程很难用普通方程表示.xtxtytytxy (二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、点的极坐标与直角坐标互化方法一、点的极坐标与直角坐标互化方法222cossintan(0)极坐标与直角坐标互化公式为，或.它使用的前提是：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 的负半轴重合；两种坐标系中取相同的长度单位.xyxyyxxx21cos20 极坐标方程 所表示的曲线是什么.例例1 1解题思路解题思路 将极坐标化为直角坐标方程.解解cossin因为，xy2221(cossin)0所以，2222101故，即.xyxy 所以曲线为双

4、曲线.(2,1)(5,2)(23,2)如图 10-1 所示，已知极点在点 处，极轴与 轴的正半轴同向，求点 和点 的极坐标.AyPQ 例例2 2解题思路解题思路PQAxyx|分别求、及，即可获解.APAQx APx AQ22|(52)(2 1)AP 解解3 2.设.x AP|cos2 13因为，AP 2cos2所以，34，图 10-1 例 2 示意33 2,4所以点 的极坐标为，P22|(232)(2 1)2 3.AQ 设，x AQ|cos2 13则.AQ 3cos2所以，76.72 3,6所以点 的极坐标为.Q4cos6 圆 的圆心的直角坐标是什么.例例3 3解解24 coscos4 sin

5、sin66由已知方程得，再化为直角坐标方程：222 32.xyxy22(3)(1)4即 ，xy(3,1)所以圆心的直角坐标为.二、已知极坐标方程描绘曲线的方法二、已知极坐标方程描绘曲线的方法 通常需将极坐标方程化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的曲线.sinsin2 确定极坐标方程所代表的曲线并画出其图像.例例4 4解解sin(2cos)0由已知方程得.sin02cos所以 或，2202化为直角坐标方程 或.yxyx(1,0)1即曲线为 轴或以 为圆心，半径为 的圆，如图 10-2 所示.xxyO1图 10-2 例 4 示意2(1)tan12 画出极坐标方程 所表示的曲线.例例5 5x

6、yO122图 10-3 例 5 示意24(1)yx原方程可变形为解解21 cot2，2csc2，(1 cos)2，222，xyx24(1)，yx 所以该曲线为抛物线，如图 10-3 所示.注意注意:有些常见曲线的极坐标方程形式也应熟记.0(1 cos)(0)比如：等速螺线的极坐标方程为；心形线的极坐标方程为，等.aaa三、参数方程化为普通方程的方法三、参数方程化为普通方程的方法 不是任何曲线的参数方程均可化为普通方程.化参数方程为普通方程的目的在于认清参数方程所对应的曲线是我们熟知的何种曲线.消参数的方法有代入法、加减消元法、应用三角公式法、解方程组法等.消参数后，必须求出参数方程中 的取值范

7、围，使消参数后的普通方程所表示的曲线范围既不扩大又不缩小.,x y2211121sincossincostancotseccsc2(1)121 化下列方程为普通方程.(1)，(为参数，且)；(2)，(为参数)；(3)，(为参数，)；(4)xyxyxkkytxtty Z例例6 620，(为参数，).tt(1)把原方程变形得：解解211221xy 10(12)两式相加得：，；xyxy 212sincos(2)，x 22112(1)2所以，即.xyyx 1sincossin22又，y1|2所以.y 211(1)|22所以方程为，；yxysincossincos(3)，y1sincos，x222212

8、sincos2sincos所以.yxx22csc2sin2因为，x|2所以，x 22(1)1(|2)所以方程为，；xyx222222222(1)4(1)(4).ttxyt22(1)(1)因为，txt22所以，xxtt所以，x 222()所以方程为，.xyx 为方便大家使用，我们介绍一些常见曲线的参数方程.0000()cossin(1)经过点，倾斜角为 的直线参数方程是 ，(为参数)；xyxxttyyt11221212()()11(2)经过两点，、，的直线参数方程是 ，(为参数)；xyxyxxxyyy222()()cossin(3)圆 的参数方程是 ，(为参数)；xaybxattybt22222

9、2221(0)cossin1(0)cossin(4)椭圆，的参数方程是 ，(为参数)；椭圆，的参数方程是 ，(为参数)；xyababxattybtyxababxbttyat22221(00)sectan(5)双曲线 ，的参数方程是 ，(为参数)；xyababxattybt22221(00)cotcsc双曲线，的参数方程是 ，(为参数)；yxababxbya22222(6)抛物线 的参数方程是 ，(为参数)；xptypxtypt 000012cossincossin2()0|(7)直线 ，(为参数)与圆锥曲线相交于、两点，若、对应的参数为、，则弦 的中点所对应的参数为.直线 (为参数)被圆锥曲线

10、，截得的弦长；ABABxxttAyytBABttABxxtttttyytF xytt002212()0|直线，(为参数)被圆锥曲线，截得的弦长.xxattF xyyybtabtt435325(41)若直线 的参数方程是，(为参数)，则过点，且与 平行的直线在 轴上的截距是多少？xtltytly 例例7 7解解34170方法一：将 化为：lxy3(41)1(4)434160所以过，与 平行的直线方程为，即，lyxxy 4所以在 轴上的截距为.y(41)445315方法二：过点，平行于 的直线参数方程为：,(为参数).lxttyt 0544令，得，代入得，即直线在 轴上的截距为.xtyy 2112

11、4312 直线，(为参数)被抛物线 所 截得的弦长是多少？xttyxyt 例例8 8解解21311422把，代入 xtytyx 23(23)304得 .tt121 24(23)43则 ，.ttt t 212121 28|()4433所以 .dttttt t8433所以截得的弦长为 .2224322 过抛物线 的焦点做一条倾角为 的弦，若要同时满足：弦长不超过 8；弦所在的直线与椭圆 有公共点，试确定 的范围.yxxy例例9 9解解24(1 0)因为 的焦点为，yx1cos(sin0)，为参数,所以设直线的参数方程为 .xttyt 22sin4 cos40代入抛物线方程，得.tt21242216

12、cos164|8sinsinsin弦长，tt21sin2即应满足 ，223(1cos)2(sin)2将直线方程代入椭圆方程，得，tt直线与椭圆有公共点，判别式非负，即22236cos4(3cos2sin)021cos4整理得 2211sincos024由，且，234334得 的范围为 ，.222(3cos2sin)6 cos10整理得 tt 12122 313313(cossin)1 直线 的参数方程为 ，直线 的极坐标方程为，则 和 的夹角为多少？xtllytll例例1010解解1131322 33由 的参数方程可知，.lk 2(cossin)1由 的极坐标方程，l1可得其普通方程为，xy2

13、1故.k 1212tan31由直线的夹角公式，得，kkk karctan3所以.12arctan3故 和 的夹角为.ll 另外，化参数方程为普通方程时应避免扩大或缩小范围.下面举例说明.22sin2cos 化参数方程 为普通方程.xy 例例1111错解错解2(2)12消去 得，xy21(2)(2)2即 yx 正解正解202sin2因为，02所以 x32cos1又因为，31所以 y 21(2)(2)(0231)2故，.yxxy 四、用参数法求轨迹方程四、用参数法求轨迹方程12121|6|4 2|已知椭圆长轴，焦距，过其左焦点 做直线交椭圆于、两点.设直线的倾斜角为，问：取何值时，等于椭圆短轴的长

14、？A AFFFMNMN例例1212解解1(2 20)方法一：如图 10-4 所示，建立平面直角坐标系，左焦点，设直线 的方程为FMN2 2cos(0)sin，xtyt 2299代入椭圆方程，得，xyxy图 10-4 例 12 示意MN1A2A1F2FO222(cos9sin)(4 2cos)10故 tt 12224 2coscos9sin，tt1 2221cos9sint t|所以 MN2121 2()4ttt t226cos9sin2262cos9sin令，3cos2解之，得 566所以 或.2299方法二：建立和法一中同样的直角坐标系，椭圆方程为 .xy22(2 2)(2 2)(tg)99

15、，.yk xyk xkxy直线方程设为：2222(1 9)36 29(81)0从而：.kxk xk212236 21 9所以，kxxk21229(81)1 9.kx xk|所以 MN221212(1)()4kxxx x222236(1)(1)(1 9)kkk226(1)1 9.kk226(1)21 9令，kk3tan3解之，得，k 566所以 或.显然，方法一比方法二简单些，可见对于某些问题应用参数法更为简单.222241614|已知、是椭圆 上的两个动点，是原点，连结、，如果、的斜率之积为.(1)求证：为定值；(2)求线段 中点的轨迹方程.PQxyOOPOQOPOQOPOQPQ例例1313解

16、解112212(42sin)(4cos2sin)02(1)设，(这里)，PcosQ12122sin2sin14cos4cos4则 1212coscossinsin0所以 ，12cos()0，2121322所以，或.22|所以 OPOQ2222112216cos4sin16cos4sin2222111116cos4sin16sin4cos16420()(2)由(1)，设 中点为，PQM x y12124(coscos)22(sinsin)2则 xy1212coscos2sinsin 所以 xy22221222cos()24 得 xy221(21)82所以 点的轨迹方程为，.xyMxy 五、用极坐

17、标法求轨迹方程五、用极坐标法求轨迹方程222222111|如图 10-5 所示，已知、为椭圆 上两动点，.求证：(1)原点 到直线 的距离是常数；(2)是常数.xyPQabOPOQOPQOPOQ例例1414xy图 10-5 例 14 示意PQO解题思路解题思路 考虑到题中涉及原点到直线的距离，故可考虑以直角坐标原点为极点，以 轴为极轴，建立极坐标系，将问题转化.Ox证明证明(1)以原点 为极点，轴为极轴，建立极坐标系，OOxcossin则 xy22221将 式代入，得xyab2222222cossina bba22222cosa bac1121()2设，、，PQ222|则 PQOPOQ2212

18、222222222211coscos2a ba bacac222222222211(2)(cos)(sin)a bacacac1212因为，POQS 2221214所以 S 44222222114(cos)(sin)a bacac所以原点到 的距离的平方PQ2224|SdPQ22222222(2)a ba bacab222222所以 a babdabab即原点到直线 的距离为常数.PQ2211|(2)OPOQ221211222222112222coscos2acaca ba b222222222acaba ba b2211|所以 为常数.OPOQ22*如图 10-6 所示，已知，该角内有动点，

19、且四边形 的面积为常数，以 为极点，的平分线为极轴建立极坐标系，求动点 的轨迹方程.AOBPPMOAPNOBPMONCOAOBP例例1515x图 10-6 例 15 示意NMOBA()，P解题思路解题思路根据轨迹条件极坐标化解解()设 的极坐标为，则POPMS1|sin()2 OMOP1|cos()|sin()2 OPOP21cos()sin()221cos()sin()2同理，.OPNS2又，OPMOPNMPNSSSC22sin2()sin2()4所以，C222cos2sin2即.C 求曲线的极坐标方程，就是确定动点的极坐标中变量 、之间的关系，与直角坐标系中求轨迹方程类似.说明说明sin2

20、|1 是直线 上的动点，在 上满足 ，则 点的轨迹方程是什么.PQOPOPOQQ例例1616解解11()()设，PQ11sin2则.1|1因为，OPOQ11211sin所以，2sin所以 为所求轨迹方程.(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案1、建立极坐标系的要素是什么？2、等速螺线定义及极坐标方程.3、化参数方程为普通方程的目的是什么？消参数方法 有哪些种？答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案(四四)课堂练习题课堂练习题221 .、将，化成极坐标方程xyax2 4 .6、将点，化成直角坐标433 2、将化成普通方程，并指出曲线形状.xtyt22 16 =2cos 4、将 4，

21、为参数参数方程.xyx返返 回回1、要素:(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角旋转的 正方向.返返 回回2、当一个动点沿着一条射线作等速运动，而射线又绕着它 的端点作等角速旋转时，这个动点的轨迹叫等速螺线.(也叫阿基米德螺线).,0.aaa 00极坐标方程:=常数 且返返 回回3、不是任何曲线的参数方程都可化成普通方程，我们化的目 的在于认清参数方程所对应的曲线是我们熟知的何种曲线；用代入法、加减法、三角公式法、解方程组法消参数.返返 回回cos1 cos .sin、由可得xay返返 回回2 4 6、，；4cos2 3 6，x4sin2 6；y 2 3 2 .点直角坐标，返返 回回3 =4+3 320 .、用代入法消去参数：-2得，是一条直线txyxy返返 回回224 2cos 16sin、由代入：，xy2cos .4sin参数方程为参数xy