《应用数学基础上》课件第五章 反三角函数与简单的三角方程.ppt

1、 第一节 反三角函数 第二节 简单三角方程 第三节 解斜三角形*第四节 数学实验一 Mathematica入门及 简单应用第一节 反三角函数 根据反函数的定义，三角函数在它们的定义域内是没有反函数的.如果把它们的定义域分成若干个小区间，使它们在每个小区间上都是一一对应的，那么三角函数在每个小区间上都分别有反函数.下面，我们分别讨论反正弦、反余弦、反正切、反余切四个反三角函数.一、反正弦函数sin,3.,:,2 22 235,5 1,2222yxkkkZy 正弦函数 的定义域是值域是-1,1由于正弦函数在其定义域内不是一一对就的,所以它在上没有反函数如果将定义域分成下列区间即由图可以看出当 取-

2、1,1sinxyx上的每一个值时,在这些区间都有惟一确定的 值与之对应,即函数=在这些区间上是一一对应的.11,;2 2622661131,.:,2262 2217;,.sin26sin,2 2xyyxxyyxyxyxyxyx 例如：在区间上当时当时当时当时又如 在区间上当时 只能取5 当 时 只能取 因此函数=在这些区间上 6都分别有反函数.为简单方便,我们讨论=在内的反.函数下面我们给出以下定义siny=x xR图5-1()的图像 Oxy-112,yxx R=sin26623232567612sin,2 2arcsinsiny=xx=yxy-1义 正弦函数在区间上的反函数称为数记作或 定1

3、反正弦函.(=).arcsinsinarcsin,.3arcsin3,?2 22 2xyyxyxyxyxyx -1 通常我们以 为自变量用 表示函数所以反正弦函数可表示为或其中 即表示角,而x表示这个角的正弦值.所以,反正弦函数=arcsin 的定义域是-1,1 值域是的定义域,值域分别为-1,1吗,.=(=).()32sin;sin1;sin;sin22 将下列各等式写成反正弦形式的等式.(1)(2)(3)-(4)0=0.432例1,0,242 2 因为都在区间上因此有:332arcsin;arcsin;arcsin;22arcsin(1)(2)1=(3)-432(4)0=0.33arcsi

4、n22等式sin可以写成等式:3333sin arcsin22所以 ,1,1,sin arcsinxxx 通常如果那么 (5 1)解3;sin arcsin.2 求下列各式的值.2(1)sin arcsin (2)2例2(1)1,1,(5 1),2 因为根据公式2;22所以sin arcsin223(2)1,1,(5 1),2 因为-根据公式 33sin arcsin.22所以 解;.求下列各式的值.22(1)arcsin (2)arcsin-22例3(1),;2 2 22 因为sin且所以arcsin44422(2),.2 222 因为sin-且-所以arcsin-44422 比较例3中(1

5、)和(2)可以看出:arcsin22arcsin-22,1,1,通常如果那么x arcsinarcsinxx-(5 2)解(1)arcsin;(2)arcsin.求下列各式的值.3-0.26722例4(1)1,1(5 2),3 因为-根据式2arcsin,arcsin;3333又因为所以-22(2)1,1,(5 2),arcsin0.2672,arcsin0.2672 15 30,arcsin15 30.因为-0.2672根据式arcsin-0.2672查表得所以-0.2672解:arcsinarcsin.33所以-22323(1)cos arcsin;(2)tan arcsin+arcsin

6、.552 求下列各式的值.*例53(1)arcsin,5设 3,5所以 为在-内的且正弦值为 的角2 2 3,sin.5即-且2 2 3sin0,5又因为 0,2可知内的角即第I象限的角.22334cos1 sin1;555所以 cos arcsin解3(2),arcsin,542 因为arcsin若设则2tantan231 tan4tan arcsinarcsintan.5241 tan1 tantan434,cos,55而由上小题(1)可知sin335.445所以 tan:31234tan arcsinarcsin752314代入上式有 2(1)arcsin sin;(2)arcsin s

7、in.33 求下列各式的值.例63(1)arcsin sin=arcsin=;323(2)arcsin sinarcsin sin.332 3由例6两小题可以看出:(1),2 2arcsin sin 如果那么 (2),2 2arcsin sin 如果那么 解arcsin sin,2 2 这时等于在上且与 角有相同正弦值的另一个角.arcsin.,2 2yxy=xyx xyxyx 反正弦函数=的图像可以用描点法在-1,1内描出也可以根据两个互为反函数的函数图像关于直线对称的性质,作出=sin,关于直线的对称图像.如图5-2所作的对称图形就是反正弦=arcsin 的图像.arcsinyx x图5-

8、2=,-1,1 的图像 yx=sin,2 2x y x=arcsinyxOxy1212-12-12二、反余弦函数cos,1,1.,0,2,1,5 3cosyxkkkZyxyx 余弦函数=的定义域是-值域是由于余弦函数在它的定义域内不是一一对应,所以它在-上没有反函数.如果把-分成下列区间:,-,0即由图可以看出在每一个小区间都是一一对应的,即=cos 在这些区间上分别都0,cos.yx有反函数.为方便起见,我们在区间上讨论的反函数下面我们给出以下定义cosyx图5-3=的图像Oxy-11yx=cos22cos0,arccoscosyxxyxy-1义 余弦函数=在上的反函数称为数,记作=(或=)

9、.定2反余弦函arccoscosarccosarccos,0,.xyyxxyxxyxxy-1 以 作自变量,作函数,则反余弦函数可表示成:=(或y=).其中(即)是角,而 是这个角的余弦值.这样反余弦函数=的定义域是-1,1 值域是3;0.62 把下列各等式写成反余弦形式的等式.(1)cos (2)cos=-1;(3)cos2例7,6 因为都在区间0,上所以2 3(1);.26 arccos (2)arccos(-1)=;(3)arccos0=2由例7可知,等式3623arccos62cos33.22所以 cos arccos,cos arccos一般地如果-1,1 那么 xxx(5 3)解(

10、1)cos arccos;(2)cos arccos.求下列各式的值.11 -2例8(1),(5 3),cos arccos1;因为1-1,1 根据公式所以111(2),(5 3),cos arccos.221 因为-1,1 根据公式所以 2 解 2(1)arccos;(2)arccos.求下列各式的值.2 -22例9(1)cos,0,arccos;22因为且所以444222(2)coscoscos,0,44233 因为且443arccos.442所以-2arccos4arccosarccos2如果将上式中的 用来代替,则有:222 -22,1,1,arccosarccos一般地如果那么 xx

11、x(5 4)解(1)arccos;(2)arccos.求下列各式的值.3-0.96952例10(1)1,1,3因为-根据公式(5-4),25arccosarccos;6633所以-22(2)1,1,因为-0.9695根据公式(5-4),所以 解arccos180arccos0.9695 18014 11 165 49.-0.9695(1)arccos cos;(2)arccos cos;(3)arccos cos.求下列各式的值.575 -666例113arccoscosarccos625(1)arccos cos63arccos;26565(2)arccoscos;667 arccos co

12、s655(3)arccos cos.665 arccos cos-60,arccos cos;0,arccos cos,arccos cos.由例11可以看出,如果那么如果那么这时等于在 0,上且和 有相等的余弦值的那个角 解(1)arcsin;(2)arccos.xyyx求下列函数的定义域和值域.=3 *=22例12(1)1,22.xx 因为-1所以233arcsin,3arcsin.2222又因为所以22xx2,2,.33所以 函数=3arcsin 的定义域是值域是-222xy(2).11 因为-1 21,所以-22xx 0 arccos2,0arccos2.又因为所以xx,0,.1 1因

13、此函数arccos2 的定义域是值域是2 2yx 解arccoscos.yxyxyx 反余弦函数=的图像如图5-4所示,它与余弦函数=在 0,上的一段曲线关于对称yx x图5-4=arccos,-1,1 的图像 arccosyx2Oxyyx211cosyx0,x1三、反正切函数与反余切函数tan,23,(),2 222yxkkkZ 如图5-5所示,可以看出正切函数在整个定义域上没有反函数.对于正切函数=来说,如果分别在区间:,-2即上讨论其反函数则都分别存.cot:(0,),(,2),.,.在反函数分别在区间上也都分别存在反函数为方便起见我们给出以下定义yx 5 5tanyx图 =的图像Oxy

14、232232tan,2 2arctantany=xx=yxy-1义 正切函数在-上的反函数称为数,记作(或=),如图5-6所示.定3反正切函cotcotcoty=xx=arcyx=y-1义 余切函数在(0,)上的反函数称为数,记作(或).定4反余切函arctany=x图5-6 的图像arctanyx22Oxy,.2 2cot,0,.如果以 为自变量,为函数,则反正切函数可表示为:=arctan,定义域是-,+值域为反余切函数可表示为定义域是-,+值域是xyyxy arcx,:由反正切,反余切函数的定义可知,如果-,+那么有x tan arctanxxcotcotarcxx(5 5)(5 6),

15、:同反正弦,反余弦函数的情况相仿,如果-,+那么有x arctanarctanxxcotcotarcxarcx(5 7)(5 8)(1)arctan;(2)arccot(3)arctan(4)arccot求下列各式的值.3 0;(-1);(-3).3例13(1)tan,arctan;2 2 33 因为且所以63636(2)cot0,(0,),arccot0;222 因为且所以(3)arctanarctan1;4 根据公式(5-7),可知:-15(4)arccotarccot.66 根据公式(5-8),可知:-3=-3 解(1)arctan tan;(2)arctan tan.求下列各式的值.5

16、 44例14(1)arctan tanarctan1;44arctanarctan tan.445(2)tan4,arctan tan;2 2,arctan tan.,arctan tan,2 22 2 由例14可以得出:如果那么如果那么这时等于在内且和 有相同正切值的另一个角.0,cot cot;0,cot cot,cot cot0,arcarcarc 同理,对反余切函数来说,如果那么如果那么这时等于在内且和 角有相等的余切值的那个角.解arccot cot.求-的值4例153arccot cotarccotcotarccot(1).444-4(!:,)做题思路 先看是求角或求数值再由公式和

17、特殊角函数值做题.arctantan,.2 2yxyxyx 反正切函数=的图像如图5-7所示,它与正切函数=在内的图像关于直线对称arccotcot.yxyxyx 反余切函数=的图像如图5-8所示,它与余切函数=在 0,内的图像关于直线对称 解tanyxyx图5-7=与=arctan 的对 称关系5 8 yxyx图=cot 与=arccot 的对 称关系Oxy22yxarctanyx=tan,2 2yx x 22arc cotyxyx22Oxy思考题：课堂练习题：1.三角函数在它们的定义域内有反函数吗？反三角函数存在的条件是什么？2.三角函数和反三角函数各表示什么？1,1sin arcsin;

18、arcsin;cos arccos;arccos.xxxxx 1.若则 习 题答 案答 案点击左键显示答案xarcsin xxarccos x(3)arctan?;(4)cos arccos2-1 -=?3(5)arctan;(6)arcsin?3 =?3351513.sin,arcsin,?6262 这种说法正确吗2.:求值11(1)arcsin?;(2)arccos?;22 答 案答 案第二节 简单三角方程含有未知数的三角函数的方程称为三角方程.例如：适合三角方程成立的每一个角称为这个方程的一个解.三角方程的所有解称为三角方程的通解.而求出方程的解或确定方程无解的过程叫做解三角方程.1si

19、n,2x22sin3cos0,tan5cos4xxxx 等都是三角方程一、最简三角方程 形式为sin,cos,tan和cot的三角方程,称为最简三角方程.下面我们分别来讨论这几种方程的通解.x=ax=ax=ax=a1,.首先讨论的情形我们先看两个例子x=aa 1.sin的通解sin.x1 解方程=2例13sin,2(5 9).x1 利用单位圆可以作出适合方程=的在区间-22上的角 15 9,.1arcsin,.26xx 1 可以从图看出方程在区间-上有惟一解2 2即223,:215arcsin,.266 在区间上又有惟一解2即xx(),kkZ因为正弦函数的周期是2,所以对这两个解分别加上2就得

20、到方程的通解为:11arcsin2arcsin().22xkxkk Z=2和5().xkxkkZ即,=2+和2+665 9sinx1图 单位圆中适合=21M2M121x2xOxy解.1 解方程sin=-2x例23sin,2 2,0:2x1 利用单位圆可以作出适合方程=-的在区间2的角.如图5-10所示,可以看出,方程在区间上的一个解为 1arcsin1-2x13;,:62即在区间上的另一个解为x217arcsin.266x 所以方程的通解为:1arcsin21arcsin().2xkxkk Z=2和25 10sin x1图 单位圆中适合=-的角2121x2x1M2MOxy解2,().66xkx

21、kk Z即和21213,arcsin;,:2 22 2arcsin,从以上两个例子可以得出,当时方程sin=在区间上有惟一解为:在上有惟一解为ax axaxa arcsin()arcsin21arcsin().(!:|1 arcsin,)kxka kxkaka kx x ka k ZZZ 所以方程的通解为:=2和=2并集为1,sin1sin1,如果则或如图5-11所示.由图5-11()可以看出axxasinx=1的通解为:();xkkZ=2+2sin1:的通解为x2().xkkZ25 11().1,sin.如图b 所示如果则显然无解ax a5 11sinsinxx图 单位圆中适合=1及=-1的

22、角（a）2Oxy（b）2Oxy1,首先讨论的情形我们也先来看下面的两个例子.x aa 2.cos=的通解.2 解方程cos=2x例312:arccos,0arccos,4.4xxxxx122 从图5-12可以看出,cos=在区间0,上有惟一解为222即在区间上有惟一解:即22 (),cos(),2().4kkZxxkkxkkZZ 因为余弦函数的周期是2,所以对这两个解分别加上222就得到方程的通解为:=2arccos即22解.2 解方程cos=-2x例412cos,233arccos,.424xxxx12从图5-13可以看出,=-在区间上有惟一解22为即在区间-,-上有惟一解为：2 解 5 1

23、2x图 单位圆中适合2 cos=的角2Oxy1M2M1x2xx图5-13 单位圆中适合2 cos=-的角2Oxy2M1M1x2x2cos:2arccos(),232().4xxkkZxkkZ2 所以方程=-的通解为2即12,1arccos,0arccos.从上面的例子可以看出当时方程cos=在区间0,上有惟一解为在上有惟一解为ax axaxaxka kZ所以方程的通解为:=2arccos().1其次,我们来讨论情况.a 方程cos=1和cos=-1的通解可分别由图5-14中(a),(b)直接看出.xxcos2();xxkkZ方程=1的通解为:cos2().xxkk Z方程=-1的通解为:1,c

24、os.ax a当时显然无解xx图5-14 单位圆中适合cos=1及cos=-1的角xyO2k2kxyO,:当 为任意实数时,方程tan=在-2 2内有惟一解为xaax a 3.tan=的通解arctanxatan 因为正切函数的最小正周期是,所以方程tan=(Z)的通解为:yxx aaarctanx kaaR=+()tan.x 解方程=-3例5arctanarctan,3 因为-33:().3xxkkZ所以 方程tan=-3的通解为解cotx=aax a 当 为任意实数时,方程=在区间0,内有惟一解为:4.cot的通解arccotxa=x a aR因为反切函数的周期是,所以方程arccot=(

25、)的通解为:arccotx kakZ=+()cot,xx5 求适合方程=且0 720的解.3例6arccotarccot1.666730 58,5因为 3cot30 58().xx=kkZ5所以 方程=的通解为:180+30,1,2,3,30 58,210 58,390 58,570 58.令就可得到方程在0 720 的解为kx解,sincostancotx=ax=ax=ax=a 这样 我们就得到了最简三角方程,的通解公式.现将其列表如下(表5-1),以便于就用.表5-1 最简三角方程的通解sin xacos xatan xacot xa1a 1a 1a 1a 1a 1a aRaR|1arcs

26、in,kx x ka k Z|2arcsin,x xka kZ|2arccos,x xka kZ|2arccos,x xka kZ|arctan,x x ka kZ|arccot,x x ka kZ二、简单三角方程的解法 解三角方程，一般是应用三角函数式的恒等变形和解代数方程的有关知识，先把三角方程化为一个或几个最简三角方程，再求出适合原方程的解.下面举例介绍一些简单的三角方程的解法.解方程2sin2=1.x例7.xx1因为 2sin2=1,所以 sin2=21arcsin.2把2 当作一个角,先求方程关于2 的取值,得:2=+-1kxxx k,.(!12.)kx|xkkxZ1 所以 原方程的

27、解集为:=-1方程中2的 值应该用解集形式书写 解23 sin3.2 解方程2sin xx例8sin23 sin30,2sin3sin10.xxxx2 因为 2所以 332sin30,sin,arcsin22(),sin10,sin1,arcsin().kxxx kkxxxkk ZZ 由即得其解集为:=+-1由即得其解集为:=2+-1所以原方程的解集为:,|2,.32kx|x kkx xkkZZ=+-1解3cos0.2 解方程2sin xx解922sin1 coscos3cos0,2cos3cos20,2cos10.xxxxxxxx 22 把代入方程,得:2 1-即即 cos-2 cos20,

28、cos2,由得这时方程的解为;xxcoscos,arccos.xxxkkZ1由2+1=0,得=-得方程的解集为:21 =2-22,.3x|xkkZ所以 原方程的解集为:=2解coscos10.xx 解方程4+22例10coscos1,:8cos2cos30,2224cos32cos10.22xxxxxx22 =2代入方程 得所以有 334cos30,cos360arccos,22424:360138 35,72027710.2xxxkxkkxkk ZZ 由即得：得即110,cos:36060,2222720120.xxxkkxkk ZZ 由2cos即得即所以原方程的解集为:|72027710,

29、|720120,x xkkx xkkZZ 解 从以上几个例子可以看出，如果是可以化为同角、同名的三角函数的方程，那么一般可以通过恰当的三角函数式的恒等变换，化为同角、同名的三角函数的方程，然后求解.2sin3sin coscos0.xxxx2 解方程2例11coscos2cosxx=x=kx2 0(若0,则2,而它不满足方程),所以可以用同除原方程的两边,得:3tan10,2tan1tan10.22tan所以xxxx 12tan10,tan:2由即得xx 1180arctan18026 34;2xkkkZ 解tan10,tan1,:由即得xx 180arctan118045.xkkk Z所以原

30、方程的解集为:18026 34,|18045,.x|x=kkx xkkZZ23sin cos3cos2.2 解方程4sin xxxx例122cos1,xx2因为sin所以 原方程可化为:223sin cos3cos2cos,224sinsinxxxxxx23sin coscos0.2所以 有2sin xxxx这样就成了例11题,所以它的解集为:18026 34,|18045,.x|x=kkx xkkZZ解cos2.解方程sin-3xx 例1332sincos,sin cos2232cos sin.32xxxx1 用2除方程两边,得:即2 2.32所以 有sin-x21arcsin.32kxkk

31、 Z所以 有-2(,tan),.ax bx=cbAx+A=aba2 从例13可以得出,形如 sin+cos的方程,可以先把左端化成 sin的形式 其中然后求解1,.43kx|x=kk Z原方程的解集为:解习 题思考题：1.解下列方程.1.什么叫三角方程？最简单三角方程是哪些？2.解三角方程的思路是什么？课堂练习题：(1)sin10;(2)cos20.xx 2 2222.cos,042xx求适合方程 且的解.答 案答 案答 案答 案第三节 解斜三角形 在生产实践中，经常遇到斜三角形(三个角中无直角的三角形).本节将介绍正弦定理和余弦定理，并利用这两个定理来解斜三角形.一、正弦定理,515我们将放

32、在直角坐标系内 如图所示.ABCcossin,ABCAACxBcA cAACEBB 图5-15(a)表示以 的顶点 为原点,边 所在射线为 轴非负半轴建立的坐标系.根据三角函数的定义可知,顶点 的坐标是,而 边上的高 就是 点的纵坐标.1sin,:!;21,.2因此的面积为底 高其中为三边cAABCSSS SaSbSca b cSabc1sin21S=2ACEBbcA515ABC图 在平面直角坐标系中的位置xOyABCEabc(a)(b)(c)xOyABCEabcxOyABCEabc由图5-15(b),(c)同样可以推得:sinsin1S=21S=2caBabC,因此 我们得到三角形的面积公式

33、1sinsinsin211S=22bcAcaBabC(59),也就是说 三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦和积的一半,将等式:sinsinsin111222bcAcaBabCsinsinsin,:.1各除以可得2ABCabcabc,.由此 我们得到任意三角形的边和角之间关系的一个重要定理如下 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即:定理1sinsinsinabcABc(510)该定理被称为.(!注意:对任意三角形都成立),(这些比值与三角形外接圆半径有何关系?)正弦定理,90,sin1,sin.ABCCabCsinABcc 如果三角形中有一个角是直角 例如这时由正弦定理可得=这

34、和初中学过的直角三角形中边和角之间的关系是一致的.利用正弦定理,可以理解下面两类斜三角形的问题:(1)(2)已知三角形的两角和任一边,求其他两边和一角;已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他两角和一边.,400,36 40,79 50,(ABCaABb,cC 在中已知求和边长保留三个有效数字).例1(1)18036 4079 506330;CAB =180 sin(2),sinsin400 sin79 50400 0.9843659.3659;sin36 400.5971abaBbABAb 由即从而sin sin(3),sinsin304000.8949599.sin36 400.5971

35、即从而sin400 sin63 abaCcACAc=解bCc=cbBbccsin 注意,如果用来求 边,由于 值已可能有误差,sin那么用 来求 就会造成 的误差增大.因此,在解三角形时,应当尽可能由已知元素求未知元素.,58,().在中已知732.1,1015,39求和边长保留四个有效数字ABCa=b=A=BCc 例2(1),sinabbAB=ABasin 由即sin从而有:sin581015 0.6425sin0.8905,732.1732.1B=1015sin39162 5618062 56117 4;2所以 BB解(2)因为 180-+,C=AB15862 561所以=180-+=18

36、0-39 =77 6,CAB218058117 422 58;2=180-+39 CAB(3),sinsincaCA 由即sin,sinaCc=A从而有11sin732.1 sin77 6732.1 0.97481111,sinsin39 580.6423aCcA22732.1 sin22 58732.1 0.3902445.1.sin39 580.6423sinsinaCcA516如图 表示有两解的情况.图5-16 例2示意A1B2Baab1C2C1c2c,().在中,已知60.0,50.0,38 求和边长保留三个有效数字ABCa=b=A=Bc 例3(1),baBAB 已知,所以从而有也为锐

37、角.sin50.0 sin3850.0 0.6157sin0.513160.060.0bB=aA30 52.所以 Bsin 180(2)sinsin sinaABaCc=AA sin60.00.932790.9.sin0.6157aABA 解,18,20,150,.在中已知解此三角形ABCabA例4150,Aaba 因为是钝角 所以 应是最大边 但所以此题无解.从以上几个例子可知，在已知两边和其中一边的对角解三角形时，有两解、一解、无解三种情况.16,44 25,5 17,().ABABCAC=BAC=BCAA B 要测量工厂 和河对岸车站 间的距离,在岸边选择一点,并测得348.5m,74以

38、及如图所示 求间的距离 保留四个有效数字 例516,44 25,:AC=A=C由题设348.5m,74得解解(1)180741644 256119;B=AC 18044 25(2)sin61190.8773278.0sin348.5 sin348.5 0.6999 m=msin mACCAB=B.:278.0答 工厂和河对岸车站间的距离约m.图5-17 例5示意ABC0,().CBCABCBAAABCBCBAA A000 图5-18是曲柄连杆机构的示意,当曲柄绕 点旋转时,通过连杆的传递,使活塞做往复运动.当曲柄在时曲柄和连杆成一条直线,这时,连杆的端点 在 处.设连杆长340mm,曲柄长85

39、mm.求曲柄按顺时针方向旋转80时 活塞移动的距离即连杆的端点 移动的距离保留两个有效数字 例680C0BA0AB图5-8 例6图形示意000,34085425,.A AACACACABBCAC 因为而mmmm 所以需先求出的长 ,:sinsin在中于是BCABABCACsin85sin80850.9848sin0.2462.340340 BCCAAB 所以344.3mmAC=00425344.380.781因此mmmmmm.A AA CAC80,810 答:曲柄自按顺时针方向旋转时 活塞移动的距离约为mm.CB解二、余弦定理 定理2 三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角

40、余弦的积的两倍，即:222222222cos2cos2cos2abcbcAbcacaBcababC(511)我们先证明公式(5-11)中的第一个等式.这时 A可能是锐角,钝角,直角三种情形.如图5-19所示.证明222,:.(1)当为锐角时,如图5-19(a)所示,过 点作由勾股定理可知ACCDABaCDBD2222222,2.又因为CDbADBDcADccADAD 222222222.所以abADccADADbccAD222,cos,2cos.ACDADbAabcbcA 而在直角三角形中所以 ABC图5-19 的形状分类ABCDabcABDC(a)(b)(c)ABCabcabc(2)当钝角时

41、,如图5-19(b)所示,过 点作,交的延长线于,于是:ACCDBABAD22222222222222,aCDBDbADcADbADccADADbccAD而在直角三角形中,有:ACD222cos,2cos.=cos 180所以 AD bAbAabcbcA(3)A 当为直角时,如图5-19(c)所示，222,coscos900.:2cos.因为90 所以显然等式仍然成立A=AabcbcA 同理可证公式(5-11)中的后两个等式也成立.该定理被称为余弦定理.如将公式(5-11)变形,可以得到余弦定理的另一形式:2222222222cos2cos2cosbcaA=bccabBcaabcCab(512

42、)利用余弦定理可以解下面两类斜三角形的问题：（1）已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和两个角；（2）已知三角形的三边，求三个角.180 (!解三角形时,应重视及三角形的六个元素.)A+B+C,已知60,34,41 求B及 C(边长保留两个有效数字).b=c=A=a,例7222(1)2cos,:abcbcA 由得222603426034cos413600115640800.75471677 a 所以 40.9541;a(2)c 先求出较短边 所对的角:34 sin4134 0.6561sin,:sin0.5447,40.9540.95cAC=Casin 得33;所以 C(3)18041331

43、06.180B=AC 解 已知345.6,269.2,453.4,求,和a=b=c=ABC.例8.a,bAB用余弦定理先求出两个较短边所对的和222(1),:2b 由cosA=得cabc222269.2453.4345.6cos0.6497,49 29;2269.2453.4所以AA222(2),:2 由cos得acbB=ac222345.6453.4269.2cos0.8058,2345.6453.4所以BBarccos0.80583619;(3)18049 2936199412.180C=AB 下面我们来看两个用余弦定理解决实际问题的例子.解20,().A,BCCA=CB=ACB=AB 两

44、点彼此不能直达,也不能望见,为了测得这两点间的距离,选择能直达这两点的 点(图5-20),测得140m,195m,66求两点间的距离 保留三个有效数字 例9 由余弦定理,得:解222222cos1401952 140 195cos66 20357092 mABCACBCACBC所以 AB189m答:两点间的距离约为189m.A,B图5-20 例9图形示意ABC66 207710,(521)().P,QAD=AB=RQR 作用于一点的两个力,其大小分别为36kg,83kg,两力的夹角求这两力的合力 的大小及其与力 所夹的角图的大小保留两个有效数字 例107710,:AD=AB=P,QRB=已知3

45、6kg,83kg,两力的夹角为根据力学中求两力的合力方法,即解以和合力 为边的三角形ABC.现在180由余弦定理 得 222222cos 1803683236 83cos 18077109512 ACADABADAB解521图 例10图形示意ABCDPRa所以 97.53kg98kg.AC 36sin 1807710sin0.3599,97.53再由正弦定理,得:sinPCR216所以 216.答:合力 的大小约为98kg,它与力 所成的角 为RACQ习 题思考题：课堂练习题：背出正弦定理、余弦定理及它们的适用范围？1.200,36 24,75 30,.()ABCaABb cC在中,已知求和边

46、长保留三个有效数字2.10,15,8,ABCabc在中,已知三边求三个角.3.52,45,40,.ABCbcAa B C在中,已知求答 案答 案答 案答 案*第四节 数学实验一 Mathematica入门及简单应用 一、Mathematica 入门 1.Mathematica简介 Mathematica是一个功能强大的计算机应用软件,由美国Wolfram Research公司开发,自1988年Mathematica 1.0推出后,在计算技术领域引起了很大震动,使得Wolfram Research 公司成为世界软件工业的先驱,并被广泛认为是技术和商业领域的佼佼者.Mathematica 是一个完

47、全集成环境下的符号运算系统,具有强大的数值运算功能、符号运算功能和绘图功能.利用Mathematica可能做任意位精度的数值计算.如今,Mathematica已广泛应用于数学、物理学、化学以及工程领域，被认为是现代技术的标志.数计号运 使用Mathematica可以像使用标准科学计算器一样进行算术运算,启动Mathem-atica后即可进入Mathematica系统集成界面,Mathematica集成界面可以输入文本,动画和实际的Mathematica输入.加,减,乘,除,乘方的算符依次为+,-,*,/,.其中乘可以用空格来代替,减号可用来表示一个数的符号,并直接写在数的前 2.Mathema

48、tica 的值算与符算边.计算5.2+7.9.例1 在Mathematica工作区输入:5.2+7.9,按shift+Enter键后得结果:5.27.9113.1In 1Out :111,.其中In 1和Out是系统自动加上的,In后面代表输入的表达式,Out后面代表输出的结果.Out表示输入In的输出结果 该结果可以被其他输入引用在Mathematica工作区输入命令后,按shift+Enter键可以执行该命令,并输出结果.本书各例中当有结果输出时,均需按shift+Enter键.:110223.1In 2OutOut但Mathematica又与计算器不同,它能给出精确的计算结果.解.100

49、 计算2例2 :2 10031267650600228229401496703205376 In 3out Mathematica可以按任意指定的精度给出数值解.使用N函数得到上面近似计算结果:30:%41.26765 10In 4NOut 1:252.31 10In 5N OutOut%,%,%()代表最后的计算结果代表倒数第二个计算结果次 代表倒数第 个计算结果.Mathematica函数的第一个字母应大写,函数调用应使用中括号 .kk或解13 1.6.3 计算2.1例3 :2.1 33 1.61 In 6 69.46933Out 计算20的平方根,精确到40位有效数字.例4:20,40

50、In 7N Sqrt 74.472135954999579392818347337462552470881OutMathematica不但能进行数值计算,而且也能进行符号运算.33323.3 求1n例5:3,1,kknIn 8Sum 221814Outnn解解解数学数数学数 Mathematica中使用的数学常量有:3.Mathematica的常和函,180Pi 圆周率E 自然对数的底eDegree 角的度量单位1 即I 虚数单位i=-1Infinity 无穷大注意这些常量符号都是以大写字母开头的.计算半径为3m的圆的周长和面积,精确到20位有效数字.例6:23,20In 9NPi 918.8