《高等数学与经济数学》课件第七章概率论初步.ppt

1、第七章第七章 概概 率率 论论 初初 步步(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容1、概率的统计定义、古典定义及性质，概率的加法及乘法 公式，全概率公式，贝努里概型及其计算公式.2、事件的相互关系.3、随机变量的定义及其分类：离散型随机变量和连续型随 机变量.4、离散型随机变量及其概率分布，几种常用的离散型随机 变量的概率分布：两点分布、二项分布和泊松分布.5、连续型随机变量及其概率密度函数，几种常见的连续型随 机变量的概率密度函数：均匀分布、指数分布和正态分布.二、本章重点、难点内容二、本章重

2、点、难点内容1、求解古典概型的应用题.2、求分布函数.6、分布函数的定义、性质以及几种常见的分布函数.7、数学期望的定义、性质以及常见分布的数学期望.8、方差的定义、性质以及常见分布的方差.3、求数学期望与方差.三、对学习的建议三、对学习的建议1、注意复习有关初等数学中的排列组合方面的知识，这样将 十分有利于本章内容的学习。2、随机变量是一个重要的概念，请注意它的性质与分类，重点是连续型随机变量。分布函数是把离散型和连续型 两种随机变量统一起来的一种形式，它有助于研究随机 变量的统计规律性。3、在几种常见的随机变量分布中，最重要也最常见的是正 态分布，请注意一般正态分布与标准正态分布的密度函

3、数的性质、关系，如何进行概率的计算，包括互换关系 计算。四、本章关键词四、本章关键词概率的古典定义概率性质随机变量分布函数数学期望方差(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、古典概型的计算一、古典概型的计算常遇到的古典概型问题大致可分三类，下面分别举例说明.1、随机抽物问题例例1 1 设有 8 件产品，6 件正品，2 件次品.随机抽取 2 次，每次取出一件产品，分有放回抽取和无放回抽取两种情况，求：2 件全是正品的概率；2 件产品中，一件是正品，另一件是次品的概率；2 件产品中至少有一件是次品的概率.解解(1)有放回抽取.1188864 由于每次都是从 件产品中抽取，故样本空间 所包含

4、的基本事件总数 nC C116666236 因为第一次有 件正品供抽取，第二次也有 件正品供抽取，所以“件全为正品”的事件 所包含的基本事件总数,AmC C36()0.56364因此 .mP An1126224 “一件是正品，另一件是次品”的事件 所包含的基本事件总数,BmC C24()0.37564因此 .mP Bn“至少有一件次品”的事件 为事件 的对立事件，CAA()()1()0.437因此 .P CP AP A(2)无放回抽取.28878 756 第一次从 件产品中抽取一件，不再放回，故第二次从 件产品中抽取一件，所以样本空间 所包含的基本事件总数 ,nA 2626 530 “件全为正

5、品”的事件 所包含的基本事件总数,AmA30()0.53656因此 .mP An1162224 “一件是正品，另一件是次品”的事件 所包含的基本事件总数，BmC C24()0.42956因此 .mP Bn“至少有一件次品”的事件 为事件 的对立事件，CA()()1()0.464因此 .P CP AP A()说明：袋中有 个球，个白球，个红球，随机抽取 个球的问题均属此类.NkNkmmk2、随机取数问题例例2 2 从 0,1,2,3,9 这 10 个数字中随机取出一个数字，取后再放回，连续取 3 次，求下列事件的概率:(1)A 1=3 个数字全不同；(2)A 2=不含 0 和 2；(3)A 3=

6、1 恰好出现 2 次；(4)A 4=1 最多出现 2 次.解解 有放回地从 10 个数字中随机取 1 个数字，连续取 3 次所包含的基本事件总数 n=103.110 9 8720(1)事件 所包含的基本事件总数，Am 13720()0.7210故 .mP An328(2)事件 所包含的基本事件总数，Am 3238()0.51210故 .mP An233213927 (3)3 次抽取中 1 出现 2 次，因此有 种可能，剩下1 次是从其余 9 个数字中任取一个，则事件 所包含的基本事件总数，CAmC C3327()0.02710故 .mP An331112139939339101010 (4)由

7、于 1 不出现的概率为，1 恰好出现一次的概率为，1 恰好出现二次的概率为，C C CC C31112139939439()0.99910故 1 最多出现两次的概率为 .C C CC CP A 说明：电话号码、车牌号码及中奖号码的抽取问题以及组数问题均归为此类.2、质点入格问题12345()3 有 个不同质点，每个质点等可能地落入 个格子中的每一个格子内(设每个格子落入的质点总数不限)，现 个质点全部落入 个格子中，求下列事件的概率：(1)个质点落入某个指定的格子中；(2)个质点落入同一个格子中；(3)个质点落入指定的某个格子中；(4)个质点落入 个不同的格子中；(5)mN NmmNAmAmA

8、AmmA例例3 3()()指定的 个格子内，共有 个质点.k kNl lm解解 每个质点和每个格子都看作不同，从而基本事件总数；mnN(1)个质点落入某个指定的格子内，只有一种可能，m11()故 ；mP AN1(2)个质点落入同一个格子有 种可能，NmC1211()故 ；NmmmCNP ANNN333(1)(3)个质点落入指定的某个格子内有 种可能，mmCN333333(1)11()1故 ；mmmmmCNP ACNNN !(4)从 个格子中任意选取 个格子的取法总数为，个质点落入选出的 个格子中(每个格子中恰好有一个质点)，共有 种可能，mNNmCmmm4!()故 ；mNmC mP AN()(

9、5)个质点落入指定的 个格子内的可能数为：，llm lmlkC kNk5()()1故 .lm lllm llmmmC kNkkkP ACNNN 说明：投球入筐、分房问题及生日问题均属此类.二、利用事件独立性分析问题二、利用事件独立性分析问题1、线路的可靠性分析 设线路是由 n 个元件按一定的方式连接而成，各元件是否工作正常相互独立，整个线路的可靠性依赖于各个元件的可靠性及各元件间的连接方式.12iAiinA 设事件 在某段时间内第 个元件工作正常，事件 在某段时间内整个线路工作正常.(1)串联线路(见图 7-1)1 A2 A nA图 7-1 串联线路1212()()()()()则；nnP AP

10、 A AAP A P A P A(2)并联线路(见图 7-2)1212()1()1()1()()()则 ；nnP AP AP A AAP A P A P A 1 A2 A nA图 7-2 并联线路(3)混联线路 由于混联线路是由元件经过串联和并联而成，故其可靠性可通过具体分析而得.设元件 a，b，c，d 构成如下电路(见图 7-3).求：(1)串联支路正常工作的概率；(2)并联支路正常工作的概率；(3)整个混联线路正常工作的概率；(4)已知整个线路各项工作正常，元件 a，b，c，d 正常工作的概率.例例4 4abc图 7-3 混联线路d解解设事件，分别表示元件 a，b，c，d 正常工作，并设事

11、件 表示整个混联线路正常工作.ABCDE(1)串联支路正常工作的概率为()()()0.5 0.50.25；P ABP A P B(2)并联支路正常工作的概率为()()()()P CDP CP DP CD()()()()P CP DP C P D0.50.50.5 0.50.75；()1()1()()或 P CDP CDP C P D 1 0.5 0.50.75；(3)混联线路正常工作的概率为()()P EP ABCD()()()()()()()P ABP CP DP ABCP ABDP CDP ABCD()()()()()()()()()()()()()()()()P A P BP CP DP

12、 A P B P CP A P B P DP C P DP A P B P C P D233240.50.50.50.50.50.50.50.8125；(4)由于，故 ABEABEAB()()()()0.5 0.5()0.3077()()()0.8125于是有/.P ABEP ABP A P BP AB EP EP EP E2、贝努里概型(独立试验序列概型)()()某电话局有 部电话，在单位时间内每部电话的占线概率为，求在单位时间内 (1)恰有 部电话占线的概率；(2)至少有一部电话占线的概率；(3)至多有 部电话占线的概率.NPKKNmmN例例5 5解解每部电话工作是相互独立的，故可将这个问

13、题看作同一部电话独立工作了 次的试验，则：N(1)恰好有 部电话占线的概率为K(1)；KKN KNC PP1(2)至少有 部电话占线的概率为0001(1)1(1)；NNNC PPP(3)至多有 部电话占线的概率为m0001110(1)(1)(1)(1).NNmmN mNNNmKKN KNKC PPC PPC PPC PP三、离散型随机变量分布函数的求法及应用三、离散型随机变量分布函数的求法及应用设离散型随机变量 的分布列为XXP1x2xnx1P2PnP12由分布函数定义，对于 的取值为 时，其分布函数可以写成分段函数形式如下：nXxxx111212230()1 nxxPxxxF xPPxxxx

14、x()()()利用分布函数，可以求随机变量落在某一区间内的概率为.P axbF bF a()(04)(|1|1)已知随机变量 的分布列为求：(1)的分布函数 ；(2)；(3).XXF xPXPX例例6 6XP20130.10.30.20.4解解2()0(1)当 时，xF x 20()(2)0.1当 时，xF xP X 01()(2)(0)0.1 0.30.4当 时，xF xP XP X 13()(2)(0)(1)0.6当 时，xF xP XP XP X 3()1当 时，xF x020.120()0.4010.61313xxF xxxx 即 =；(04)(4)(0)1 0.40.6(2)；PXF

15、F(|1|1)(0)(2)(3)PXP XP X 1(0)(2)P XP X 1(0)1 0.40.6.F 四、连续型随机变量分布函数的求法及应用四、连续型随机变量分布函数的求法及应用()设连续型随机变量 的概率密度为，Xf x()()则有，xF xf t dt()()()利用概率密度，可求得，baf xP aXbf x dx()()()()利用分布函数，可求得 .F xP aXbF bF a20()00()13122 设随机变量 的概率密度为 求：(1)常数 ；(2)分布函数 ；(3)；(4).xXAxexf xxAF xPXP X例例7 7解解2200()(1)xxf x dxAxedxA

16、xedx220022xxAAxeedx 22001244xxAAAxee 4于是.A 00()00(2)当 时，xF xdx022200()041 2当 时，xtxxxF xdxtedtxee 2200()1 20故 ；xxxF xxeex101221102211()041 32(3)，xPXf x dxdxxedxe 222111(1)1 201 322或；PxFFeee 302(4).P X五、一般正态分布的概率计算五、一般正态分布的概率计算 一般正态分布的概率计算，可通过变量替换，将其化为标准正态分布的概率计算，其换算式为()(1)；baP aXb()(2).aP Xa2(70 10)6

17、2726874|70|20 设，求：(1)；(2)；(3)；(4).XNP XP XPXPX例例8 8解解62706210(1)P X(0.8)1(0.8)1 0.78810.2119；72172(2)P XP X 727011(0.2)10 1 0.57390.4261；7470687068741010(3)PX(0.4)(0.2)(0.4)(0.2)10.65540.5739 10.2293；|70|20(5090)(4)PXPX907050701010(2)(2)2(2)12 0.9772 10.9544.六、数学期望的计算六、数学期望的计算对于离散型随机变量，其概率分布列为XXiP X

18、x1x2xnx1P2PnP1 1221则有(1)；nnnkkkEXx Px Px Px P2222211221()()()()(2)；nnnkkkEXxPxPxPxP11221()()()()()(3).nnnkkkE g xg x Pg x Pg x Pg xP()对于连续型随机变量，其概率密度函数为 Xf x()则有 (1)；EXxf x dx22()(2)；EXx f x dx()()()(3).E g xg x f x dx 在计算数学期望时，会经常用到下列性质(设 EX，EY均存在，且 a 为常数)，以简化某些运算：(1)；Eaa()(2)；E aXaEX()(3)；E aXbaEX

19、b()(4).E XYEXEY22|(21)(1)设随机变量 的概率分布列为 求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).XEXEXE XEXE X例例9 9XP10130.10.30.220.10.3解解(1)0.30 0.2 1 0.12 0.1 3 0.30.9(1)；EX 222222(1)0.300.2 10.120.1 30.33.5(2)；EX|1 0.30 0.2 1 0.12 0.1 3 0.31.5(3)；E X (21)21210.8(4)；EXEX 222(1)(21)21(5)E XE XXEXEX3.52 0.9 12.7.2220()00()(1)12 设随机变量

20、 的概率密度函数为，求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).xxXexf xxEXEXE eEXEXX例例1010解解()(1)EXxf x dx00()()xf x dxxf x dx000 xxxxe dxxee dx 001；xxxee 22()(2)EXx f x dx0220()()x f x dxx f x dx220002xxxx e dxx exe dx 2；22()()(3)xxE eef x dx0220()()xxef x dxef x dx2330001133；xxxxee dxedxe(1)12(4)；EXEX 22113222(5).EXXEXEX 七、方差的计

21、算七、方差的计算222()通常计算方差的做法为：先计算 与，然后直接代入重要分式 即可.同时下列方差的重要性质也可以帮助简化某些运算：设，均为常数，有：EXEXDXEXEXabc0(1)；Dc 2(2)；DaXa DX()(3)；D XbDX2()(4).D aXba DX1246 8 1051(2)3(1)2 设随机变量 的概率分布列为 (，)，求：(1)；(2)；(3)；(4).XP XkkDXDXDXD例例1111解解随机变量 的概率分布列写成表格形式为XXP2461015815151515则：EX1111124681055555 6，2EX22222111112468105555544

22、.于是有22()(1)DXEXEX44368；2(2)(2)(2)DXDX 4 832；211322(3)DXDX1824；(1)0(4).D22(1)01()011()(1)2 设随机变量 的概率密度函数为 其他求：(1)；(2)；(3)；(4).Xxxf xDXDXDXD e例例1212解解()(1)因 EXxf x dx0101()()()xf x dxxf x dxxf x dx112300112(1)223xx dxxx13，22()EXx f x dx0122201()()()x f x dxx f x dxx f x dx1123400112(1)234xx dxxx16，222

23、111()6318即 ；DXEXEX211122(2)DXDX 11141872；2()(3)DXDX2211818；2(1)0(4).D e(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、试写出概率加法公式、乘法公式，特别地两事件互斥、2、什么叫做随机变量？3、随机变量的什么要素是我们主要研究的？4、所有概率分布中最重要的分布是什么？它有何重要的相互独立时的加法、乘法公式又如何？理论地位？(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1 20,100 2103.、已知，求，XNEXDX2 、设有产品100 件，其中有 3 件次品，现从中随机抽取 01 0

24、，3、设的概率密度为，求常数，其它xxXP xCc4 1,0.36 0.、设，求XNP X 20 件求“抽得的次品件数”的概率分布.X0.40.8.PX返返 回回1、对任意事件，：AB .|加法公式为：乘法公式为：P ABP AP BP ABP ABP A P B AP BP A B 00其中，P AP B .若事件，互斥，则；若事件，相互独立，则ABP ABP AP BABP ABP AP B返返 回回 2 ()、设是随机试验，其样本空间=，如果对于每一个基本事件，都有唯一的实数与之对应，叫做上的一个随机变量.随机试验里每一个基本事件都唯一对应着一个实数值，称该实数值为随机变量.ESWwSX

25、 wX wSXX返返 回回3.、是随机变量的取值情况和取值的概率分布返返 回回4 、是正态分布.在理论上正态分布可以导出其他的分布，而其他分布在一定条件下可用正态分布近似表示，正态分布的概率计算很完善.返返 回回1、：解 20 100 20100.当，时，可知，XNEXDX 21021030.根据期望，方差的性质可得：EXEX233900.DXDX返返 回回2、：解20397201000,1,2,3.kkC CP xkkC返返 回回3、：解 10 1.，即xxP x dxdxdxcc1.2解出：C0.80.0.820.44 0.40.820.48.又Pxxdxx返返 回回4、：解 1,0.36 10.6.由可知，XN 0 110 00110.66P XFF 101.6670.9522.6