沪教版(上海)高中数学高二上册数学归纳法课件.pptx

1、7.4 7.4 数学归纳法数学归纳法Page 2学习目标学习目标1.1.了解数学归纳法的含义，掌握数学归纳法了解数学归纳法的含义，掌握数学归纳法的步骤；的步骤；2.2.经历归纳经历归纳-猜想猜想-证明的过程，初步会用数证明的过程，初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式；等式；3.3.体验数学的严密性，体会数学理性的美体验数学的严密性，体会数学理性的美.情境1：从前有个财主，请来一位先生教从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一一”字；写两横，告诉是个字；写两横，告诉是个“二二”字

2、；字；写三横，告诉是个写三横，告诉是个“三三”字。学到这里，字。学到这里，儿子就告诉父亲说：儿子就告诉父亲说：“我已经学会了，不我已经学会了，不用先生再教了。用先生再教了。”财主很高兴，就把先生财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，这位财主准备请一位给辞退了。有一天，这位财主准备请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖姓万的朋友，叫儿子写请帖大家猜猜他是如何写大家猜猜他是如何写“万万”字的呢？字的呢？221234222 551,1,1,1,N,551.nnnaannaaaanann情境：数列的通项公式是，容易验证由此归纳得出结论：对于所有都成立以上猜想是否正确？以上猜想是否正确？由特殊到一般的由特殊到一

3、般的推理推理方法方法 但是仅根据有限的特殊事例归纳但是仅根据有限的特殊事例归纳得出的结论有时是得出的结论有时是不正确不正确的的归纳法归纳法22223 111 321 3531 3574 情境：有没有一种数学方法能通过有没有一种数学方法能通过有限有限步骤步骤来解决此类来解决此类无限无限的问题？的问题？由此可以归纳出怎样的猜想？由此可以归纳出怎样的猜想？沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 分组进行多米诺骨牌推

4、倒游戏分组进行多米诺骨牌推倒游戏小组讨论在这个游戏中：小组讨论在这个游戏中：如何使第如何使第2张牌倒下？张牌倒下？第第3张牌倒下？张牌倒下？第第4张牌倒下？张牌倒下？如何使第如何使第k+1张牌倒下？张牌倒下？任意相邻的两张牌，任意相邻的两张牌，前一张牌倒下一定前一张牌倒下一定导致导致后一牌牌倒下后一牌牌倒下第一张第一张骨牌倒下骨牌倒下1234kK+1结论：结论：多米诺骨牌会全部倒下多米诺骨牌会全部倒下 任给任给n张骨牌排成一列，要保证所有骨牌全张骨牌排成一列，要保证所有骨牌全部倒下，需要满足哪些条件？部倒下，需要满足哪些条件？沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第

5、七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 第一张骨牌倒下第一张骨牌倒下n=1时，命题成立时，命题成立第第k张骨牌倒下张骨牌倒下导致导致第第k+1张牌倒下张牌倒下假设假设n=k时命题成立，时命题成立，推出推出n=k+1时命题也成立时命题也成立所有骨牌倒下所有骨牌倒下命题对一切正整数命题对一切正整数n都成立都成立骨牌游戏骨牌游戏命题证明命题证明类比多米诺骨牌推倒过程类比多米诺骨牌推倒过程 证明情境证明情境3留下的问题留下的问题 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中

6、数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 证明情境证明情境3 3的问题的问题 2*1 3 5(21)(N).nn n 证明证明（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立等式也成立等式也成立由（由（1）和（）和（2）可以断定，等式对任何正整数）可以断定，等式对任何正整数n都成立都成立（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即21 3 5(21).kk 递推基础递推基础递推依据递推依据2221 3 5(21)2(1)1(

7、2(1)121(1)kkkkkkk 那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，数学归纳法数学归纳法沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与正整数正整数有关命题的步骤是：有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时命题成立；等）时命题成立；10 nn0n （2）假设当假设当 命题成立，证明命题成立，证明 时命题也成立时命题也成立)N(0nk

8、kkn 且且1 kn递推基础递推基础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”“综合（综合（1）、（）、（2），），”不可少！不可少！注意注意:数学归纳法使用要点：数学归纳法使用要点：两步骤两步骤,一结论。一结论。总结：数学归纳法（总结：数学归纳法（证明方法证明方法）根据（根据（1）和（）和（2）可断定）可断定命题成立命题成立 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学

9、归纳法课件 22221.1211236n nnn例 用数学归纳法证明沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 （1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N*)那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k

10、+2（k+1)k+1)=k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1)=(k+1)=(k+1)2 2+(k+1)+1,+(k+1)+1,因此，对于任何因此，对于任何n n N N*等式都成立。等式都成立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可事实上，我们可以验证以验证n=1时，原时，原等式是不成立的！等式是不成立的！练习练习.判断下列推论是否正确，若不正确，请说出判断下列推论是否正确，若不正确，请说出理由理由沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学

11、高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 命题也成立命题也成立.231111222221221=12kkkk左 边右 边231(2)1 2 22221nn 用数学归纳法证明：没有用上没有用上“假设假设”，故此法不是数学归故此法不是数学归纳法纳法请修改为用数请修改为用数学归纳法证明学归纳法证明证明 （1）当n=1时,左边=1 ,2311 2 22221kk（2）假设n=k(kN*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么那么n=k+1时时,由由(1)(2)断定断定,对一切正整数对一切正整数n,原等式均成立原等式均成立.1211 右边沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高

12、中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 练习2：用数学归纳法证明下列命题：如果数列 是以 为首项、以d为公差的等差数列，那么对任意 都成立.na1a11naandNn沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 Page 16 )N(0nkkkn 且且1 kn0nn 由由(1)(2

13、)可断定，命题对于从可断定，命题对于从 开始的所有正整数开始的所有正整数 都成立都成立.（10 nn0n两个步骤两个步骤一个结论一个结论两个步骤一结论，两个步骤一结论，递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。课堂小结课堂小结沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 1.课本练习7.4 14 2.练习部分7.4 A作业布置作业布置沪教版（上海）高中数学高二上

14、册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 沪教版（上海）高中数学高二上册第七章沪教版（上海）高中数学高二上册第七章7.47.4数学归纳法课件数学归纳法课件 练习2:若 ，则当 时，为_.111()1()2321Nf nnn 1n()f n 练习3:用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和 ”，第（i）步验证 取第一个值 成立时，=_.(2)180Sn00()Nn n0n 练习4:则 =（）1111(1,2,3,),1232kSkkkkk1kS1.2(1)kA Sk11.221kB Skk11.2122kC Skk11.2122kD Skk练习练习1 1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 2*1 3 5(21)(N).nn n 证明证明（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何正整数），可知等式对任何正整数n都成立都成立（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即21 3 5(21).kk 递推基础递推基础递推依据递推依据2221 3 5(21)2(1)1(2(1)121(1)kkkkkkk 那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，