正项级数及其审敛法课件2.ppt

1、12.2 12.2 正项级数正项级数无穷级数1一一 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法1.1.定义定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.ns无穷级数2且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散.证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设

2、设,nnvu ,即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.3.比较审敛法比较审敛法nvvv 21无穷级数3nns 则则)()2(nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv推论推论:若若 1nnu收敛收敛(发散发散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收敛收敛(发散发散).).定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.无穷级数4例例 1 1 讨讨论论 P P-级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性.)0(p解解,1 p设设,11nnp.

3、级数发散级数发散则则 P,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211无穷级数5 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.无穷级数6例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数无穷级数74.4.比较

4、审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu无穷级数8证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.无穷级数9设设 1nnu为正项级数为正项级数,如果如果0li

5、m lnunn (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散;如果有如果有1 p,使得使得npnun lim存在存在,则级数则级数 1nnu收敛收敛.5.5.极限审敛法：极限审敛法：无穷级数10例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.无穷级数116.6.比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法

6、判别法)：设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明证明,为有限数时为有限数时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即无穷级数12,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛,1 取取,1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu .0lim nnu发散发散无穷级数13么么么么方面么么么么方面 S

7、ds绝对是假的绝对是假的比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:1 1.当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效;,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(无穷级数15,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2.条条件件是是充充分分的的,而而非非必必要要.无穷级数16例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2

8、)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn无穷级数17),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn无穷级数187.7.根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法)：,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnn

9、nu1级数收敛级数收敛.0(1),1,nnnnNuu若对一切成立不等式则级数发散.112（n2)无穷级数19柯西判别法柯西判别法的极限形式：的极限形式：设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果 nnnulim)(为为数数或或,则则1 时时级级数数收收敛敛;,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1)(0 n级数收敛级数收敛.1 时级数发散时级数发散;1 时失效时失效.无穷级数208 8.柯西积分判别法柯西积分判别法 11 ,npn设级数设级数例如例如发散发散收敛，收敛，1112 ppdxxp Andxxfnfxf.1有有相相同同的的敛敛散散性性与与反反常常积积分分正正项项级

10、级数数连连续续、非非负负、不不增增，则则若若 11npn级数级数.11发散发散收敛，收敛，pp无穷级数21无穷级数22无穷级数23二、小结二、小结正正 项项 级级 数数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun无穷级数24思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛,能能否否推推得得 12nnu收收敛敛?反反之之是是否否成成立立?无穷级数25思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如：121nn收敛收敛,11nn发散发散.无穷级数26作业：作业：P16P16，1-91-9无穷级数27