1、第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解1.状态转移矩阵及其性质状态转移矩阵对于 可逆矩阵 ，矩阵指数（状态转移矩阵）定义为性质1：性质2：=tteAkk A 01!tkkktetkAA 121221tttttt 1tt1.状态转移矩阵及其性质推论1：推论2：推论3：性质3：推论4：121221101!tkkktttttttttetkAA 0 I ntnt2021101021tttttttttt dtttdtAA 0A第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解1.状态转移矩阵及其性质例6-6：已知 ，求矩阵 。222222ttt
2、tttetetetteeteA 2222222222232tttttttteteeteteteete 0A 11013A第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解1.状态转移矩阵及其性质性质3：推论5：物理意义：状态转移矩阵是零输入条件零输入条件下，系统状态从从0 0时刻向时刻向t t时刻时刻转移时的状态加权矩阵，即，当激励 时，dtttdtAA dttttttdtXXAX t e0 00,0tttet AXXX第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解1.状态转移矩阵及其性质性质4：状态转移矩阵的拉氏变换是 ，即 性质5：凯莱-
3、哈密顿（Cayley-Hamilton）定理：对于 矩阵 有可用于从矩阵 计算状态转移矩阵 1sIA 1LTtsIAkkA 10ktiiiteAAA第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解1.状态转移矩阵及其性质推论6：对于有各不相同特征值 的 可逆矩阵 ，有从矩阵 计算状态转移矩阵的步骤是：首先首先计算矩阵 的各特征值然后然后求解加权系数 （注意，它们是时间时间t t的函数的函数）最后最后代入式 计算。10ktiiiteAA1,2,iikkkA101,2,jktiijiejk AA1,2,iik 10ktiiiteAA第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的
4、求解连续时间系统状态变量方程的求解1.状态转移矩阵及其性质例6-7 已知 ，求状态转移矩阵。0213A 01122012001212201221012120131,2,22,222232 tttttttttttttteeeeteeeeeeeeeeIAIA第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解101,2,jktiijiejk 2.状态方程求解的时域方法 00=+eeeeee0ede0ede0etttttttttttttttttttttttAAAAAAAAAAAXAXBeXAXBeXBeXXBeXXBeXB e第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间
5、系统状态变量方程的求解2.状态方程求解的时域方法 000ttttdtttXXBeXB e tttrCXDe 0e0ede0etttttttttttAAAArCXDeCXCBeDeCXCBDe 零输入响应零状态响应第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解2.状态方程求解的时域方法对于起始于 时刻的非因果激励信号非因果激励信号而言，系统因果性因果性使得 必然成立 X0 ttttdttttttttt XXBeB erCBDehCBD冲激响应：第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解3.状态方程求解的变换域方法 11111111111
6、11100000ssssssssssssssstssstsssXXAXBERCXDEXIAXIABERCIAXCIABD EXIAXIABErCIAXCIABDE 11ssssIAHCIABD第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解3.状态方程求解的变换域方法例6-8 在图示电路中，已知 ，系统初始状态为零。试建立状态方程，并分别用时域法和s域法求解状态变量，并计算系统的输出及系统函数。选择状态变量：选择状态变量：e tu t 12CLx tvttxtitX第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解 Cr tvt3.状态方程求解
7、的变换域方法例6-8 121122u tx txtxtx txtxt 111110ttu t XX第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解 10010Cr tvttu ttXX3.状态方程求解的变换域方法例6-8时域法：时域法：1110110111111101111j tj tjjjjejej ，IAtettettsinsincos10 01cossinsincosttttetettetetIA第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解3.状态方程求解的变换域方法例6-8时域法：时域法：0001cossin0sincos11si
8、ncoscos21sin1sincos2 ttttteetttdeeettu tededettu tXB e第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解 11esincos2tCr tvtttu t3.状态方程求解的变换域方法例6-8s s域法：域法：11211111111111sssssssIA 22111111101111sincos11211111sincos2 ttsssssssettu tstssettu tXBeX第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解3.状态方程求解的变换域方法例6-8s s域法：域法：11 esincos211 esincos2 ttttu ttttu tX第三节第三节 连续时间系统状态变量方程的求解连续时间系统状态变量方程的求解 12211111101101111ssH sssss CIABD
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