《高等代数》教学大纲.doc

1、 高等代数课程教学大纲 课程类型：专业基础课适用对象：数学教育专业专科生总学时：216学时先修课程：数学分析、空间解析几何等参考书目：1张禾瑞，郝炳新编，高等代数（M），北京：高等教育出版社，2007年5月。2丘维声编，高等代数（M），北京：高等教育出版社，1996年12月。3. 陈志杰主编，高等代数与解析几何（M）（上下），北京：高等教育出版社、Springer出版社，2000年6月。4孟道骥著，高等代数与解析几何（M）（上下），北京: 科学出版社, 1998年。 一 、 课程的教学目的与任务本课程的教学目的是让学生在掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能的基础上，初步熟悉和

2、掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力。通过本课程的学习使学生了解和掌握现代数学研究的基本特征和思想方法，培养和提高其抽象思维，推理论证及独立创造的能力。二、 课程的基本要求1掌握一元多项式理论，并能够深刻把握因式分解与求解的关系；2熟练掌握矩阵的运算，并能够认识到它的等价分类；3. 充分理解借助线性空间刻画的线性变换的意义，并能够借助不变子空间的直和分解，掌握矩阵的相似分类；4. 熟练掌握欧氏空间的刻划与相应的变换的刻画；5. 通过对二次型的掌握，了解双线性函数的刻画。三、各章节授课内容、教学方法第一章：

3、基本概念 教学目的与要求 1. 理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系、集合与集合之间关系以及几何运算，并掌握相应的算律的证明。2. 了解映射、单射、满射、双射等概念，并会判断其类型。3. 掌握最小数原理和数学归纳法，会用数学归纳法证明相关命题。4. 了解整数整除的一些性质并会用其证明响应的命题。5. 了解数环、数域的概念，会判断数环和数域。教学重点与难点 数学归纳法、判断数环和数域授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 集合第二节 映射第三节 数学归纳法第四节 整数的一些整除性质第五节 数环和数域第二章：多项式 教学目的与要求 1. 理解数域F上一元

4、多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。 理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。2. 理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。3. 理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。理解和掌握k重因式的定义。4. 掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。5. 深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引

5、理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。 理解多元多项式的定义理解对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。教学重点与难点 多项式互素，不可约多项式，因式分解授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 一元多项式第二节 整除的概念第三节 最大公因式第四节 因式分解定理第五节 重因式第六节 多项式函数 多项式的根第七节 复系数与实系数多项式第八节 有理系数多项式第九节 多元多项式第十节 对称多项式第三章：行列式 教学目的与要求 1.理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用

6、定义计算一些特殊行列式。2.熟练掌握行列式的基本性质。正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。3.正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。4.熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理。教学重点与难点 行列式的计算，克兰姆法则授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 线性方程组与行列式第二节 排列第三节 n级行列式第四节

7、子式、余子式 行列式按一行（列）展开第五节 克兰姆法则第四章：线性方程组 教学目的与要求1. 理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。2. 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。教学重点与难点 线性方程组的有解的判定及求解授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 消元法第二节 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法第三节 线性方程组的公式解第五章： 矩阵 教学目的与要求1. 了解矩阵概念产生的背景。掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计

8、算规律。2. 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。3. 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。4. 会求分块矩阵的逆。教学重点与难点 矩阵的运算，逆矩阵的相关运用，矩阵初等变换，分块矩阵的运用授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 矩阵的概念和运算第二节 可逆

9、矩阵 矩阵乘积的行列式第三节 矩阵的分块第六章 向量空间教学目的与要求1. 了解向量空间的定义和常见例子。2. 了解子空间的概念并会判断子空间。3. 理解向量组的相关性定义，并会判断向量组是否相关。4. 会求向量空间的基和维数。5. 会求向量在不同基上的坐标、不同基上坐标的转换。6. 会求矩阵的秩，了解齐次线性方程组的解空间。教学重点与难点 判断子空间；判断向量组是否相关；求向量空间 的基 ；不同基上坐标的转换；求齐次线性方程组的解空间。授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 定义和例子第二节 子空间第三节 向量组的线性相关性第四节 基和维数第五节 坐标

10、第六节 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间第七章 线性变换教学目的与要求1. 了解线性映射的定义并会判断。2. 了解线性变换的运算。3. 会求线性变换的对应矩阵。4. 了解不变子空间概念。5. 会求本征值和本征向量。6. 会判断可以对角化的矩阵。教学重点与难点判断线性映射 求线性变换的对应矩阵 求本征值 和本征向量 判断可以对角化的矩阵 授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 线性映射第二节 线性变换的运算第三节 线性变换和矩阵第四节 不变子空间第五节 本征值和本征向量第六节 可以对角化的矩阵第八章 欧氏空间教学目的与要求1. 会求向量的内积。2. 会求正

11、交基。3. 了解正交变换，并会判断。4. 会求对称变换的对称矩阵。教学重点与难点 向量的内积 正交基 正交变换 对称矩阵授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 向量的内积第二节 正交基第三节 正交变换第四节 对称变换和对称矩阵 第九章 二次型教学目的与要求1. 了解二次型和对称矩阵的概念，并会求二次型的对应矩阵。2. 了解复数域和实数域上的二次型及对应矩阵。3. 了解正定二次型，并会判断。教学重点与难点 复数域和实数域上的二次型 正定二次型授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅授 课 内 容第一节 二次型和对称矩阵第二节 复数域和实数域上的二次型第三节 正定二次型四、 学时分配建议（含习题课） 总学时：一学年216学时（第一学期第一章至第五章108学时；第二学期第六章至第九章108学时）具体学时分配如下：章 节内 容学 时1基本概念162多项式243行列式244线性方程组245矩阵206向量空间307线性变换248欧氏空间309二次型24五、 考核方式： 两学期均为闭卷考试。