静定结构位移计算教案课件.pptx

1、静定结构位移计算静定结构位移计算第1页/共147页4-1 结构位移计算概述结构位移计算概述4-0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾4-2 变变形体形体虚功原理虚功原理4-3 单位荷载法单位荷载法4-4 图乘法图乘法4-5 其它外因引起的位移计算（温度等）其它外因引起的位移计算（温度等）4-6 互等定理互等定理第2页/共147页AAAAAxAyFPAxAy 第3页/共147页AAAFPAxAyt 第4页/共147页 功能原理：功能原理：可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将做功。对于弹性体，不考虑其它能量的损失，外力在相应位移上做的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能可变形固体

2、在受外力作用而变形时，外力和内力均将做功。对于弹性体，不考虑其它能量的损失，外力在相应位移上做的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能VW PFFWP21 第5页/共147页轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩WV PFPFlllFP21EAlFFPP21EAlFEAlF222N2PlxxEAxFVd)(2)(2NPF轴轴(向内向内)力力FP，弹性弹性模量模量E，截面面积截面面积A，杆长杆长l 第6页/共147页WV 纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：lxxIExMVd)(2)(2M21EIlMM21EIlMEIlM2222弯曲弯曲MMMM弯矩弯矩M，惯性矩，惯性矩I，弹性模量弹性模量E，杆长杆长l

3、，转角，转角(纯纯弯梁弯梁)第7页/共147页22QQQ0d1222lkF lkFxVFGAGAMl剪切剪切 （相对错动）（相对错动）剪力剪力FQ，截面面积，截面面积A，剪切模量剪切模量G，杆长，杆长l，截面形状系数截面形状系数k。第8页/共147页WV ppIGlTIGlTT2212lpxxIGxTVd)(2)(2扭转扭转扭矩扭矩T，剪切模量剪切模量G，极惯性矩极惯性矩IP，杆长杆长l，第9页/共147页PFP21FWlxEIxMVd2)(2xFxMP)(lEIlFxEIxMV6d2)(32P2，得由WV EIlF33P例：例：2?第10页/共147页变形能对任一载荷变形能对任一载荷Fi 的

4、偏导数，等于的偏导数，等于Fi作用点作用点沿沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理iiFV推导过程使用了互等定理，所以只适用推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构线弹性结构 第11页/共147页PFlEIlFxEIxMV6d2)(32P2EIlFFV33PP推导过程使用了互等定理，所以只适用推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构线弹性结构2?第12页/共147页llplNNxEIxMxMxGIxTxTxEAxFxFd)()(d)()(d)()(000结结构构产产生生的的内内力力时时，移移的的方方向向加加广广义义单单位位力力位位移移点点，沿沿所所求求广广义义位位义义去去掉

5、掉原原载载荷荷，在在所所求求广广结结构构在在原原载载荷荷下下的的内内力力-xMxTxF-xMxTxFNN)()()()()()(000、推导过程使用了两种力施加不同顺序得出结果相同，推导过程使用了两种力施加不同顺序得出结果相同，所以只适用所以只适用线弹性结构线弹性结构 第13页/共147页PFxFxMP)(1xxM)(0EIlFEIdxxFl33P02P 第14页/共147页0iiFr 刚体虚位移原理刚体虚位移原理 对于具有理想约束的刚体或对于具有理想约束的刚体或刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚体系的外力在任意虚位移时所做的总虚功恒或刚体

6、系的外力在任意虚位移时所做的总虚功恒等于零，也即有如下虚功方程成立等于零，也即有如下虚功方程成立 虚功虚功=外力在外力在非非自身所产生的变形上所做自身所产生的变形上所做的功，因此它是常力所做的功，所以没有的功，因此它是常力所做的功，所以没有这一系数。这一系数。第15页/共147页02BPlYlFFPAXBYAYl/2l/20PYFYBA0XA 第16页/共147页FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小FP4.2 变形体虚功

7、原理变形体虚功原理 第17页/共147页不光滑不光滑不连续不连续不满足约束不满足约束4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第18页/共147页FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、满足约束、微小满足协调条件：光滑、满足约束、微小FP物理方程物理方程4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第19页/共147页FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小满足协调

8、条件：光滑、连续、满足约束、微小力的状态和位移状态无关力的状态和位移状态无关虚虚虚虚4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第20页/共147页 关键点：关键点：u 力状态和位移状态都是对力状态和位移状态都是对同一个同一个结构而言结构而言u 虚力状态：满足虚力状态：满足平衡条件平衡条件u 虚位移状态：满足虚位移状态：满足协调条件协调条件u 虚力状态和虚位移状态之间不强调因果：虚力状态和虚位移状态之间不强调因果：“虚虚”指的是力状态和位移状态间指的是力状态和位移状态间可以无关可以无关，不是指不是指“假设假设”、“虚假虚假”4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第21页/共147页力在力在自身自身所

9、产生的位移上所作的功所产生的位移上所作的功P1F1P121FW 力在力在非自身非自身所产生的位移上所作的功所产生的位移上所作的功2P1FW 4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 1P1F1P2F2第22页/共147页刚体虚位移原理刚体虚位移原理 对于具有理想约束的刚体或刚体系，其对于具有理想约束的刚体或刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚体平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚体系的外力在任意刚体虚位移时所做的总虚功系的外力在任意刚体虚位移时所做的总虚功恒等于零恒等于零4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第23页/共147页力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原

10、理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第24页/共147页力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第25页/共147页整体是平衡的整体是平衡的局部是平衡的局部是平衡的外力外力分割面内力分割面内力变形体上的力状态变形体上的力状态4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第26页/共147页力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第27页/共147页变

11、形体上的位移状态变形体上的位移状态位移是协调的位移是协调的初始位形初始位形变形位移变形位移刚体位移刚体位移4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第28页/共147页力状态平衡力状态平衡位移状态协调位移状态协调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第29页/共147页4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 原理的表述：原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功在虚位移时所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体所

12、接受的总虚变形功形体所接受的总虚变形功Wi。也即恒有。也即恒有如下虚功方程成立如下虚功方程成立We=Wi第30页/共147页u 外力虚功外力虚功=外力外力虚位移虚位移 =外力外力（刚体虚位移（刚体虚位移+变形虚位移）变形虚位移）u 虚变形功虚变形功=力力变形虚位移变形虚位移 =（外力（外力+分割面内力）分割面内力）变形虚位变形虚位移移变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第31页/共147页变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）=(外

13、力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移=力力(刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移)两种算两种算法法第一种第一种第二种第二种4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第32页/共147页变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）=(外力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移=(外力外力虚位移虚位移)+(分割面内力分割面内力虚位移虚位移)等于零等于零为什么？为什么？第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第33页/共147页(分割面内力虚位移)=0，为什么？u

14、 相邻分割体间内力是作用力与反作用力相邻分割体间内力是作用力与反作用力的关系，大小相等方向相反的关系，大小相等方向相反u 虚位移是协调的，相邻分割体的分割面虚位移是协调的，相邻分割体的分割面的虚位移相等的虚位移相等虚位移相等虚位移相等大小相等，方向相反大小相等，方向相反第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第34页/共147页变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）=(外力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移=(外力外力虚位移虚位移)+(分割面内力分割面内力

15、虚位移虚位移)=(外力外力虚位移虚位移)=We等于零等于零外力总虚功外力总虚功第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第35页/共147页变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）=(外力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移=力力(刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移)两种算两种算法法第一种第一种第二种第二种4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第36页/共147页变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计

16、算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）=力力(刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移)=(力力 刚体虚位移刚体虚位移)+(力力变形虚位移变形虚位移)等于零等于零第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第37页/共147页变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力(力 刚体虚位移)=0，为什么？u 各分割体上的力系是平衡的各分割体上的力系是平衡的u 刚体虚位移原理：力系平衡刚体虚位移原理：力系平衡刚体虚功刚体虚功=0第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第38页/共147页变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计

17、算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）=力力(刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移)=(力力 刚体虚位移刚体虚位移)+(力力变形虚位移变形虚位移)=(力力变形虚位移变形虚位移)=Wi等于零等于零总虚变形功总虚变形功第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第39页/共147页We=W=Wi说明说明u 虚功原理涉及的两个状态：虚力状态需要满足虚功原理涉及的两个状态：虚力状态需要满足平平衡方程衡方程，虚位移满足，虚位移满足协调条件协调条件u 原理的证明过程没有涉及材料、形状等其他信息，原理的证明过程没有涉及材料、形

18、状等其他信息，因此适用于因此适用于任何结构任何结构u Wi=(力力变形虚变形虚)=(外力外力变形虚变形虚+内力内力变形虚变形虚)当隔离体是当隔离体是微元体微元体时，外力时，外力变形虚变形虚位移是位移是高阶小量高阶小量，此时，此时Wi=(内力内力变形虚位变形虚位移移)。一些书籍将。一些书籍将Wi称为内力功，容易引起误解称为内力功，容易引起误解外力总虚功外力总虚功总虚变形功总虚变形功4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第40页/共147页qpFPxWe=W=WiWe 的计算的计算:当无集中荷载时：当无集中荷载时：4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 q(s)ijp(s)m(s)*jM*QjF取任

19、一单取任一单元元*NjF*QiF*iM*NiFu(s)v(s)(s)We=pu+qv+mdsjii,jsmvqupWde第41页/共147页qpFPxWe=W=WiWe 的计算的计算:当无集中荷载时当无集中荷载时,We=pu+qv+mds 当有集中荷载时当有集中荷载时We=pu+qv+mds +FPxu+FPyv+M i集中荷载集中荷载集中荷载处对应位移集中荷载处对应位移 4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第42页/共147页qpWe=W=WiWi 的计算的计算:微段拉伸微段拉伸微段剪切微段剪切微段弯曲微段弯曲取微段取微段,其受力如下其受力如下变形可看成有如下几部分变形可看成有如下几部分微

20、段受力微段受力微段扭转微段扭转4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第43页/共147页qpWe=W=WiWi 的计算的计算:以水平方向外力以水平方向外力功为例加以说明功为例加以说明微段受力微段受力微段拉伸微段拉伸dWi=-FN*0+(FN+dFN)(ds)+pds(0.5 ds)=0.5p ds2+dFNds +FN ds =FN ds4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第44页/共147页qpWe=W=WiWi 的计算的计算:Wi=FN+FQ+Mx+Mds 对于直杆体系，由于变形互不耦联，所以对于直杆体系，由于变形互不耦联，所以We=pu+qv+mds +FPxu+FPyv+M i适用范

21、围：适用范围：1、严格的说仅适用于直杆、严格的说仅适用于直杆系系2、线性和非线性都适用、线性和非线性都适用3、小曲率曲杆近似适用、小曲率曲杆近似适用4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第45页/共147页We=W=Wi 1）单位位移法单位位移法：虚功原理用于：虚功原理用于虚设的虚设的协协调位移状态调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例.求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。FPABaC(a)b解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，则即为，则即为体系实际的虚力状态如图体系实际的虚力状态如图(b)待分析平衡的力状态

22、待分析平衡的力状态X(b)FP4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 第46页/共147页0PCXFX 0XPXbXFaPabX待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态X(b)FP由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：X C(c)直线直线虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态构造相应的虚位移状态构造相应的虚位移状态.(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找

23、出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题0 BM1 xcXba 第47页/共147页We=W=Wi例例.求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向点的竖向位移位移 .(a)ABaCbAC c 2）单位荷载法单位荷载法：虚功原理用于：虚功原理用于虚设的虚设的平平衡力状态衡力状态与与实际的实际的协调位移状态协调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。解：首先构造出相应的虚设力状态。1ABC(b)AF4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 在拟求位移之点（在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向点）沿拟求位移方向（竖向）设置

24、（竖向）设置单位荷载单位荷载。第48页/共147页由由 求得：求得：0BMabFA虚功方程为：虚功方程为：01cFA cab 这便是这便是单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell,1864和和Mohr,1874提出，提出，故也称为故也称为Maxwell-Mohr Method(a)ABaCbAC c1ABC(b)AF(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。(2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实际位移状态无关，故际位移状态无关，故可设单位广义力可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是求解时关键一步是找出虚力

25、状态的静力找出虚力状态的静力平衡关系。平衡关系。(4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来解几何问题。解几何问题。第49页/共147页单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”，而将第二种应用称为而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。更确切的。更确切的说法为，说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要两种应用的依据是上述两原理的必要性命题性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的它们和虚功原理是有区别

26、的。虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对 任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立虚功方程成立.虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。第50页/共147页利用虚功原理计算结构位移利用虚功原理计算结构位移实际位移状态实际位移状态FP?BxABC虚设的力状态虚设的力状态ABC1单位荷载法单位荷载法：虚功原理用：虚功原理用于于实际的实际的协调位移状态协调位移状态与与虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态之间。之间。第51页/共147页利用虚功原理计算结构位移利

27、用虚功原理计算结构位移虚设的力状态虚设的力状态1ABCWe=W=Wi对于直杆体系：对于直杆体系：We=Ni+Qi+Mi ds =Wi实际位移状态实际位移状态FP?ABC 第52页/共147页=Ni+Qi+Mi ds一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：1.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；静定和超静定结构；2.材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；3.变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变变形、剪切变形形4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移5.位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改

28、变、支座移动温度改变、支座移动等；等；第53页/共147页4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移xyAAFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称称广义位移广义位移线位移线位移 角位移角位移 DC 相对线位移相对线位移 CDDCFP 相对角位移相对角位移 第54页/共147页4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移例例:巧妙：所加单位广义力与所求广义位移巧妙：所加单位广义力与所求广义位移相对应，相对应，该单位该单位广义力在所求广义位移上所做广义力在所求广义位移上所做虚功等于所求广义位移值虚功等于所求广义位移值2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相

29、对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角1P1P1P1)求求A点水平位移点水平位移AWeeWBAWeeW ABBAFP 1P第55页/共147页BA?AB(b)A?A(a)P=1P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。第56页/共147页ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。BCCBCBdPW)(1)(e第57页/共147页AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单

30、位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。第58页/共147页P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。第59页/共147页=Ni+Qi+Mi ds一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：1.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；静定和超静定结构；2.材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；3.变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变变形、剪切变形形4.位移种类：位移种类：广义位移广义位移5.位移原因：荷载、位移原因

31、：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等；第60页/共147页=Ni+Qi+Mi ds5.位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等；FP?ABCWe=kt =Nit+Qit+Mit ds=Wi荷载荷载+温度改变温度改变?第61页/共147页=Ni+Qi+Mi ds5.位移原因：荷载、温度改变、位移原因：荷载、温度改变、支座移动支座移动等；等；We=kC+R1 C1+R2 C2+R3 C3 =0=Wi1c2c3cKKKC1K1R2R3RiikcCR荷载荷载+温度改变温度改变 +支座移动？支座移动？第62页/共147页=NiP+QiP+MiP ds仅仅荷

32、载作用下：荷载作用下：对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：EANPPGAQk PPEIMPP式中：式中：E 弹性模量；弹性模量；G 剪切模量；剪切模量；A 横截面积；横截面积；I 截面惯性矩；截面惯性矩；k 截面形状系数。如：对矩形截截面形状系数。如：对矩形截面面k=6/5;圆形截面圆形截面k=10/9。第63页/共147页=NiP+QiP+MiP ds仅仅荷载作用下：荷载作用下：对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：dsEIMMGAQkQEANNiPiPiP 轴向轴向 剪切剪切 弯曲弯曲 第64页/共147页dsEIMMGAQkQEANN

33、iPPPipii 例例1：已知图示梁的：已知图示梁的E、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。lhbqA解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态.1PxqPQPM1 PiQiMxl 列出两种状态各杆的内力方程列出两种状态各杆的内力方程0)(,0)(xNxNPi)()(,1)(xlqxQxQPi2/)()(,)(2xlqxMlxxMPidsEIMMGAQkQEANNiPPPAyii dxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl 第65页/共147页)(8242EIqlGAqklAy讨论：讨论：2MQ4GAlEIkEIqlM84 2GAqkl2Q56,12,3kbh

34、IbhA设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：问题：问题：的取值范围是什么？的取值范围是什么？GE)1(2 EG5.00 32GE2MQ52lhGE 第66页/共147页)(8242EIqlGAqklAy讨论：讨论：1001MQ2MQ52lhGE 对于细长杆对于细长杆,剪切变形对位移的贡献剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计与弯曲变形相比可略去不计.取：取：，101lh5.2GE 第67页/共147页dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。（实际位移状态）（实际位移状态）解：构造虚设状态解：构

35、造虚设状态（虚拟力状态）（虚拟力状态）分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：第68页/共147页dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。（实际位移状态）（实际位移状态）解：构造虚设状态解：构造虚设状态分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：qxxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql 第69页/共147页dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii

36、 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设状态解：构造虚设状态分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：（虚拟力状态）（虚拟力状态）xxlMx1PFQ1PFN 第70页/共147页dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。xxlMx1PFQ1PFN荷荷载载内内力力图图qxxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql单单位位内内力力图图 第71页/共147页dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii GAsFFkEAs

37、FFEIsMMPPPAydddQQNN)54581(85224GAlkEIAlIEIql 将内力方程代入公式将内力方程代入公式讨论：讨论：2254)(,58)(,1)(GAlkEIAlIQAyNAyMAy 轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲 引入符号引入符号 第72页/共147页56,12,3kbhIbhA22)(252)(,)(152)(lhGElhQAyNAy 设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：)54581(85224GAlkEIAlIEIqlAy取：取：，有：，有：101lh5.2GE5001)(,7501)(QAyNAy 第73页/共147页)54581(85

38、224GAlkEIAlIEIqlAy%13.0)()(,%2.0)()(MAyNAyMAyQAy 因此因此,对受弯细长杆件对受弯细长杆件,通常略去通常略去FN,FQ的影响的影响。)500175011(854EIqlAy 即：即：第74页/共147页GAsFFkEAsFFEIsMMPPPPdddQQNN 一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.对梁和刚架：对梁和刚架：EIsMMPPd 2.对桁架：对桁架：EAlFFEAsFFPPPNNNNd 3.对组合结构：对组合结构：EAlFFEIsMMPPPNNd 第75页/共147页解：解：例例3:求图示桁架

39、求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点水平位移点水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21(2222)1)()1)(1EAPaaPaPaPEA 第76页/共147页练习练习:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点竖向位移点竖向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221(2)2)(2(11EAPaaPaPEA 第77页/共147页作业作业:4-34-4第78页/共147页一、概述一、概述 EIsMMPiPd刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：4.4 图乘法图乘法 在杆件数量多的情况下，不方便在杆件数量多的

40、情况下，不方便.?CyBAkN/m2m4kN6m2m3CEIxdxfxgiP)()(特点：单位力内力图为直线段或若干直线组成的折线段特点：单位力内力图为直线段或若干直线组成的折线段 EIxxkxfd)(dxxxfEIk)(第79页/共147页 EIsMMPiPd dxxxfEIk)(cxEIkEIyc图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:EIycip 图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。4.4 图乘法图乘法 第80页/共147页 EIycip 1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直

41、杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。应取自直线图中。cy3.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。cycy应用注意事项应用注意事项2.当两个图形均为直线图形时当两个图形均为直线图形时,取那个图形取那个图形的面积均可的面积均可4.4 图乘法图乘法 第81页/共147页例例1.试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.EIycBAB1MMPMi)(1612142112PPEIlFlFlEI EIycip 4.4 图乘法图乘法 ABPF2/l2/lEIB4/PlF1解：作荷载弯矩

42、图和单位解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图荷载弯矩图第82页/共147页例例2.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.EIycByMPMi)(34)3221(13PPPEIlFlllFlllFEI1 EIycip 4.4 图乘法图乘法 lPFEIBEIllFPl解：作荷载弯矩图和单位荷载解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图弯矩图第83页/共147页几种常见图形的面积和形心位置的确定方法几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线二次抛物线4.4 图乘法图乘法 第84页/共147页M图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（）PM图图281qlBAq1例例3:求图示梁求图

43、示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B EIycip 4.4 图乘法图乘法 解：作荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图和单位荷载弯矩图第85页/共147页 EIycip 例例 4.已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点两点距离的改变距离的改变 。CD 4.4 图乘法图乘法 第86页/共147页 EIycip 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD hyc24.4 图乘法图乘法 第87页/共147页 EIycip 2l2l例例 5.设设 EI 为常数，求为常数，求 Cy 4.

44、4 图乘法图乘法 第88页/共147页 EIycip 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图BAq281qlPM图图CABFP=1M图图4l4212155()()2()32884384CyllqlqlEIEI对吗？对吗？4.4 图乘法图乘法 第89页/共147页 EIycip B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB4020例例 6.4.4 图乘法图乘法 ABmkN 20ABmkN 40第90页/共147页 EIycip B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020

45、MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.例例 6.4.4 图乘法图乘法 第91页/共147页 EIycip 1MPMi)(24)13242121832(1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlB求求例例 7.4.4 图乘法图乘法 第92页/共147页 EIycip 例例 8.图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。iM2/lAl/2qBCl/2MP

46、2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc不是简单图形，分解不是简单图形，分解?分解分解14.4 图乘法图乘法 第93页/共147页 EIycip iM2/lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql分解分解24.4 图乘法图乘法 第94页/共147页 EIycip 32/2qliM2/

47、lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2ql2/2ql8/2qlq8/2ql2/2ql分解分解34.4 图乘法图乘法 第95页/共147页Cy例例9 求求C截面竖向位移截面竖向位移MPMi)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIcy16/3l8/2ql4/3l4/lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq

48、32/32ql4/lq32/32ql8/)4/3(2lq8/)4/(2lq4.4 图乘法图乘法 第96页/共147页如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.EIycip 12梯梯梯梯同同侧侧组组合合EIxdxfxgiP)()(EIxdxfxfxg)()()(21EIyy2211)/32()/32(21dcydcy4.4 图乘法图乘法 第97页/共147页如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.EIycip 梯梯梯梯异异侧侧组组合合1 1y2 2yABCDabcdKM图图M图图b、c 取负值取负值EIxdxfxgiP)()(EIyy2211)/32()

49、/32(21dcydcy是竖标相加是竖标相加,不是不是图形的简单拼合图形的简单拼合.4.4 图乘法图乘法 第98页/共147页例例10 求求B点水平位移。点水平位移。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同iMl EIycip 4.4 图乘法图乘法 第99页/共147页如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.EIycip 阶阶梯梯形形截截面面杆杆EIxdxfxgiP)()(I1I2I3）（xEIxfxgii

50、id)()()yyy(333222111EIEIEI4.4 图乘法图乘法 第100页/共147页AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角。iMMP练习练习11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.1111iM第101页/共147页 EIycip 例例 1