高中数学等差数列的性质优质课优秀课件.ppt

1、等差数列重要拓展课题：等差数列重要拓展课题：导航：等差数列的定义和通项公式是处理等差数导航：等差数列的定义和通项公式是处理等差数列问题的出发点，化根本量进行计算是根本方法，列问题的出发点，化根本量进行计算是根本方法，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我们对函数研究时何尝不是同样的道理，们对函数研究时何尝不是同样的道理，Lets go!等差数列等差数列 几几何何意意义义通通项项公公差差定定义义AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项

2、与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数.【说明说明】数列数列 a an n 为等差数列为等差数列a an n+1+1-a an n=d=dd d=a an n+1+1-a an n公差是公差是 唯一唯一 的，是一个常数。的，是一个常数。等差数列各项对应的等差数列各项对应的点都在同一条直线上点都在同一条直线上.知识回忆知识回忆an=a1+(n-1)d或或a an n+1+1=a an n+d+d例1 数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数

3、列的定义，要判定是不是等差数列，只分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看要看a an na an-1n-1(n2)是不是一个与是不是一个与n无关的常数就行了无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项解：取数列中的任意相邻两项a an-1n-1与与a an n(n2)(n2)a an na an-1n-1=(pn+q)-p(n-1)+q(pn+q)-p(n-1)+q =pn+q-(pn-p+q)=pn+q-(pn-p+q)=p =p它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以是等差数列，且公差是无关的常数，所以是等差数列，且公差是p p在通项公式中令在通项公式中令n=1n=1，得，得

4、a a1 1=p+q,=p+q,所以这个所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是p+qp+q，公差是，公差是p,p,等差数列的性质等差数列的性质(一一)解后反思：解后反思：证明一个数列是等证明一个数列是等差数列的方法差数列的方法1、假设一个数列的通项公式为、假设一个数列的通项公式为n的一次型函数的一次型函数an=pn+q,那么这个数列为等差数列那么这个数列为等差数列,公差为公差为p.2、非常数列非常数列的等差数列通项公式是关于的等差数列通项公式是关于n的一次函数的一次函数.常数列常数列的等差数列通项公式为常值函数。的等差数列通项公式为常值函数。an=3n+5a1=8，d=31341411821

5、7an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x等差数列的性质等差数列的性质(一一)等差中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：者三个数就会成为一个等差数列：12，4 2-1，53-12，0 40，032-60 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项。2baA在一个数列中在一个数列中,从第从第2 2项起项起,每一项每一项(有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项都

6、是它前一项与后一项的等差中项.如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列,那么那么A A叫叫a a与与b b的等差中项的等差中项.如如:数列数列:1,3,5,7,9,11,13,:1,3,5,7,9,11,13,中中,1532 3752 5972 593111137222 3719522 241532aaaaa 35261742aaaaaaa 即：即：等差数列的性质等差数列的性质(二二)思考题思考题:三个数成等差数列的和是三个数成等差数列的和是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数.:,.12484422ad a adadaadadaadaadd 解 设这三个数为解 设这三个数为或

7、或设数技巧设数技巧三个数成等差三个数成等差 数数列，且和为时常列，且和为时常利用对称性设三利用对称性设三数为：数为：a-d,a-d,a,a+da,a+d四个数怎么设？四个数怎么设？(1)假设有三个数成等差数列，那么一般设为假设有三个数成等差数列，那么一般设为ad，a，ad；(2)假设有四个数成等差数列，那么一般设为假设有四个数成等差数列，那么一般设为a3d，ad，ad，a3d；(3)假设有五个数成等差数列，那么一般设为假设有五个数成等差数列，那么一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.等差数列的设法及求解等差数列的设法及求解如何判断一个数列为等差数列如何判断一个数列为等差数列为等差数列常数）（

8、定义法：a)1n(daa)1(n1nn为等差数列常数）（递推法：a)1n(aa2a)2(n2nn1n为等差数列的一次型函数为通项法：ana)3(nn推导一个性质推导一个性质:由等差数列的通项公式有：an=a1+(n1)d am=a1+(m1)d将上下两式相减，an am=(n1)d(m1)d=(nm)d 那么：an=am+(nm)d an=am+(nm)d等差数列的性质：等差数列的性质：练习练习:在等差数列 an中,(1)a4=10,a7=19,求a1与d;(2)a3=9,a9=3,求a12 推导：d=(anam)/(nm)即知道任意两项均可以求出公差例二的公差又可解为：d=(a12a5)/(

9、125)=3110/125 =3d na Nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中，中，为公差，假设为公差，假设且且那那么：么：等差数列的性质等差数列的性质(四四)常用性质常用性质数列数列an是等差数列，是等差数列，m、n、p、qN+，且且m+n=p+q，那么，那么am+an=ap+aq。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作边作和的项数和的项数必须一样多必须一样多123121knknnnaaaaaaaa81

10、321(6)aaa等差数列的性质等差数列的性质(三三)例例2.在等差数列在等差数列an中中(1)a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20分析：由分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10例题分析例题分析(2)a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3)a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求求a14及公差及公差d.分析：分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=1532分析：分析：a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=2

11、8 又又 a4a7=187 ，解解、得得a4=17a7=11 a4=11a7=17 或或d=_2或或2,从而从而a14=_3或或31练习练习求数列通项公式求数列通项公式21,21,a aa aa a9,9,a aa aa a为等差数列，为等差数列，：已知a：已知a变式变式7 75 53 38 85 52 2n n2d d,求a求a187,187,a aa a56,56,a aa aa aa a为等差数列，为等差数列，变式1：已知a变式1：已知a1 17 74 47 76 65 54 4n n一个等差数列的首项为一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an1将前将前m项去掉，

12、其余各项组成的数列是项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？多少？am+1，am+2，an是等差数列是等差数列首项为首项为am+1，公差为，公差为d，项数为，项数为n-m等差数列的性质等差数列的性质(五五)一个等差数列的首项为一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an2取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？多少？a1，a3，a5，是等差数列是等差数列首项为首项为a1，公差

13、为，公差为2d取出的是所有偶数项呢？取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列是等差数列首项为首项为a2，公差为，公差为2d等差数列的性质等差数列的性质(五五)一个等差数列的首项为一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，ana7，a14，a21，是等差数列是等差数列首项为首项为a7，公差为，公差为7d取出的是所有取出的是所有k倍数的项呢？倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列是等差数列首项为首项为ak，公差为，公差为kd3取出数列中所有项是取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？

14、是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？等差数列的性质等差数列的性质(五五)一个等差数列的首项为一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an4数列数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差是等差数列吗？公差是多少？数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为是等差数列，公差为4d 数列数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是是等差数列吗？公差是多少？等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，是等差数列，公差为公差为3d。等差数列的性质等差数列的性质(五五)1、假设数列、假

15、设数列an为等差数列，公差为为等差数列，公差为d，那么，那么kan也为等差数列，公差为也为等差数列，公差为 _。4、假设数列、假设数列an与与bn分别是公差为分别是公差为d1、d2等等差数列，那么差数列，那么an+bn也为等差数列，也为等差数列，an-bn也为等差数列，也为等差数列，pan+qbn也为等差数列。也为等差数列。kd2、can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列；的等差数列；3、can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列的等差数列dcd等差数列的性质等差数列的性质(五五)nn11989820082008a b a34,b66,a85,b15,ab例3：等差数列和中，求例题分析例题分析例例 4 已知数列已知数列an满足满足 a14，an44an1(n2)，bn1an2.(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列bn的通项公式的通项公式例题分析例题分析重点题型：证明一个重点题型：证明一个数列是等差数列数列是等差数列例题分析例题分析例题分析例题分析n12n+2n+1nna a1a4a2aa2a3)数 列中，求n1nn+1n5111a a1aaa3例：1)数 列中，求n1nn+1n-1n211a a2aaan2a2)数 列中，（）求整体思想整体思想例题分析例题分析