1-1数列和收敛数列课件.pptx

1、1.1 数列和收敛数列 20110916“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和

2、为天截下的杖长总和为第第nnX211 1.,355),-408(,先驱先驱穷竭法穷竭法公元前公元前欧多克斯欧多克斯古希腊古希腊.,.275),-355(,极限思想极限思想一尺一尺公元前公元前庄子庄子中国中国.212),-287(面积面积穷竭法求抛物线弓形的穷竭法求抛物线弓形的公元前公元前古希腊，阿基米德古希腊，阿基米德.263),(,割圆术割圆术公元公元刘徽刘徽中国中国二、数列的定义定义定义:按自然数按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通

3、项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 三、数列的极限问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxnnx给定数列给定数列.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列

4、 nnn播放播放.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只只要要 Nn.1成立成立

5、有有 nx5,33333给定333331,5n只要+时51,33333nx 有定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多不论它多么小么小),),总存在正整数总存在正整数 N,使得对于使得对于 Nn 时的时的一切一切nx,不等式不等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数 a是数列是数列 nx 的极限的极限,或者称数列或者称数列 nx 收敛收敛于于a,记为记为 ,limaxnn 或或 ).(naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注：注：0N 强调任意性，但一经给出就确定，以求出；;nnxaxa不等式刻划了 与 的接近程度()

6、,.N与任意给定的正数 有关 只强调存在性注：注：注：注：,0 给给定定11,nN只要时.1成成立立有有 nx注：注：2,2,2 任意地小则也是任意小；x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一个或存在.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1.1)1(lim1 nnnn证明证明注意：注

7、意：取取多多大大？方方法法：倒倒推推法法；为为保保证证（构构造造出出来来）存存在在性性！是是思思路路：验验证证定定义义；关关键键分分析析：naaNn,nnnaann11)1(,01为为使使取整。取整。即可。即可。取取只要取只要取1,1 Nn证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即为任意实数。为任意实数。，类似可证：类似可证：anann1lim 例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任给任给所

8、以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 例例3.1,0lim qqnn其中其中证明证明分析分析:000nqq，结结论论成成立立。若若 nnqq，q010欲欲使使当当），（只只要要：10)0(lglglg qqn qN，qnlglglglg 取取证证,0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若

9、;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn “放大不等式放大不等式”0)1(12lim nn证明证明:分析分析:nnnnan21121)1(1022欲使欲使12121 Nn，只要只要例例4证明证明:0)1(112102nNnN时，有时，有，当，当，证明证明:03lim nnn分析分析:nnnn303欲欲使使nnCCCCnnnnnnn 21)11(121)10()32lg(lg)32(323 n，nnnnn例例5时时当当，不妨设不妨设NnN 132lglg)1(0 nnnnnn3233证明证明:例例6.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求证求证且且设设axaxaxnnn

10、 aaxn ,aaxn 分析分析:证证,0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,nxaa恒有axaxaxnnn 从而有从而有aaxn aa.,NnN使得当时证明证明:）（，001lim nn例例7分析分析:.11 N证明证明:.110 ,nnaNnn时时当当,1时时当当 ,1 设设,110 nnan,11 ,0 N对对11,lim0nn当时思考思考:时怎么办？时怎么办？10 ,类似前面的证明,1 ,N*mm可使可使知知.01lim mnn0,NnN 即使得只要就有.1mmn 等价于等价于,1 n1).(0 01lim ，所以所以nn求证求证11lim nnn例例8预备知识预备知识

11、:)0(2121 innnanaaaaaa分析分析1:1:nnnnn11)11(，1111nnnnnnnnn22)1(2 24 nnnnnn)1(212)2(nnnnn11)11(1111 nnnn证明证明1:1:nnnnn22)1(2 ,)1(21nn 可可知知，算算术术平平均均几几何何平平均均由由 ,14,0 2 N可取可取所以对所以对有有时时当当,Nn .1lim 1 nnn因此因此，分析分析2:2:,)1(,11nnnnhnhn 则有则有设设22(1)(1)(1)12.2nnnnnnn nnnhhhnh,211 ,2nhnn 得得约去约去.12 2 nhn，1211nhnnn，122

12、n.2211222 N证明证明2:2:则有则有设设,11nnhn nnhn)1(,2)1(2nhnn ，所以所以 12 nhn,22,0 2 N可取可取对对有有时时当当,Nn ，1211nhnnn.1lim 1 nnn因此因此aann lim的叙述方法的叙述方法（否否定定所所有有找找一一个个）不不成成立立都都成成立立否否0 （否定一个找所有）（否定一个找所有）都不成立都不成立成立成立否否NN “所有人都没吃”“所有人都没吃”“至少一个人吃饭了”“至少一个人吃饭了”人吃了”人吃了”“甲吃了”或“至少一“甲吃了”或“至少一“所有人都没吃饭”“所有人都没吃饭”否否否否 aaNnNNn时，成立时，成立

13、，当一切，当一切，*0 aaNnNNn00*00，使使，对对一一切切否否四、四、应记住的结果：应记住的结果：1lim nna（仿例（仿例8 8）当当时思考时思考时和时和11 aannnnnnnnnnannnan !0!0!1limlimlim10lim qqnn)0(01lim nn五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;六、作业习题习题1.1:1.1:1 1、2;2;3 3、4 4、5 5、6 6、7.7.思考题思考题指出下列证明指出下列证明1lim nnn中的错误。中的错误。证明证明要使要使,1 nn只要使只要

14、使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得,0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”的值的值nnlnp 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be写在最后谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力Learning Is Not Over.I Hope You Will Continue To Work Hard演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日