1-2描述质点运动的物理量资料课件.ppt

1、11-2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量 一、时间和时刻一、时间和时刻(time and moment)在坐标系中考察质点的运动时在坐标系中考察质点的运动时,质点位置与时刻相质点位置与时刻相对应对应,质点运动所经过的路程与时间相对应。质点运动所经过的路程与时间相对应。时间时间表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物理量，国际单位制（理量，国际单位制（SI）中七个基本物理量之一。）中七个基本物理量之一。时间具有单方向性，是标量，单位是时间具有单方向性，是标量，单位是s(秒秒)。某一瞬时称为某一瞬时称为时刻时刻，质点运动时，与质点某一位质点运动时，与质

2、点某一位置对应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。置对应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。2 二、位置矢量二、位置矢量(position vector)位矢包含两方面信息：质点位矢包含两方面信息：质点P相相对参考系固定点对参考系固定点O的方位；质点的方位；质点P相对参考系固定点相对参考系固定点O的距离大小。的距离大小。OP 用黑体字母或带箭头的字母表用黑体字母或带箭头的字母表示矢量。示矢量。r 质点质点P在任意时刻的位置在任意时刻的位置,可用从原点可用从原点O到质点到质点P所引的有向线段所引的有向线段OP 来表示，或用矢量来表示，或用矢量 来代表，来代表，这个矢量这个矢量 就称为质点就称为质

3、点P的的位置矢量位置矢量,简称简称位矢位矢。rr3 质点在运动质点在运动,位置在变化位置在变化,位置矢量必定随时间位置矢量必定随时间改变。改变。位置矢量是时间的函数：位置矢量是时间的函数：)(trrkzj yi xr在直角坐标系中在直角坐标系中 上式称为质点运动的上式称为质点运动的轨道参量方程轨道参量方程，即质点的运，即质点的运动学方程，它给出了质点运动的轨迹动学方程，它给出了质点运动的轨迹,也给出了也给出了质点在任意时刻所处的位置。质点在任意时刻所处的位置。4三、位移三、位移(displacement)和路程和路程(distance,path)位移位移：质点在一段时间内位置的改变：质点在一段

4、时间内位置的改变。LOBABrArrs()()BArr ttr t 质点从点质点从点A到点到点B所完成的位移所完成的位移等于点等于点B的位置的位置矢量与点矢量与点A的位置矢量的位置矢量 之差。之差。位移位移是矢量是矢量，既表示质点位，既表示质点位置变更的大小置变更的大小(点点A与点与点B之间的之间的距离距离)，又表示这种变更的方向，又表示这种变更的方向(点点B相对于点相对于点A 的方位的方位)。5ABrrr 位移位移rjyyixxABAB)()(平面平面运动运动:三维三维运动运动:kjyyixxrABABAB)()()(zz ，jyixrAAA ，jyixrBBBxyBBrArAroABxx

5、AByy AxBx6 路程路程s),(1111zyxP),(2222zyxP)(1tr1P)(2tr2PxyOz从从P1到到P2：路程路程21PPs s s(3)位移是位移是矢量，矢量，路程是路程是标量标量位移与路程的区别位移与路程的区别(1)两点间位移是唯两点间位移是唯一的一的r(2)一般情况一般情况 sr71r1P2r2PrxyOzr注意注意kj yi xrz 212121z yx222222z yxr222zyxr的意义不同的意义不同rrr，8ABrrrAB在直角坐标系中在直角坐标系中kzj yi xr222zyxrrzyxO BrBArAsrstt00 limlimrsddsrr 位移

6、矢量位移矢量反映反映 t内质点位置的移动内质点位置的移动(大小、方位大小、方位)矢量的矢量的“差之模差之模”和和“模之差模之差”一般是不相等的一般是不相等的9 路程路程 s是一定时间内物体所经过路线的总长度。是一定时间内物体所经过路线的总长度。t 时间内经过的路程是曲线时间内经过的路程是曲线AB的长度，是标量。的长度，是标量。质点的位移和路程不同。质点的位移和路程不同。位移运算遵从矢量运算位移运算遵从矢量运算的法则：平行四边形定则。的法则：平行四边形定则。一般位移矢量的模一般位移矢量的模不等于路程不等于路程,只有在质点作只有在质点作单方向直线运动时，它们才相等。单方向直线运动时，它们才相等。s

7、tt00limlimr位移和路程单位相同位移和路程单位相同,在国际单位制中为在国际单位制中为m(米米)。10四、速度四、速度1 平均速度平均速度)()(trttrr 在在 时间内，质点时间内，质点位移为位移为tr)(ttrB)(trAxysoj yi xtrvjtyitxjiyxvv112瞬时速度（简称瞬时速度（简称速度速度）trtrtddlim0vjtyitxddddvjiyxvv若质点在若质点在三维三维空间中运动，其速度空间中运动，其速度kjiyxzvvvvxyovyvxv12当当 时时,0ttddets v速度速度方向方向 切线向前切线向前ddstv速度速度大小大小srdd速度速度 的值

8、的值 速率速率v13 一运动质点在某瞬一运动质点在某瞬时位于位矢时位于位矢 的的端点处，其速度大小为端点处，其速度大小为),(yxrtrdd（A）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）讨论讨论注意注意trdd)(trxyotrtrddddyx14（1）求求 时的速度时的速度（2）作出质点的运动轨迹图作出质点的运动轨迹图 例例1 1 设质点的运动方程为设质点的运动方程为 ()()(),r tx t iy t j3st 其中其中，0.225.0)(2 tty 0.20.1)(，ttx式中式中x，y的单位为的单位为m(米米)，t 的单位为的单位为s(秒秒)，15速度速度 的值的值 ，

9、它与，它与 轴之间的夹角轴之间的夹角1sm8.1v解解 (1)由题意可得由题意可得时速度为时速度为vxo3.560.15.1arctanttytxyx5.0dd0.1dd vv，ji5.10.1vs3t已知：已知：，0.225.0)(2 tty 0.20.1)(，ttx16（2）运动方程运动方程/mx/my0轨迹图轨迹图246-6-4-22460ts2ts2ts4ts4t消去参数消去参数 可得轨迹方程为可得轨迹方程为t0.325.02 xxy，0.225.0)(2 tty 0.20.1)(，ttx17xyoABlv 例例2如图如图A、B 两物体由一长为两物体由一长为 的的刚性细杆相连，刚性细杆

10、相连，A、B 两物体可在光滑轨道两物体可在光滑轨道上滑行如物体上滑行如物体 A以以恒定的速率恒定的速率 向左滑向左滑行行,当当 时时,物物lv60体体B的速率为多少？的速率为多少？18 解解iitxixAvvvddjtyjyBdd vv222lyx两边求导得两边求导得0dd2dd2tyytxxxyoABlv因因选如图的坐标轴选如图的坐标轴19即即txyxtyddddjtxyxBddvjBtanvvvtxddxyoABlv 沿沿 轴正向轴正向Bvy当当 时，时，o60，vv73.1B201 平均加速度平均加速度BvBv与与 同方向同方向vaxyOatv五、加速度五、加速度AvAAvBv 在在 时

11、间内，质时间内，质点速度增量为点速度增量为tABvvv210dlimdtatt vvktjtitazyxddddddvvv 2(瞬时瞬时)加速度加速度xyzaa ia ja k22ddtr22加速度加速度大小大小222zyxaaaaa加速度加速度方向方向曲线运动曲线运动 指向凹侧指向凹侧直线运动直线运动v/a2v1v1a2a注意：注意：物理量物理量 的共同特征是都具有的共同特征是都具有矢量性矢量性和和相对性相对性a，v，r，r23根据加速度的定义式根据加速度的定义式 可得可得ttavd)(d若求在若求在t0到到t 时间内速度的变化时间内速度的变化,可对上式积分：可对上式积分：ttttavv0)

12、d(0ttttavv00)d(速度公式速度公式tttttttavrr0000d d)(位矢的一般表达式位矢的一般表达式241-3 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系一、直角坐标系一、直角坐标系 (rectangular coordinate)通常采用的直角坐标系通常采用的直角坐标系属属右旋系右旋系,当右手四指由当右手四指由x轴轴方向转向方向转向y轴方向时轴方向时,伸直的伸直的拇指则指向拇指则指向z轴的正方向。轴的正方向。在参考系上取一固定点作为坐标原点在参考系上取一固定点作为坐标原点O,过点过点O画画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴三条相互垂直的带有刻度的坐标轴,即即x轴、轴、y轴和轴和z

13、轴轴,就构成了就构成了直角坐标系直角坐标系 O-xyz。xyzOP(x,y,z)r25kzj yi xr位置矢量可表示为位置矢量可表示为 可用方向余弦来表示位置矢量方向。可用方向余弦来表示位置矢量方向。cos,cos,cosxryrzrcoscoscos2221222zyxrr位矢大小位矢大小其中其中 、和、和 分别是分别是x、y和和z方向的单位矢量。方向的单位矢量。ijk26质点运动的轨道参量方程式质点运动的轨道参量方程式 写成分量形式写成分量形式)()()(tzztyytxxkjikjirvzyxvvvtztytxtddddddddvxtvytvtxydd,dd,ddzz222zyxvvv

14、vv速度表达式速度表达式27任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关分量有关,而与其它方向的分量无关而与其它方向的分量无关。ktjtyitxktvjtvitvazyx22222ddddddddddddzk+aj+aiazyx加速度的表达式加速度的表达式222zyxaaaaa加速度大小加速度大小atxtavtytavttxxyydd,222222vddddddddddzzz28 质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向上质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成的。各自独立进行的直线运动所合成的。如果质点

15、在某个方向如果质点在某个方向(如如x方向方向)上的速度不随时上的速度不随时间变化间变化,即质点在该方向上的分运动为匀速直线运即质点在该方向上的分运动为匀速直线运动动,则在该方向上的位移可由位移公式求得则在该方向上的位移可由位移公式求得 xxxvttx00()质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴方质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动。向上各自独立进行的直线运动。运动叠加原理在直角坐标系中的表现。运动叠加原理在直角坐标系中的表现。29vvattxxx00()tavvxxx0vva txxx0 xxv ta txx00212)(20202xxavvxxxxxvvtxx

16、002 如果质点在某个方向如果质点在某个方向(如如x方向方向)上的加速度不上的加速度不随时间变化随时间变化,该方向上分运动为该方向上分运动为匀变速直线运动匀变速直线运动,在在x方向的速度变化可根据速度公式求得方向的速度变化可根据速度公式求得:30运动方程是运动学问题的核心运动方程是运动学问题的核心1.已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度以及加速度 22rrrr tatttddddddvv2.已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程及初始条件求质点的运动方程00,tta ta

17、tddddvvvv00,rtrtrtrtddddvv运动学的两类问题31 例例3有一个球体在某液体中竖有一个球体在某液体中竖直下落直下落,其初速度其初速度 ，它在，它在液体中的加速度为液体中的加速度为 ，问：，问：(1)经过多少时间后可以认为小球已经过多少时间后可以认为小球已停止运动；停止运动；(2)此球体在停止运动前经历的路程此球体在停止运动前经历的路程有多长？有多长？0vyoj100 vjav0.13200t00ddln,vtvtt vvvvvttyedd0vvtyttyded000v解解vtv0.1dda0vyote0vv解得：解得：）（tye110解得：解得：00ln,.tvtvv e

18、v 0000(1)eytttyvey v010jv33O/my/st10-1/m s v0vO/st，t0.10e vv）（ty0.1e110 v0/10v0/100v0001/0v00010/0vm/ys/tm10,0 s,2.9ytv10 001010(1)10(1 1)010(1)10(1 0)10yyeemm34 例例4：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边,如图。如如图。如果绞车以恒定的速率果绞车以恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳,绞车定滑轮离水面绞车定滑轮离水面的高度为的高度为h,求小船向岸边移动的速度和加速度。求小船向岸边移动的速度和加速度。解解：以绞车定滑轮处

19、为坐标原点：以绞车定滑轮处为坐标原点,x 轴水平向轴水平向右右,y 轴竖直向下轴竖直向下,如图所示。如图所示。xlhyoxxlhu35 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l,任意时刻小船到任意时刻小船到岸边的距离岸边的距离x总满足总满足 x 2=l 2 h 2 两边对时间两边对时间t 求导数求导数,得得 22xxtlltdddd 绞车拉动纤绳的速率绞车拉动纤绳的速率,纤绳随时间在缩纤绳随时间在缩短短,故故 ;是小船向岸边移动的速率。是小船向岸边移动的速率。ddltu ddlt 0ddxtv22-lxhvuuxx 负号表示小船速负号表示小船速度沿度沿x 轴反方向。轴反方向。小船向岸

20、边移小船向岸边移动的加速度为动的加速度为 axtvtu hx dddd222233622222.-,hlxhvuuxlxx22232223322().-dldxx ldvux lvdtdtuudtxxluxlu xxuxxluxau hx 37 例例5：抛体运动。假设物体以初速度：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平沿与水平方向成角方向成角 方向被抛出方向被抛出,求物体运动的轨道方程、求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。0 抛体运动可以看作为抛体运动可以看作为x方向方向的匀速直线运动和的匀速直线运动和y方向的匀方向的匀变速直线

21、运动相叠加。变速直线运动相叠加。0 xy0vO解解：首先必须：首先必须建立坐标系建立坐标系,取抛射点为坐标原点取抛射点为坐标原点O,x 轴水平向右轴水平向右,y 轴竖直向上轴竖直向上,如图。如图。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。38解解jggaay0 xa2021t gtr v按已知条件，按已知条件，t=0时，有时，有gaayx0cos00vvxsin00vvy0vxy221t grt0v PO39，txcos0v2021singttyvxvyvvxvyvv0dxyo0vx0vy0v解得：解得：2220cos2tanxgxyv轨迹方程为：轨迹方程为：

22、4002cos2dd200gdv由于空气阻力，实际由于空气阻力，实际射程小于最大射程射程小于最大射程，cossin2200gdv求最大射程求最大射程gd20m0v，4当当xyo0d真空中路径真空中路径实际路径实际路径d41x1=0是抛射点的位置是抛射点的位置,另一个是射程另一个是射程 avvxvtxx00000,cos,(cos)2000021)sin(,sin,gttvygtvvgayyyxgvx()(cos)tan000222抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 令令y=0，得，得()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin42物体的飞行时间物体的飞行时间0202sinc

23、osvxTvg当物体到达最大高度时当物体到达最大高度时,必有必有0yv01sinvtg物体达最大高度的时间物体达最大高度的时间最大高度最大高度220sin2vHg 实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。都比上述值要小。抛射角抛射角 0=/4时时,最大射程最大射程gvx20max43例题例题6 6 有一学生在体育馆阳台上以投射角有一学生在体育馆阳台上以投射角=30=30和和速率速率v0=20=20m/s向台前操场出一垒球。球离开手时距离向台前操场出一垒球。球离开手时距离操场水平面的高度操场水平面的高度h=10m。试问球投出后何时着地？。试问球

24、投出后何时着地？在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？解：解：以投出点为原以投出点为原点，建立点，建立x，y坐标坐标轴如图所示。轴如图所示。tvxcos02021singttvy44把已知条件把已知条件y=-h=-10m,=30,v0=20m/s代入方程得代入方程得2.78s,0.74s(tt 舍去）；48.1m(x 着地点距投射点的水平距离）17.3m/s17.2m/sxyvv 00cos2.78ssinxyvvtvvgt由和2224.4m/sxyvvv17.2arctanarctan44.817.3yxvv 着地时速度大小着地时速度大小此速度和

25、水平面的夹角此速度和水平面的夹角45)(ta)(tr()tv求导求导求导求导积分积分积分积分 1由质点的运动方程可以求得质点在由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；任一时刻的位矢、速度和加速度；2已知质点的加速度以及初始速度和已知质点的加速度以及初始速度和初始位置初始位置,可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程说明说明质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题46补例补例1 1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为jti tr22192 求求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2）t=2s 时质点的位置、速度时质点的位置、速度 以及加速度；以及加速度；（3）

26、什么时候位矢恰好与速度垂直？）什么时候位矢恰好与速度垂直？2219,2tytx(1)消去时间参数消去时间参数22119xy（2）m114m22192222jijirj titr42ddv12sm82jiv11222sm25.8sm82v47j titr42ddvjta4ddv2sm4a方向沿方向沿 y 轴的负方向轴的负方向（3）（4）j tijti tr4221922v)182(4)219(4422ttttt0)3)(3(8ttts3,021tt两矢量垂直两矢量垂直857528arctan48例例7 子弹子弹(质点质点)射入固定在地面上的砂箱内，射入固定在地面上的砂箱内，假设射入时刻定为假设射

27、入时刻定为 t=0，子弹速率为，子弹速率为v0 。加速度与速率成正比，比例系数为加速度与速率成正比，比例系数为k，即即vaxo求：求：1)2)max)(xtv解：解：1)建坐标系如图建坐标系如图vvktdd砂箱砂箱a由由tadd有式有式49vvktddtttk0)(0ddktet0)(vv分离变量：分离变量：tkdd两边分别积分：两边分别积分：得结果得结果:#502)由式由式txddvtxddvtktxtex000dd)1(0ktekxvkxt0maxv有有即即texktdd0两边分别积分两边分别积分得结果：得结果：#51补例补例2 路灯距地面高度为路灯距地面高度为h，身高为，身高为l 的人以

28、速度的人以速度v0在路上匀速行走。求：（在路上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度；）人影头部的移动速度；（2）影长增长的速率。）影长增长的速率。Ox2xx1hl（1）hxlxx21212)(hxxlh两边求导：两边求导：txhtxlhdddd)(12012dd,ddvvtxtx其中：0hhlvv52（2）令令 为影长为影长12xxb2xhlb txhltbdddd2 v以以 代入代入lhhtx02ddv得得0lhl vv53*二、平面极坐标系二、平面极坐标系(planar polar coordinates)取参考系上一固定点取参考系上一固定点O作为极点作为极点,过极点所作过极点所作的一条

29、固定射线的一条固定射线OA称为称为极轴极轴。用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。质点处于点质点处于点P,连线连线OP 称为点称为点P的的极径极径,用用 表示；自表示；自OA到到OP转转过的角过的角 称为点称为点P的的极角极角。点。点P位位置可用置可用(,)来表示来表示,这两个量就这两个量就称为点称为点P的的极坐标极坐标。(自看自看）A ),(OP54三、自然坐标系三、自然坐标系(natural coordinates)沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。取轨道上一固定点为原点取轨道上一固定点为原点,规定两个随质点位

30、置规定两个随质点位置变化而改变方向的单位矢量变化而改变方向的单位矢量,一个是指向质点运动一个是指向质点运动方向的方向的切向单位矢量切向单位矢量,用用 表示表示,另一个是垂直于另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量法向单位矢量,用用n表示。表示。因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向,所以在自然坐标系中所以在自然坐标系中,速度矢量可表示为速度矢量可表示为 )()()(ttvtv55tene自然坐标系下的速度和加速度 自然坐标系：自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。规定：规定：sOP 切向坐标

31、轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为te 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为neQ snete56QPsss tss ttddetse vvtenesOPQ stev57 第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量，第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量，为为法向加速度法向加速度(normal acceleration)第一项表示由于速度大小变化所引起的加速第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分量度分量,大小等于速率变化率大小等于速率变化率,方向沿轨道切方向沿轨道切向向,称称切向加速度切向加速

32、度(tangential acceleration)加速度矢量为加速度矢量为 tvtvvttvadddd)(ddddtvaddtntvaddn58LBA(t)(t+t)当当 t0时时,点点B 趋近于点趋近于点A,等腰等腰 O A B 顶角顶角 0。O(t)(t+t)B A 极限方向必定垂直于极限方向必定垂直于 ,指向指向轨道凹侧轨道凹侧,与法向单位矢量与法向单位矢量n一致，并且一致，并且 ()tlimlimttttt00 dd59teddtttet2P1P tetsO)()(ttttettee-0,0t当：ttee有ttee方向ttn00dlimlimdtteeettt ttet tette6

33、0ttet2P1P tetsOsnnn0tdd1limddeeeetststtv2tntddvvee沿法线方向沿法线方向n2tnddeetavv61一般情况下一般情况下,质点的加速度矢量应表示为质点的加速度矢量应表示为 如果轨道在点如果轨道在点A 的内切圆的曲率半径为的内切圆的曲率半径为 ,nvntvntva2nddddnvtvnaaa2ntddtvaddt62加速度的大小：加速度的大小：22aaant加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：arctanaant例：抛体运动例：抛体运动nata gn2tntddeetaaavv634 圆周运动及其角量描述

34、ABsRxyO 质点所在的矢径与质点所在的矢径与x 轴的夹角。轴的夹角。质点从质点从A到到B矢径转过的角度矢径转过的角度。逆时针转向逆时针转向 为正为正顺时针转向顺时针转向 为负为负tttddlim00limttt dd64角量表示匀加速圆周运动的基本公式：02002200122ttt 角量和线量的关系：角量和线量的关系：aRtsRsRttdddd22aRRnv.dRttdtddddvRv2aRn65vRzryOx可以把角速度看成是矢量可以把角速度看成是矢量！方向由右手螺旋法则确定方向由右手螺旋法则确定。右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指的指向即为角速

35、度矢量的方向。的指向即为角速度矢量的方向。线速度与角速度的关系：rvddddddrrtttv66arvrRr为为切向切向加速度加速度方向沿着运动的方向沿着运动的切线方向切线方向。R2vvvv方向方向指向圆心指向圆心v为为 法向法向加速度加速度vRzryOx67例例8 求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径解解：在轨道顶点：在轨道顶点cos0vvvxgatanxt0ddgan2vna由由gan202)cos(vv0y得得#xyo068例例9:半径为半径为r=0.2 m的飞轮，可绕的飞轮，可绕 O 轴转动。已轴转动。已知轮缘上一点知轮缘上一点M的运动方程为的运动方

36、程为=-t2+4t，求在，求在1秒秒时刻时刻M点的速度和加速度。点的速度和加速度。24tt dd2t dd11(24)0.2(2 14)0.4rrt m sm sv22(2)0.20.4ar tm sm s22220.2(2 14)0.8ar nm sm s2220.89aaatnm s0.8arctanarctan63.40.4aantnataaoxvM69解：解：由题意，可得该点的速率为：由题意，可得该点的速率为：*例题例题10.一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为关系为 ，v0、b都是正的常量。都是正的常量。（1 1）求该点在时刻）求该点在时刻

37、t 的加速度；的加速度；（2）t 为何值时，为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为飞轮的半径为R。2/20bttvs200dd1()dd2svv tb tvb ttt 上式表明，速率随时间上式表明，速率随时间t而变化，该点做匀变速而变化，该点做匀变速圆周运动。圆周运动。70tnaa22tnaaa20()arctanvbtRb （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(420()()vbtbRR加速度方向由它和速度的夹角确定为加速度方向

38、由它和速度的夹角确定为Rovnataa71 （2）令令at=an，即即20()vbtbR0bRvbt得得0()/tvbRb72例例11:汽车在半径为汽车在半径为m200的圆弧形公路上刹车的圆弧形公路上刹车,运动学方程运动学方程 2200.2stt（单位：秒，米）。求（单位：秒，米）。求:1ts时的加速度。时的加速度。解解：200.4dsvtdt119.6/tsvm s20.4/dvam sdt 22219.61.9/200nvamsR20.41.9(/)naa ia nin m s 73例例12一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀

39、增加，每经过以后加速度均匀增加，每经过秒增加秒增加a0，求经过，求经过t秒后秒后质点的速度和运动的距离。质点的速度和运动的距离。解解：00 advaatadvadtdt200001()2aavadtat dta ttc2010000 2atvcva tt 时vdtdxdtdxv 22300002()226aaaxvdta ttdtttc23002000 26aatxcxtt 时74 解解：质点的切向加速度和法向加速度分别为：质点的切向加速度和法向加速度分别为：这就是所要求的速率与时间的关系。这就是所要求的速率与时间的关系。例例1313:质点以初速质点以初速 沿半径为沿半径为R 的圆周运动的圆周

40、运动,其加速度方向与速度方向夹角其加速度方向与速度方向夹角 为恒量为恒量,求质点求质点速率与时间的关系。速率与时间的关系。0vavtavRtndd,2分离变量分离变量ddtanvvtR2vtRvaaddtan2tn110vvtRtan得得ddtan vvtRvvt200积分积分75五、相对运动五、相对运动(b)车做匀速直线运动时，车做匀速直线运动时，地面上的人观察到石子做地面上的人观察到石子做抛物线运动。抛物线运动。vv(a)车做匀速运动时车上车做匀速运动时车上的人观察到石子做直线的人观察到石子做直线运动。运动。vv76vyxxySSr0rr0rrr0rrrtttdddddd两边求导两边求导7

41、7rtddv物体相对与物体相对与 系的速度系的速度S00rtddv 系相对与系相对与 系的速度系的速度SSrt ddv相对速度：相对速度：物体相对与物体相对与 系的速度系的速度Svvv078例例15 一观察者一观察者A坐在平板车上，车以坐在平板车上，车以10 m/s的速率沿的速率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈 60角向上角向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石块看到石块沿铅垂线向上运动。求石块上升的高度。沿铅垂线向上运动。求石块上升的高度。按题意作矢量图按题意作矢量图10sm60tan1060tan vv

42、2217.315.322 9.80Hgmv0vyxyx0vvv0vvv1sm3.17例例7 某人骑自行车以速率某人骑自行车以速率v0向东行驶。今有风以同向东行驶。今有风以同样的速率由北偏西样的速率由北偏西30方向吹来。问：人感到风是方向吹来。问：人感到风是从那个方向吹来？从那个方向吹来？0 vvv0vvv80补例补例2 2设某一质点以初速度设某一质点以初速度 做直做直线运动，其加速度为线运动，其加速度为 。问：质点。问：质点在停止前运动的路程有多长？在停止前运动的路程有多长？10sm100iv2sm10iavvv10ddtat d10dvvttt10ln,d10d000vvvvvvt100e vvttxtxtdedd,dd100vvv81两边积分：两边积分：txttxded01000 v1e101100txv)1(1010texm10m)01(10)e1(100)11(10)e1(10100100 xxm100 xxxdocin/sanshengshiyuandoc88/sanshenglu 更多精品资源请访问更多精品资源请访问