第十五届华罗庚数学竞赛初赛决赛试卷和答案.pdf

1、 图 Q-1 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题（小学组）初赛试题（小学组）一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的.请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1.如图Q-1所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的().（A）21 （B）32 （C）52 （D）125 2.两条纸带，较长的一条为 23cm，较短的一条为 15cm.把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍,那么剪下的长度至少是()cm.(A)6 （B

2、）7 （C）8 （D）9 3.两个水池内有金鱼若干条,数目相同.亮亮和红红进行捞鱼比赛,第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是 3:4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞 33 条，与红红捞到的金鱼数目比是 5:3.那么每个水池内有金鱼()条.(A)112 （B）168 （C）224 （D）336 4.从21,31,41,51,61中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与76最接近，去掉的两个数是().（A）21,51 （B）21,61 （C）31,51 （D）31,41 5.恰有 20 个因数的最小自然数是().(A)120 （B）240 （C）360 （D）432

3、图 Q-2 图 Q-3 6.图 Q-2 的大正方形格板是由 81 个 1 平方厘米的小正方形铺成，B,C 是两个格点.若请你在其它的格点中标出一点 A，使得ABC的面积恰等于 3 平方厘米，则这样的 A点共有()个.（A）6 （B）5 （C）8 （D）10 二、填空题二、填空题(每小题 10 分，满分 40 分)7.算式 4.03.13.0241325.0721 的值为 .8.“低碳生活”从现在做起，从我做起.据测算，1 公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳 14 吨.如果每台空调制冷温度在国家提倡的 26基础上调到27，相应每年减排二氧化碳 21 千克.某市仅此项减排就相当于 25000 公顷落

4、叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按 3 台空调计，该市家庭约有 万户.(保留整数)9.从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于 2010，那么其中未被选中的数字是 .10.图 Q-3 是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接 B 或者 C.小圈轨道的周长是 1.5 米，大圈轨道的周长是 3 米.开始时，A 连接 C，火车从 A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接.若火车的速度是每分钟 10 米，则火车第10 次回到 A 点时用了 分钟.图 A-1

5、第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题解答（小学组）初赛试题解答（小学组）一、选择题一、选择题 1.如图 A-1 所示,平行四边形内有两个大小一样的正六边形,那么阴影部分的面积占平行四边形面积的().（A）21 （B）32 （C）52 （D）125【答案答案】A.【解答解答】由图可知,左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积,因此阴影部分的面积占平行四边形面积的21.2.两条纸带,较长的一条为 23cm,较短的一条为 15cm.把两条纸带剪下同样长的一段后,剩下的两条纸带中,要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍

6、,那么剪下的长度至少是()cm.(A)6 （B）7 （C）8 （D）9【答案答案】B.【解答解答】设剪下的长度为x cm,那么有：)15(223xx,解得7x.因此,剪下的长度至少为 7 cm.3.两个水池内有金鱼若干条,数目相同.亮亮和红红进行捞鱼比赛,第一个水池内的金鱼被捞完时,亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是 3:4；捞完第二个水池内的金鱼时,亮亮比第一次多捞33条,与红红捞到的金鱼数目比是5:3.那么每个水池内有金鱼()条.(A)112 （B）168 （C）224 （D）336【答案答案】B.图 A-2【解答解答】解法解法 1：这是一道工程问题的变形,每个水池内有金鱼 168)34335

7、5(33（条）.解法解法 2：可以认为是比例应用题,设亮亮第一次捞到 3n 条,则红红第一次捞到 4n 条,依题意,有35334333nn,解得 n=24,因此水池内共有金鱼 7n=168 条.4.从21,31,41,51,61中去掉两个数,使得剩下的三个数之和与76最接近,去掉的两个数是().（A）21,51 （B）21,61 （C）31,51 （D）31,41【答案答案】D.【解答解答】通分 21=420210,31=420140,41=420105,51=42084,61=42070,76=420360.显然,210+84+70=364 最接近 360.5.恰有 20 个因数的最小自然数

8、是().(A)120 （B）240 （C）360 （D）432【答案答案】B.【解答解答】因为 20=210=45=225,因此,具有 20 个因数的自然数是 3与 9 个 2 的乘积,即:3222222222=1536;或者是 3 个 3 与 4个 2 的乘积,即:3332222=432;或者是 3,5 与 4 个 2 的乘积,即:352222=240,因此最小的自然数为 240.6.如图 A-2 的大正方形格板是由 81 个 1 平方厘米的小正方形铺成,B,C 是两个格点.若请你在其它的格点中标出一点A,使得ABC的面积恰等于 3 平方厘米,则这样的 A 点共有()个.图 A-3（A）6

9、（B）5 （C）8 （D）10【答案答案】C.【解答解答】从最上面的水平线开始将水平线分别记为第 1、第 2、第 10 条水平线,每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求.以此穷举法可以得到：第 1条水平线上没有格点符合要求,第 2 条水平线上仅有7A符合要求.如图 A-3 所示,类似可以得到格点2A,1A,6A符合要求,对称地,可以得到5A,4A,3A,8A符合要求.故答案是 C.二、填空题 二、填空题 7.算式 4.03.13.0241325.0721 的值为 .【答案答案】1218.【解答解答】4.03.13.0241325.0721=10953434175=75+32=1218.8

10、.“低碳生活”从现在做起,从我做起.据测算,1 公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳 14 吨.如果每台空调制冷温度在国家提倡的 26基础上调到 27,相应每年减排二氧化碳 21 千克.某市仅此项减排就相当于 25000 公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按 3 台空调计,该市家庭约有 万户.(保留整数)【答案答案】556.【解答解答】25000141000（213）5555555.6.9.从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中,选出九个数字,组成一个两位数、一个三位数和一个四位数,使这三个数的和等于 2010,那么其中未被选中的数字是 .【答案答案】6.【解答解答】由

11、于和为 2010 所以四位数首位只能为 1,设四位数、三位数、两位数分别为abc1,defgh.设没有被选的数字为x,那么 100()10()()1010adbegcfh.两边同时减去hgfedcba,由于451xhgfedcba,则 xgebda966)(9)(99.两边都可以被 9 整除,因此6x.事实上,由去掉6以后的9个数码0,1,2,3,4,5,7,8,9可以组成一个两位数,一个三位数,一个四位数:78,540,1392,满足 78+540+1392=2010.【说明说明】1)另一解法.设四位数、三位数、两位数分别为abc1,defgh,既然他们的和是 2010,三个整数的个位、十位

12、和百位相加,一定都有进位,所以进位的数目至少是 3,设为 k.已知：所有加数数字之和和的数字之和9 k39k,由于0 1 2945 ,故有：363 945k,33423599k,所以4k,三个整数abc1,defgh的数字和是3 939k,因此没有被选的数字为 6.2)可以询问：有多少不同的 abc1,defgh 满足它们的和是 2010 呢？从 条 件 可 知：20cfh或10cfh.如 果20cfh,则19beg,否则39cfhbeg ,这是不可能的；当10cfh时,图 A-4 9beg,否 则993 7cfhbeg,也 是 不 可 能 的,因 为38abcdefgh .故有 20 (1)

13、9 (2)9 (3)cfhbegad 用穷举法,(1)的解是3,8,9,4,7,9,5,7,8;(2)的解是0,2,7,0,4,5,2,3,4；(2)的解是0,9,2,7,4,5；8 个数字,a b c d e f g h所取的数字各不相同,并且0,0dg故有 1.,c f h 3,8,9,0,2,7,4,5b e ga d,有不同的6 4 2=48 组解；2.,c f h 3,8,9,0,4,5,2,7b e ga d,有不同的6 4 2=48 组解；3.,5,7,8,2,3,4,0,9c f hb e ga d,有不同的66 1=36 组解,即当20cfh时共有 132 组解.类似,（1）

14、和（2）交换,此时8da,有 108 组解答.因此,共有 240 组答案.10.图 A-4 是一个玩具火车轨道,A 点有个变轨开关,可以连接 B 或者 C.小圈轨道的周长是 1.5 米,大圈轨道的周长是 3 米.开始时,A 连接 C,火车从 A 点出发,按照顺时针方向在轨道上移动,同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接.若火车的速度是每分钟 10 米,则火车第 10 次回到 A 点时用了 分钟.【答案答案】2.1.【解答解答】根据条件,在小圈火车行驶一圈用时15.0105.1分钟,在大圈火车行驶一圈用时3.0103分钟.设回到 A 点时用时为t分钟,这样我们有下表：回到 A 的次数 1 2 3

15、 4 5 6 7 8 9 10 回到 A 点时 用时 0.3 0.6 0.9 1.2 1.35 1.5 1.65 1.8 1.95 2.1 经过的轨道 AC AC AC AB AB AB AB AB AB AC 下面我们给出一个一般的解答.设玩具火车绕小圈轨道m圈,绕大圈轨道n圈,则玩具火车运动路程是1.53Smn,时间是1.5310mn.如果1.5310mn是偶数,则变轨开关 AC 连通,如果1.5310mn是奇数,则变轨开关 AC 连通.我们寻找最小的mn,使1.5310mn是偶数.无妨设 1.5310mnK,或3620mnK,这里K是偶数,并且有3为约数,是玩具火车运动的时间,因此最小的

16、K是6.即求m和n使 240mn.当n3,3010n,故开始玩具火车绕大圈轨道 4 圈之后进入小圈,时间是121.210（分钟）；当n4,m5 时,7.5 12110,9 12210,故玩具火车绕小圈轨道 6 之后再次进入大圈轨道,此时1.5310mn1.5 63 42.110 （分钟）（可以称为一个拟循环）将 玩 具 火 车 再 次 进 入 大 圈 运 行,运 行 圈 数 记 为2n.2n 3 时,1.5 63 7310 （分钟）,玩具火车应当再次进入小圈运行,运行圈数记为2m,既然1.5 71.5 611010,故玩具火车绕小圈运行 7 圈后,应再次进入大圈运行,此时1.531.5 133

17、 74.051010mn（分钟）.将玩具火车再次进入大圈运行,运行圈数记为3n.既然 1.5 133 111.5 133 1051010 ,故玩具火车绕大圈运行 4 圈后,应再次进入小圈运行,此时 1.531.5 133 115.251010mn（分钟）,则玩具火车绕大圈运行 5 圈后,1.531.5 183 1161010mn(分钟).结论玩具火车第 29 次回到 A 时,变轨开关 AC 连通,即回到原始状态.图 Q-8 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 A（小学组）（小学组）一、填空题一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1.在 10

18、 个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于 11，不能是13，也不能是 5 的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.2.有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品以及五种价格分别为 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元的包装盒.一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格.3.汽车 A 从甲站出发开往乙站,同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行开往甲站,途中 A 与 B 相遇 20 分钟后再与 C 相遇.已知 A、B、C 的速度分别是每小时 90km,80km,60km,那么甲乙两站的路程是 km.4.将21,31,41,51,61,71和这 6 个分数的平

19、均值从小到大排列,则这个平均值排在第 位.5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为 ，这些“好数”的最大公约数是 .6.图Q-8所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成,这个立体图形的表面积为 .7.数字卡片“3”、“4”、“5”各 10 张，任意选出 8 张使它们的数字和是 33，则最多有 张是卡片“3”.8.若将算式201020091200820071871651431211的值化为小数，则小数点后第 1 个数字是 .图 Q-9 图 Q-10 二、解答下列各题二、解答下列各题(每题

20、 10 分，共 40 分,要求写出简要过程)9.图 Q-9 中有 5 个由 4 个 11 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这 5 个硬纸板拼成图 Q-9 中45 的长方形吗？如果能,请画出一种拼法；如果不能,请简述理由.10.长度为 L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为 8，12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11.足球队 A，B，C，D，E 进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得 3 分，负队得 0 分，平局两队各得 1 分.若 A，B，C，D 队总分分别是 1，4，7，8，请问：E 队至多得几分？至少得几分？12

21、.华罗庚爷爷出生于 1910 年 11月 12 日.将这些数字排成一个整数,并且分解成191011121163 16424,请问这两个数 1163 和16424中有质数吗?并说明理由.三、解答下列各题三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13 图 Q-10 中，六边形 ABCDEF 的面积是 2010 平方厘米.已知ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，FAB 的面积都等于 335 平方厘米，6 个阴影三角形面积之和为 670 平方厘米.求六边形111111ABC D E F的面积.14 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数.第十

22、五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 A 解答（小学组）解答（小学组）一、填空题一、填空题 1.要在10个盒子中放乒乓球,球的个数彼此不同,不能少于11,不能是13,也不能是 5 的倍数,那么至少需要 个乒乓球.【答案答案】173.【解答解答】至少需要17323222119181716141211(个).2.有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒,一个礼品配一个包装盒,共有 种不同价格.【答案答案】19.【解答】【解答】任意的搭配共有 25 种,其中有价格重复的情

23、况.由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和 2的等差数列,故当礼品和包装盒的价格分别差 6 时,会出现价格重复的情况,共有 3 2=6 种,所以不同价格的礼品共有19625种.3.汽车 A 从甲站出发开往乙站,同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行开往甲站,途中 A 与 B 相遇 20 分钟后再与 C 相遇.已知 A、B、C 的速度分别是每小时 90km,80km,60km,那么甲乙两站的路程是 km.【答案】【答案】425.【解答】【解答】设 A 与 B 出发 t 小时后相遇,两地距离为 s,则 st)8090(,st)31)(9060(.解之得 4255.2170s.4.将21,31

24、,41,51,61,71和这 6 个分数的平均值从小到大排列,则这个平图 A-10 均数排在第 位.【答案】【答案】5.【解答】【解答】先从小到大排列这 6 个分数:213141516171,因为前三个分数之和比后三个分数之和小,因此这 6 个分数的平均值不可能排在它们的中间.因为 416716151413121417151=020171,且 7161514131213160715143 所以这 6 个分数的平均值大于14,小于13.即这 6 个分数的平均值排在第 5 位.5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作,经连续若干次操作后可以变为6的数称为“好数”,那么不超过2012的“

25、好数”的个数为_,这些“好数”的最大公约数是 _.【答案】【答案】223,3.【解答】【解答】易知,从 1 开始,连续递增的自然数,经过上述操作最后得到的一位数是从 1 到 9 循环地变化的.因此,最后变为 6 的数一共有20122239个.因为经过若干次操作后得到的数是 6,故这些数都是 3 的倍数.又因为 6 和15 都是这种数,而（6,15）=3,所以这些数的最大公约数是 3.6.图 A-10 所示的立体图形由 9 个棱长为 1 的立方块搭成,这个立体图形的表面积为 .【答案】【答案】32.【解答】【解答】从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面积分别图 A-11 为 5,5

26、,5,5,6,6,总和为 32.7.数字卡片“3”、“4”、“5”各 10 张，任意选出 8 张使它们的数字和是 33，则最多有 张是卡片“3”.【答案】【答案】3.【解答】【解答】假设摸出的 8 张卡片全是数字“3”，则其和为 3824，与实际的和 33 相差 9，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故.用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加 2 和 1.为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”或卡片“4”换卡片“3”，现在1249，因此可用 4 张卡片“5”和 1 张卡片“4”换卡片“3”，这样 8 张卡片的数字之和正好等于 33.所以最多可能

27、有 3 张是卡片“3”.8.若将算式201020091200820071871651431211的值化为小数,则小数点后第 1 个数字是 .【答案】【答案】4.【解答】【解答】因为)201020091200820071()651431(211)651431(2120945.0,且 201020091)200820071200620051()871651()431211(1254312141.0,所以小数点后的第 1 个数字是 4.二、解答下列各题二、解答下列各题 9.图 A-11 中有 5 个由 4 个 11 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这5个硬纸板拼成图A-11中 4 5 的长方

28、形吗？如果能,请画出一种拼法；如果不能,请简述理由.【答案】【答案】不能.【解答】【解答】假设能拼成 4 5 的长方形,如图 A-12 小方格黑白相间染色.其中黑格、白格各 10 个.将五块纸板编号,如图A-13所示,除纸板之外,其余4张硬纸板每一张都盖住 2 个黑格,而盖住 3 个黑格或一个黑格.这样一来,由 4 个 1 1 的小正方格组成的不同形状的 5 个硬纸板,只能盖住 9 或 11 个黑格,与 10 个黑格不符.10.长度为 L 的一条木棍,分别用红、蓝、黑线将它等分为 8,12 和 18 段,在各划分线处将木棍锯开,问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【答案】【答案】2

29、8,72L.【解答】【解答】（1）易知 红线与蓝线重合的条数是 31)12,8(；红线与黑线重合的条数是 1121)18,8(；蓝线与黑线重合的条数是 51)18,12(；红线、蓝线、黑线都重合的条数是 1121)18,12,8(.由红线 7 条,蓝线 11 条,黑线 17 条确定的位置的个数是 271)513(17117.图 A-13 图 A-12 因此,依不同位置的线条锯开一共得到 28127（段）.（2）最小公倍数 723629,3,4218,12,8.因此,将木棍等分成72段时,至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间,并且再短（段数更多）时就做不到了.所以锯得的木棍最短的一段的长度

30、是72L.11.足球队 A，B，C，D，E 进行单循环赛（每两队赛一场）,每场比赛胜队得 3 分,负队得 0 分,平局两队各得 1 分.若 A，B，C，D 总分分别是 1,4,7,8,请问：E 队至多得几分？最少得几分？【答案】【答案】7,5.【解答】【解答】设 A，B，C，D，E 五队的总分分别是a,b,c,d,e,五队的总分为S,则eedcbaS20.五队单循环共比赛 10 场,则30S.如果有一场踢平,则总分S减少 1 分.因为 00011a,001311114b,01337c,11338d,所以比赛至少有 3 场平局,至多有 5 场平局.于是730530S,即272025e.故75 e

31、.事实上,E 胜 A,B,负于 C,与 D 踢平时,7e；E 胜 A,负于 C,但与 B、D踢平时,5e.图 A-14 所以 E 队至少得 5 分,至多得 7 分.12.华罗庚爷爷出生于 1910 年 11月 12 日.将这些数字排成一个整数,并且分解成191011121163 16424,请问这两个数 1163 和16424中有质数吗?并说明理由.【答案】【答案】1163 是质数.【解答】【解答】1163 是质数,理由如下:（1）显然 16424 是大于 2 的偶数,是合数.（2）如果 1163 是合数,但不是完全平方数,则至少有 2 个不同的质因数,因为31113311163,所以,如果

32、1163 有 3 个以上不同的质因数,必有一个小于11.但是显然 2,3,5,7 都不能整除 1163,11 也不能整除 1163,因此 1163 仅有 2个不同的大于 11 的质因数.大于 11 的质数有:13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,既然237116337311147,1163 的两个不同的质因数一定有一个小于 37,另一个大于 31.计算 10113131211639239113；79171343116310035917；6719127311638934719；612314031163943

33、4123；47291363116310733729.所以 1163 是质数.三、解答下列各题三、解答下列各题 13.图A-14中，六边形ABCDEF 的面积是2010平方厘米.已知ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,FAB 的面积都等于图 A-15 335 平方厘米,6 个阴影三角形面积之和为 670 平方厘米.则六边形111111ABC D E F的面积是 平方厘米.【答案】【答案】670.【解答】【解答】如图 A-15,已知ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,FAB 的面积都等于 335 平方厘米,它们面积之和为335 62010 平方厘米=六边形ABCDEF 的面积.因此,未被盖

34、住的六边形111111ABC D E F的面积=重叠部分的面积=(1)(3)(5)(7)(9)(11)SSSSSS.另一方面,在ABC 中,(1)(3)(2)335SSS,在BCD 中,(3)(5)(4)335SSS 在CDE 中,(5)(7)(6)335SSS 在DEF 中,(7)(9)(8)335SSS 在EFA 中,(9)(11)(10)335SSS 在FAB 中,(11)(1)(12)335SSS 上述 6 个式子相加,得(1)(3)(5)(7)(9)(11)(2)(4)(6)(8)(10)(12)2335 5SSSSSSSSSSSS 即(1)(3)(5)(7)(9)(11)2335

35、66701340.SSSSSS 所以 (1)(3)(5)(7)(9)(11)1340670.2SSSSSS 因此,六边形111111ABC D E F的面积 =(1)(3)(5)(7)(9)(11)SSSSSS=670(平方厘米).14.已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除,求出“虎威”代表的两位数.【答案】【答案】11,12,15,24,36.【解答】【解答】两位自然数共有 90 个,一个一个地去试算检验它是不是满足条件,工作量太大,显然需要开动脑筋,缩小试算范围.设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a,b.因为10abab,10ab能被ab整除意味着10ab能被 a 整除且10a

36、b能被 b 整除.如果10ab能被 a 整除,说明 b 能被 a 整除；如果10ab能被 b 整除,说明 10a 能被 b 整除.这就是说,数字 a,b 同时要满足两个条件：（1）a 整除 b,（2）b 整除 10a.对满足这两个条件的 a,b,进行试算,可以缩小试算的范围.若 a1,则 10 能被 b 整除,b 的可能值为 1,2,5,这时ab11,12,15,它们符合条件；若 a2,则 b 是偶数,且 20 能被 b 整除,b 的可能值是 2,4.经检验后知只有ab24 满足条件；若 a3,则 b 是 3 的倍数,且 30 能被 b 整除,b 的可能值是 3,6.经检验后知只有ab36 合

37、于要求；若 a4,则 b 是 4 的倍数,且 40 能被 b 整除,b 的可能值是 4,8.经检验后它们都不合题意.若 a5,6,7,8,9,经过同样的检验后知,没有符合题意的值.综上所述知：“虎威”代表的两位数 11,12,15,24,36.图 Q-11 图 Q-12 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 B（小学组）（小学组）一、填空题一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1在 10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于 11，不能是 17，也不能是 6 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.2有五种价格分别为 2 元、5

38、 元、8 元、11 元、14 元的礼品，以及五种价格分别为 3 元、6 元、9 元、12 元、15 元的包装盒.一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格.3.汽车 A 从甲站出发开往乙站,同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行开往甲站,途中 A 与 B 相遇 20 分钟后再与 C 相遇.已知 A、B、C 的速度分别是每小时 90km,80km,60km,那么甲乙两站的路程是 km.4.将21,31,41,51,61,71和这 6 个分数的平均值从大到小排列,则这个平均值排在第 位.5.若两位数的平方只有十位上的数字是 0，则这样的两位数共有 个.6.图 Q-11 所示的立体图形由 10

39、个棱长为 1 的立方块搭成,这个立体图形的表面积为 .7.数字卡片“3”、“4”、“5”各 10 张，从中任意选出 8 张，它们的数字和是 31，则最多有 张是卡片“3”.8.能同时表示成连续 9 个、10 个和 11 个非零自然数的和的最小自然数是 .二、解答下列各题二、解答下列各题(每题 10 分，共 40 分,要求写出简要过程)9.图 Q-12 中有5 个由 4 个 11 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这 5 个硬纸板拼成图 Q-12 中图 Q-13 45 的长方形吗？如果能,请画出一种拼法；如果不能,请简述理由.10.图 Q-13 中，ABCD 是一个梯形，且CDAB/，三角

40、形 ABO 和三角形 OCD 的面积分别是 16 和 4，求DCAB.11.长度为 L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为 8，12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？12.华罗庚爷爷出生于 1910 年 11月 12 日.将这些数字排成一个整数,并且分解成191011121163 16424,请问这两个数 1163 和16424中有质数吗?并说明理由.三、解答下列各题三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13.一批货物重 13.5 吨，每包货物重量不超过 350 千克，请问：能否用 11辆载重为 1.5

41、吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明.14.已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 B 解答（小学组）解答（小学组）一、填空题一、填空题 1在 10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于 11，不能是 17，也不能是 6 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.【答案】【答案】174.【解答】【解答】至少需要17423222120191615141311(个).2有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品，以及五种价格分别为 3 元

42、、6 元、9 元、12 元、15 元的包装盒.一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格.【答案】【答案】9.【解答】【解答】任意的搭配共有 25 种，其中有价格重复的情况.由于礼品和包装盒的价格都是公差为 3 的等差数列，故当礼品和包装盒可以组成一个 5 元，8 元，11 元，14 元，17 元，20 元，23 元，26 元，29 元，共有9 种不同的价格.3.汽车 A 从甲站出发开往乙站,同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行开往甲站,途中 A 与 B 相遇 20 分钟后再与 C 相遇.已知 A、B、C 的速度分别是每小时 90km,80km,60km,那么甲乙两站的路程是 km.【答

43、案】【答案】425.【解答】【解答】设 A 与 B 出发 t 小时后相遇,两地距离为 s,则 st)8090(,st)31)(9060(.解之得 4255.2170s.4.将21,31,41,51,61,71和这 6 个分数的平均值从大到小排列,则这个平均值排在第 位.【答案】【答案】3.【解答】【解答】先从小到大排列这 6 个分数:213141516171,因为前三个分数之和比后三个分数之和小，因此这 6 个分数的平均值不可能排在它们的中间.因为 416716151413121417151=020171,且 7161514131213160715143.所以这 6 个分数的平均值大于14，小

44、于13.即这六个分数的平均值排在第 3 位.5.若两位数的平方只有十位上的数字是 0，则这样的两位数共有 个.【答案】【答案】9.【解答】【解答】设符合条件的两位数是ab.两位数ab的平方的十位上的数字等于 2ab 个位上的数与2b的十位上的数字之和的个位数字，为 0.因为ab的平方只有十位上的数字为 0，所以0b.当 b 取 19 时,2b的十位上的数字分别为 0、0、0、1、2、3、4、6、8.ab2个位上的数字如下：当 a 为 1 时，分别为 2、4、6、8、0、2、4、6、8；当 a 为 2 时，分别为 4、8、2、6、0、4、8、2、6；当 a 为 3 时，分别为 3、6、9、2、5

45、、8、1、4、7；当 a 为 4 时，分别为 8、6、4、2、0、8、6、4、2；图 A-16 当 a 为 5 时，分别为 0、0、0、1、2、3、4、6、8；当 a 为 6 或 7 时，分别与 1 或 2 时相同；当 a 为 8 时，分别为 6、2、8、4、0、6、2、8、4；当 a 为 9 时，分别为 8、6、4、2、0、8、6、4、2.所以这样的两位数有 47，48，49，51，52，53，97，98，99，共 9 个.6.图 A-16 所示的立体图形由 10 个棱长为 1 的立方块搭成,这个立体图形的表面积为 .【答案】【答案】34.【解答】【解答】从上、下、前、后、左、右看这个立体图

46、形的表面的面积分别为 6,6,5,5,6,6,总和为 34.7.数字卡片“3”、“4”、“5”各 10 张，从中任意选出 8 张，它们的数字和是31，则最多有 张是卡片“3”.【答案】【答案】4.【解答】【解答】假设摸出的 8 张卡片全是数字“3”，则其和为 3824，与实际的和 31 相差 8，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故.用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加 2 和 1.为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在 8 24，因此可用 4 张卡片“5”换卡片“3”，这样 8 张卡片的数字之和正好等于 32.所以最多可能

47、有 4 张是卡片“3”.8.能同时表示成连续 9 个、10 个和 11 个非零自然数的和的最小自然数是 .【答案】【答案】495.【解答】【解答】设所求的正整数为A，则由题意得：A=459)9()3()2()1(ppppp，图 A-17 A=5510)10()3()2()1(mmmmm，A=6611)9()3()2()1(nnnnn，其中p,m,n均为整数.由、可得：5510459mp，所以)1(109mp.由、可得：66115510nm，所以)1(1110nm.因为 10 与 11 互质，所以由可知，m是 11 的倍数，由可知，1m是 9的倍数，所以m是 11 的倍数，且被 9 除的余数为

48、8，于是m的最小值为 44，A的最小值为495554410.二、解答下列各题二、解答下列各题 9.图A-17中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这 5 个硬纸板拼成图 A-17中 45 的长方形吗？如果能,请画出一种拼法；如果不能,请简述理由.【答案】【答案】不能.【解答】【解答】假设能拼成 4 5 的长方形,如图 A-18 小方格黑白相间染色.其中黑格、白格各 10 个.将五块纸板编号,如图A-19所示,除纸板之外,其余4张硬纸板每一张都盖住 2 个黑格,而盖住 3 个黑格或一个黑格.这样一来,由 4 个 1 1 的小正方 图 A-19 图 A-18 格组成的不同形状的

49、 5 个硬纸板,只能盖住 9 或 11 个黑格,与 10 个黑格不符.10.图 A-20 中，ABCD 是一个梯形，且CDAB/，三角形 ABO 和三角形 OCD的面积分别是 16 和 4，求DCAB.【答案】【答案】12.【解答】【解答】由三角形面积公式，BCOOCDABOAODSSOCSSAO.又有AODBCOSS，故 416BCOBCOSS.所以 8BCOBCOSS.设梯形高为 h,因为,22ABCDAChABh CDSS，所以 DACABCSCDSAB.又因为 24,12ABCABOBCODACOCDAODSSSSSS,所以 12DCAB.图 A-20 11.长度为 L 的一条木棍，分

50、别用红、蓝、黑线将它等分为 8，12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【答案】【答案】28，72L.【解答】【解答】（1）易知,红线与蓝线重合的条数是 31)12,8(；红线与黑线重合的条数是 1121)18,8(；蓝线与黑线重合的条数是 51)18,12(；红线、蓝线、黑线都重合的条数是 1121)18,12,8(.由红线 7 条，蓝线 11 条，黑线 17 条确定的位置的个数是 271)513(17117.因此，依不同位置的线条锯开一共得到 28127（段）.（2）最小公倍数 723629,3,4218,12,8.因此，将木棍等分成 7