第四届华罗庚数学竞赛初赛复赛决赛试卷和答案.pdf

1、 620 第四届“华杯赛”初赛试题 第四届“华杯赛”初赛试题 1.请将下面算式结果写成带分数：2.一块木板上有 13 枚钉子（右图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（下图）。请回答：可以构成多少个正方形？3.这里有一个圆柱和一个圆锥（下图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。请回答：圆锥体积与面积的比是多少？4.这里有 5 个分数：32，85，2315，1710，1912，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？5.现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干档不同的车速。“希望牌”

2、变速自行车主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12。问：“这种变速车一共有几档不同的车速？6.下图中的大正方形 ABCD 的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。请问：阴影三角形的面积是多少？621 7.在右边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍。问：被加数至少是多少？8.筐中有 60 个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？9.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，其中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分。小明共套了 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套 10 次

3、共得了 61 分。问：小鸡至少被套中多少次？10.车库中停放若干辆双摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是 25。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？11.有一个时钟，它每小时慢 25 秒，今年 3 月 21 日中午十二点它的指示正确。请问：这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？12.某人由甲地去乙地。如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车 9 小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行 21 小时，再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？13.下图的二个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米。

4、二只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿二个圆爬行。问：当小圆上的甲虫爬了几圈时，二只甲出相距最远？14.某种少年读物，如果按原定价格销售，每售一本，获利 0.24 元；现在降价销售，结果售书量增加一倍，获利增加 0.5 倍。问：每本书售价降价多少元？622 15.有一座四层楼房，每个窗户的 4 块玻璃分别涂上红色和白色，每个窗户代表一个数字。每层楼有三个窗户，由左向右表示一个三位数。四个楼层表示的三位数有：791，275，362，612。问：第二层楼表示哪个三位数？第四届“华杯赛”初赛答案第四届“华杯赛”初赛答案 1.1196058 2.11 个 3.241 4.1912

5、 5.8 档 6.323 7.18 8.8 种 9.5 次 10.31 11.1993 年 6 月 1 日中午 12 点 12.15 小时 13.4 圈 14.降低 0.06 元 15.612 623 第四届“华杯赛”复赛试题 第四届“华杯赛”复赛试题 1.化简 2.电视台要播放一部 30 集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？3.一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（圆周率=3.14）。4.有一筐苹果，把它们三等分后还剩 2 个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩 2 个；然后再取出其中两份，又将这两

6、份三等分后还剩2 个，问：这筐苹果至少有几个？5.计算 6.长方形 ABCD 周长为 16 米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是 68 平方米，求长方形 ABCD 的面积 7.“华罗庚”金杯少年数学邀请赛，第一届在 1986 年举行，第二届在1988 年举行，第三届是在 1991 年举行，以后每 2 年举行一届。第一届“华杯赛”所在年份的各位数字和是 A1198624。前二届所在年份的各位数字和是 A2=1 9 8 6 1 9 8 8=50 624 问：前 50 届“华杯赛”所在年份的各位数字和 A50？8.将自然数按如下顺次排列：1 2 6 7 15 1

7、6 3 5 8 14 17 4 9 13 10 12 11 在这样的排列下，数字 3 排在第二行第一列，13 排在第三行第三列，问：1993 排在第几行第几列？9.在下图中所示的小圆圈内，试分别填入 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小数字）恰好是 1、2、3、4、5、6、7 这七个数字。10.11 22 33 44 55 66 77 88 99除以 3 的余数是几？为什么？11.A、B、C、D、E、F 六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天 B 对 D，第二天

8、 C 对 E，第三天 D 对 F，第四天 B 对 C，问：第五天 A 与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？12.有一批长度分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取 3 根本条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是 11 厘米长，你能围成多少个不同的三角形？13.把下图 a 中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。625 14.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿 相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度

9、是甲速度的32，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了31，乙跑第二圈时速度提高了51。已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 190 米，问：这条椭圆形跑道长多少米？15.下图 a 中的正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AD 边上的中点。求图中阴影部分的面积。16.四个人聚会，每人各带了 2 件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。第四届“华杯赛”复赛答案 第四届“华杯赛”复赛答案 1.1 2.7 天 3.8 立方厘米 4.23 个 5.5281 6.15 平方厘米 7.629 8.第 24 行，第 40 列 9.在 A、B、C、D、E、F、H 处，顺次

10、在小圆圈内填入 1、3、8、2、7、4、5、6 10.余数是 1 11.第五天 A 与 B 对阵，另 2 张球台上的对阵是 C 对 D，E 对 F 12.36 个 13.没有可能 14.400 米 15.31 16.送礼后，四人八件礼品平均每人两件。若有一人多于两件，则一定是三件，是除自己之外其他 三人的礼物各一件。因此，这个人与得到自己礼物的两个人组成连个互送对。若四人每人都得到别人的两件礼物，他自己的两件礼品不能集中只送一人，因此他与接受他礼品中一人为一互送对，除了这一互送对之外还有两人，其中任选一人，与前面推理一样，可得到另一互送对。626 第四届“华杯赛”决赛第一试试题 第四届“华杯赛

11、”决赛第一试试题 1.在 100 以内与 77 互质的所有奇数之和是多少？2.图 1，图 2 是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图 3 所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多 6cm，问：图 1，图 2 中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？3.这是一个道路图，A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从 A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60 个孩子到路口 B，问：先后共有多少个孩子到路口 C？4.ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表 1 至 9 的不同的数字。已知ABCD

12、+EFG=1993，问：乘积ABCDEFG最大值和最小值差多少？5.一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25，除 1 之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。6.一条大河有 A、B 两个港口，水由 A 流向 B，水流速度是 4 公里/小时。甲、乙两船同时由 A 向 B 行驶，各自不停地在 A、B 之间往返航行，甲在静水中的速度是 28 公里/小时，乙在静水中速度是 20 公里/小时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算

13、开始时甲、乙在 A 处的那一次）的地点相距 40 公里，求 A、B 两港口的距离。第四届“华杯赛”决赛第一试答案 第四届“华杯赛”决赛第一试答案 1.和为 1959 2.图 1 中画斜线区域的周长比图 2 中画斜线区域的周长大 12cm 3.48 人 4.差是 525000 5.最大值 325，最小 61。6.240 千米。627 第四届“华杯赛”决赛第二试试题 第四届“华杯赛”决赛第二试试题 1.互为反序的两个自然数的积是 92565，求这两个互为反序的自然数。2.某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9 小时可完成这项生产任务。如果交换工人 A 和 B 的工作岗

14、位，其它工人生产效率不变时，可提前一小时完成这项生产任务；如果交换工人 C 和 D 的工作岗位，其它工人生产效率不变时，也可以提前一小时完成这项生产任务。问：如果同时交换 A 与 B，C 与 D 的工作岗位，其它工人生产效率不变，可以提前几分割完成这项生产任务？3.某校学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过，问：能不能找到两个学生甲、乙和三本书 A、B、C，甲读过 A、B，没读过 C，乙读过 B、C，没读过A？说明判断过程。4.有 6 个棱长分别是 3cm，4cm，5cm，的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有一个面是红色

15、的，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有三个面是红色的，有的长方体恰有四个面是红色的，有的长方体恰有五个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色的，染色后把所有的长方体分割成棱长为 1cm 的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有几个？5.小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次得分是 8，a（自然数），0 这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到过这样的总积分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83 分”这个总积分。问：a 是多少？6.在正方体的 8 个顶点处分别标上 1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种 628 不同数值？如果可能，对照图 a 在图 b 的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由。第四届“华杯赛”决赛第二试答案 第四届“华杯赛”决赛第二试答案 1.165 和 651 2.可提前 108 分钟 3.可以 4.177 个 5.13 6.只有当 c=8，x1 时，以上六条棱中点处的数才能恰有五个不同的数值，否则就多于五种不同数值。