第十六届华罗庚数学竞赛初赛决赛试卷和答案.pdf

1、第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组）第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组）（时间:2011 年 3 月 19 日 10:00 11:00 ）一、选择题(每小题 10 分一、选择题(每小题 10 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（）.（A）100（B）101（C）102（D）1032.用火柴棍摆放数字 09 的方式

2、如下：现在，去掉“”的左下侧一根，就成了数字“”，我们称“”对应 1；去掉“”的上下两根和左下角一根，就成了数字“”，我们称“”对应 3.规定“”本身对应 0，按照这样的规则，可以对应出（）个不同的数字.（A）10（B）8（C）6（D）53.两数之和与两数之商都为 6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（）.（A）7426（B）715 （C）76 （D）4964.老师问学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人.”李：“一个人.”王：“二个人.”赵：“三个人.”刘：“四个人.”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话.那么，昨天

3、这 5 个人中复习数学的有（）个人.（A）0（B）1（C）2（D）3装装 订订 线线 总分总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)5.如右图所示，在7 7方格的格点上，有 7 只机器小蚂蚁,它们以相同的速度沿格线爬行到格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会.所用时间总和最小的格点是（）.（A）M （B）N （C）P （D）Q 6.用若干台计算机同时录入一部书稿，计划若干小时完成.如果增加 3 台计算机，则只需原定时间的 75%；如果减少 3 台计算机，则比原定时间多用65小时.那么原定完成录入这部书稿的时间是（）小时.（A）35 （B）310 （C）6

4、5 （D）611二、填空题(每小题 10 分，满分 40 分.)二、填空题(每小题 10 分，满分 40 分.)7.右图由 4 个正六边形组成，每个面积是 6，以这 4 个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为 4 的等边三角形有 个.8.甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇后，甲掉头返回 A 地，乙继续前行.甲到达 A 地后掉头往 B 行驶，半小时后和乙相遇.那么乙从 A 到 B 共需 小时.9.如右图所示，梯形ABCD的面积为 117 平方厘米.ADBC，13EF 厘米，4MN 厘米，又已知EFMN于.O那 么 阴 影 部 分 的 总 面 积 为平方厘米.10.在右

5、面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数华杯初赛的最大值是 .第十六届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题（初赛试题（小学组小学组）答案）答案 一、选择题一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 答案答案 C C D B B A 二、填空题二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分.）题号题号 7 8 9 10 答案答案 8 7.2 65 1769 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(深圳赛区小学组)第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（深圳赛

6、区小学组）决赛试题（深圳赛区小学组）（时间:2011 年 4 月 16 日）一、填空（一、填空（每题 10 分,共 80 分）111122181819.2320320192020 2.甲车从 A 出发驶向 B,往返来回；乙车从 B 同时出发驶向 A,往返来回.两车第一次相遇后，甲车继续行驶 4 小时到达 B，乙车继续行驶 1 小时到达 A.若 A,B 两地相距 100 千米，那么当甲车第一次到达 B 时,乙车的位置距离 A 千米。3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下 15 个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。现要印刷一本新书，从库房领出

7、页码铅字共 2011 个，排版完成后有剩余.那么，这本书最多有 页.最少剩余 个铅字.4.一列数:8,3,1,4,.,从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数.那么第 2011 个数是 .总分总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(深圳赛区小学组)5.编号从 1 到50 的 50 个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂2个球；）被涂色的个球的编号之差大于 2.如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同的涂色方法有 种.6.A，B 两地相距 100 千米。甲车从 A 到 B 要走 m 个小时，乙车从 A到

8、 B 要走 n 个小时，m,n 是整数.现在甲车从 A,乙车从 B 同时出发，相向而行，经过 5 小时在途中 C 点相遇。若甲车已经走过路程的一半，那么 C 到 A 路程是 千米。7.7.自然数b与 175 的最大公约数记为d.如果 176(111)51bdd，则b=.8.如右图.ABCD 为平行四边形.AE=2EB.若三角形 CEF 的面积=1.那么，平行四边形 ABCD 的面积=.二、解答下列各题（二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数”.共有多少个好数？第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(深圳赛

9、区小学组)10在下列 2n 个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是 2 或12?2345213,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2.n11.一个四位数abcd和它的反序数dcba都是 65 的倍数.求这个数.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(深圳赛区小学组)12.用写有+1 和-1 的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各题（每题三、解答下列各题（每题 15 分分,共共 30 分分,要求写出详细过程）要求写出详细过程）13.十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12 个.你

10、可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有 白球？”并得到真实的回答.那么你最少要问多少次，就能找出一 个或更多的白球？第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(深圳赛区小学组)14.求与 2001 互质，且小于 2001 的所有自然数的和。“华杯赛”官方网站 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A(小学组)-1-第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 A（小学组）（小学组）（时间:2011 年 4 月 16 日 10:0011:30）一、填空题（每小题一、填空题（每小题 10 分分,共共 80 分）分）1.135713572468.2.

11、工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的31,接着增加了 4 个人完成其余的工程,那么完成这项工程共用了天.3.甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地,甲的车速是乙的车速的1.2倍.乙骑了 5 千米后,自行车出现故障,耽误的时间可以骑全程的61.排除故障后,乙的速度提高了 60%,结果甲乙同时到达 B 地.那么 A,B 两地之间的距离为千米.4.在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟,在圆形钟面的边界,每分钟的刻度处都有一个小彩灯.晚上 9 时 35 分 20 秒时,在分针与时针所夹的锐角内有个小彩灯.5.在边长为1厘米的正方形ABCD中,分别以A,B,C,D为圆心,1厘米为半径画四分之一圆,

12、交点E,F,G,H,如图所示.则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率3.141）6.用 40 元钱购买单价分别为 2 元、5 元和 11 元的三种练习本,每种至少买一本,而且钱恰好花完.则不同的购买方法有 种.7.已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标示的尺寸（单位:厘米）,这个几何体的体积是 （立方厘米）.学校_ 姓名_ 参赛证号密封线内请勿答题 总分总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A(小学组)-2-8.将自然数 122 分别填在下面的“”内(每个“”只能填一个数),在形成的 11 个分数中,分数值为整数的最多能有 个.二、解答下列各题（每题二、解答下列各题（每题 10

13、分分,共共 40 分分,要求写出简要过程）要求写出简要过程）9.长方形 ABCD 的面积是 2011 平方厘米.梯形AFGE 的顶点 F 在 BC 上,D 是腰 EG 的中点.试求梯形 AFGE 的面积.10.公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数,其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示,如右图所示.某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮,显示的线路号为“351”,则该公交车的线路号有哪些可能?11.设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数,则这个月的 20 日可能是星期几?12.以 x表示不超过 x 的最大整数,设自然数 n 满足201115151153152151 nn,则 n

14、的最小值是多少?三、解答下列各题（每小题三、解答下列各题（每小题 15 分，共分，共 30 分，要求写出详细过程）分，要求写出详细过程）13.在右面的加法竖式中,不同的汉字代表不同的数字.问:满足要求的不同算式共有多少种?14.如图,两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点 A,而一只爬虫处在 A 的体对顶点G.假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动,任何时候它们都知道彼此的位置,蜘蛛能预判爬虫的爬行方向.试给出一个两第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A(小学组)只蜘蛛必定捉住爬虫的方案.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学组）第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六

15、届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 A参考答案（小学组）参考答案（小学组）一、填空题填空题(每小题 10 分，共 80 分)题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 2318.24 70 45 12 2.094 5 8000310 二、解答下列各题二、解答下列各题(每题 10 分，共 40 分,要求写出简要过程)9.答案答案:2011 平方厘米.解答解答.连接FD的直线与AE 的延长线相交于H.则DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o与DHE 重合,DF=DH,ADHAFDSS.梯形 AEGF 的面积=AFH 的面积=2AFD 的面积=长方形 ABCD 的面积=2011（平

16、方厘米）.10.答案答案：13 种可能.解答解答.分几种情形考虑.第一种情形:线路号的数字中没有荧光管坏了.只有 351 一个可能线路号.第二种情形:线路号的数字中有 1 支荧光管坏了.坏在第一位数字上,可能的数字为 9,线路号可能是 951;坏在第二位数字上,可能的数字为 6,9,线路号可能是 361,391;坏在第三位数字上,可能的数字为 7,线路号可能是 357.第三种情形:线路号的数字中有 2 支荧光管坏了.都坏在第一位数字上,可能的数字为 8,线路号可能是 851;都坏在第二位数字上,可能的数字为 8,线路号可能是 381;第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学

17、组）都坏在第三位数字上,可能的数字为 4,线路号可能是 354;坏在第一、二位数字上,第一位数字可能的数字为 9，第二位数字可能的数字为 6，9,线路号可能是 961，991;坏在第一、三位数字上,第一位数字可能的数字为 9，第三位数字可能的数字为 7,线路号可能是 957;坏在第二、三位数字上,第二位数字可能的数字为 6，9,第三位数字可能的数字为 7，线路号可能是 367,397.所以可能的线路号有 13 个:351,354,357,361,367,381,391,397,851,951,957,961,991.11.答案答案:3,5.解答解答.设这个月的第一个星期日是 a 日（71 a）

18、,则这个月内星期日的日期是ak 7,k 是自然数,317ak.要求有三个奇数.当 a=1 时,要使 7k+1 是奇数,k 为偶数,即k 可取 0,2,4 三个值,此时,177kak 分别为 1,15,29,这时 20 号是星期五.当a=2时,要使7k+2是奇数,k 为奇数,即k 可取1,3两个值,7k+2不可能有三个奇数.当 a=3 时,要使 7k+3 是奇数,k 为偶数,即 k 可取 0,2,4 三个值,此时 377kak 分别为 3,17,31,这时 20 号是星期三.当74 a时,ak 7不可能有三个奇数.12.答案答案:253.解解：令km15,k 是自然数,首先考虑满足下式的最大的

19、m,第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学组）.201115151153152151mm 于是.2011213152)1(1515)1(152151150151511531521512kkkkkkkmm因此.402213152kk 又 40224114171317152,40223632161316152,得知 k 最大可以取 16.当16k时,m=240.注意到这时 312161952363220112131520112kk.注意到 20112024131618161513151615121516152151615115161515161511516152151而 20

20、1120081216181615121516153152151.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学组）所以 253 是满足题目要求的 n 的最小值.三、解答下列各题三、解答下列各题(每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.答案答案:312解答解答.由于 2+0+1+1=4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9=40,440(mod 9),所以,九个不同的汉字代表的数字：0,1,2,3,4,6,7,8,9.易知：40-4=36,36 9=4（次）,说明此算式共发生四次进位.“4=2+2=1+1+2=1+2+1”显然：华=1,“4=2+2”无解 华=1,

21、“4=1+1+2”有解A:28+937+1046=2011,可组成算式 36 种（6 6 1=36）B：69+738+1204=2011,可组成算式 48 种（6 4 2=48）C：79+628+1304=2011,可组成算式 48 种（6 4 2=48）华=1,“4=1+2+1”有解 A：46+872+1093=2011,可组成算式 36 种（6 6 1=36）B：98+673+1240=2011,可组成算式 72 种（6 6 2=72）C：97+684+1230=2011,可组成算式 72 种（6 6 2=72）总计：72 3+96=216+96=312（种）.14.解答解答.如左下图,设

22、 M,N,P 分别为棱 GC,GF,GH 的中点,M,N,P分别为棱 AE,AD,AB 的中点,O 为正方体的中心(长方形 BDHF 的中心).第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学组）(1)第一只蜘蛛甲可以把爬虫控制在右上图所示的范围内.首先蜘蛛甲做与爬虫关于点O的对称方向的移动,不妨设爬虫由G 沿棱GC向点M移动,蜘蛛甲由A 沿棱AE 向点M移动,爬虫被限制在GM上.当爬虫到达点 M 时,蜘蛛甲也同时到达点M.然后蜘蛛甲改变策略,做与爬虫关于平面BDHF 对称的方向移动.a)当爬虫到达点 B,D,F,H 时,蜘蛛甲捉住爬虫.b)当爬虫未到达点 B,D,F,H 时,爬虫

23、被控制在左上图所示的范围内.(2)蜘蛛乙先移动到点 G,由于右上图无环路,蜘蛛乙可以跟在爬虫后面,总可以捉住爬虫.“华杯赛”官方网站 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)-1-第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 B（小学组）（小学组）（时间:2011 年 4 月 16 日 10:0011:30）一、填空题（每小题一、填空题（每小题 10 分分,共共 80 分）分）1.1099877655433.2.将120名男生和140名女生分成若干组,要求每组中的男生数相同,女生数也相同,则最多可以分成 组.3.A,B 两地相距 500 千米

24、,甲、乙两人同时骑自行车从 A 地出发去 B 地.甲每天骑 30 千米,乙每天骑 50 千米,但乙骑一天休息一天.第 天的行程结束时,乙距 B 地的路程是甲距 B 地的路程的二倍.4.三个牧人在一起,甲对乙说：“如果把你的羊给我一只,然后把我的羊总数的五分之一给你,我们两个的羊就一样多了.”甲对丙说：“如果把你的羊给我两只,然后把我的羊总数的七分之二给你,我们两个的羊就一样多了.”那么三个人羊的总数最少是 .5.如右图,两条线段将边长 10 厘米的正方形分为两个高度相等的直角梯形 S1,S2和一个直角三角形,其中两个梯形的面积相差 10 平方厘米.那么图中所示的直角三角形的边长 x=厘米.6.

25、用同一种颜色对44方格的 6 个格子进行涂色,如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色,相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右图）.那么共有 种涂色的图案.7.已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标示的尺寸（单位:厘米）,这个几何体的体积是 （立方学校_ 姓名_ 参赛证号密封线内请勿答题 总分总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)厘米）.8.不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)二、解答下列各题二、解答下列各题(每题每题 10 分分,共共 40 分分,要求写出简要过程要求写出

26、简要过程)9.长方形 ABCD 的面积是 416 平方厘米.梯形 AFGE的顶点 F 在 BC 上,D 是腰 EG 的中点.试求梯形AFGE 的面积.10.某年级一、二两个班在植树节进行植树活动,两个班植树的总棵数相同,都在 250300 棵之间.两个班都有一人不植树,为大家送水,一班的其他人每人植树 7 棵,二班的其他人每人植树 13 棵.求这两个班的总人数.11.求所有满足如下条件的四位数 n:(1)n 的第一位和第三位数字相同;(2)n 的第二位和第四位数字相同;(3)n 的各位数字的乘积是 n2的约数.12.100 名运动员的编号是从 1 到 100.若每个运动员在黑板上写下自己编号中

27、的最大奇因子,那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少?三、解答下列各题（每小题三、解答下列各题（每小题 15 分分,共共 30 分分,要求写出详细过程）要求写出详细过程）13.一个长 40、宽 25、高 50 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为 a,其中500 a.现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面,问放入铁块后水深是多少?14.在下面的加法竖式中,不同的汉字可以代表相同的数字,那么满足要求的不同算式共有多少种?第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组)第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案（小学组）第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华

28、罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 B 参考答案（小学组）参考答案（小学组）一、填空题填空题(每小题 10 分，共 80 分)题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 120432720 15 43 4 7 3100017 二、解答下列各题二、解答下列各题(每题 10 分，共 40 分,要求写出简要过程)9.答案答案:416.解答解答.连接FD的直线与AE的延长线相交于H.则DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o与DHE 重合,DF=DH.梯形 AEGF 的面积=AFH 的面积=2AFD 的面积=长方形 ABCD 的面积=416（平方厘米）.10.答案：答案：62.解答解答.设

29、一班有x 人，二班有 y 人.则)1(13)1(7yx,所以，)1(|13x,)1(|7y.于是 113 mx,17 my,其中 m 是自然数.因为 300)1(13)1(7250yx,所以 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案（小学组）30091250m,解得 3m.最终得到 6217113mmyx.11.答案答案:1111,1212,2424,3636,1515.解答解答.设abababn101.依题(3),有222|nba，所以nab|，即abab 101|.由于101 是质数，1)101,(ab，故abab|，即)10(|baab，于是有 ba|且 ab 10|.讨论：

30、I.当ab 时，11|11|2aaa.111111nba II.当ab2时，6|12|22aaai.12122,12nba ii.24244,23nba iii.36366,34nba III.当ab5时，3|15|52aaa.15155,15nba.12.答案答案:3344.解答解答.每一个自然数n都可以表示成gnr2,其中 0r,g 是奇数,是n的最大奇因子.现在将自然数 1100 如下分类.0 类(0r):1,3,5,99,和为250099531.1 类(1r):2,6,10,98,奇因子之和为62549531.2 类(2r):4,12,20,100,奇因子之和为16925531.3 类

31、(3r):8,24,40,88,奇因子之和为3611531.4 类(4r):16,48,80,奇因子之和为9531.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案（小学组）5 类(5r):32,96,奇因子之和为431.6 类(6r):64,奇因子为 1.因此，所有运动员在黑板上写下的数之和是 3344.三、解答下列各题三、解答下列各题(每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.解答解答.由题设知，水箱底面积 S水箱40251000 水箱体积 V水箱=10005050000，铁块底面积 S铁1010100 铁块体积 V铁=1010101000.（1）若放入铁块后，水箱中的水

32、深恰好为 50 时，1000a100050000,得 a49 所以，当 49a50 时，水深为 50（多余的水溢出）（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a100010000,得 a9 所以，当 9a49 时，水深为a4025+1010104025=a+1.（3）由（2）知，当 0a9 时，设水深为 x，则 1000 x1000a100 x得x109a答：当 0a9 时，水深为109a；当 9a49 时，水深为 a+1；当 49a50时，水深为 50.14.答案答案:100.解答解答.等式成立时有 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B参考答案（小学组）1811401

33、6020114916920111793华杯决赛.进而得到,华=1,杯=7 或 8.(1)当杯=8 时,共 72 种情况.11040161800201110月日赛决.决=1 时,赛,月,日中有一个为 1,其它为 0,共 3 种情况.决=0 时,赛+月+日=11,赛=0,月+日=11 有 8 种情形;赛=1,月+日=10 有 9 种情形;赛分别为 2,3,9 时,对应的情形为 10,9,3,计 52 种情形 (2)当杯=7 时,共 28 种情况.111040161700201110月日赛决.不可能有9决的情况,否则需要,赛+月+日要大于30,所以决=9.此时 赛+月+日=21,赛不能小于 3,否则

34、要求,月+日大于 18.赛分别为 3,4,9 时,对应的情形为 1,2,7,计 28 种情形 综合上述讨论,满足要求的不同算式共有 100 种.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C(小学组)第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 C（小学组）（小学组）（时间:2011 年 4 月 16 日 10:0011:30）一、填空题（每小题一、填空题（每小题 10 分分,共共 80 分）分）1.877655433=.2.工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的32,接着增加了 4 个人完成其余的工程,那么完成这项工程共用了天.3.甲乙两人骑自行车

35、同时从 A 地出发去 B 地,甲的车速是乙的车速的 1.2 倍.乙骑了 4 千米后,自行车出现故障,耽误的时间可以骑全程的61.排除故障后,乙的速度提高了 60%,结果甲乙同时到达 B 地.那么 A,B 两地之间的距离为 千米.4.在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟,在圆形钟面的边界,每分钟的刻度处都有一个小彩灯.晚上 9 时 37 分 20 秒时,在分针与时针所夹的锐角内有个小彩灯.5.在边长为 2 厘米的正方形 ABCD 中,分别以 A,B,C,D 为圆心,2 厘米为半径画四分之一圆,交点 E,F,G,H,如图所示.则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率3.141）6.用同一种颜色对44

36、方格的 7 个格子进行涂色,如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色,相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右图）.那么共有 种涂色的图案.学校_ 姓名_ 参赛证号密封线内请勿答题 总分总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C(小学组)7.已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标示的尺寸（单位:厘米）,这个几何体的体积是_（立方厘米）.8.公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数,其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示,如下图所示.某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮,显示的线路号为“351”,则可能的线路号有 个.二、解答下列各题二、解答下列

37、各题(每题(每题 10 分分,共共 40 分分,要求写出简要过程)要求写出简要过程)9.在右面的加法竖式中,不同的汉字可以代表相同的数字,使得算式成立.在所有满足要求的算式中,四位数华杯决赛的最小值是多少?10.长方形 ABCD 的面积是 70 平方厘米.梯形AFGE 的顶点F 在BC 上,D是腰EG 的中点.试求梯形 AFGE 的面积.11.求不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数.12.设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数,则这个月的 21 日可能是星期几?三、解答下列各题（每小题三、解答下列各题（每小题 15 分分,共共 30 分分,要求写出详细过程）要求写出详细过程）13.以

38、 x表示不超过 x 的最大整数,设自然数 n 满足200015151153152151 nn,第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C(小学组)则 n 的最小值是多少?14.一个长 40、宽 25、高 60 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水,深度为 a,其中600 a.现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面,问放入铁块后水深是多少?第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（小学组）第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 C 参考答案（小学组）参考答案（小学组）一、填空题填空题(每小题 10 分，共 80 分)题号题号 1

39、 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 24111740 36 11 4.188 7 9000 5 二、解答下列各题二、解答下列各题(每题 10 分，共 40 分,要求写出简要过程)9.答案答案:1000解答解答.因为华杯决赛是四位数,所以不会小于 1000.当 华杯决赛=1000,十六届=990,兔年=21 时题目要求的等式成立.10.答案答案:70.解答解答.连接FD的直线与AE的延长线相交于H.则DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o与DHE 重合,DF=DH.梯形 AEGF 的面积=AFH 的面积=2AFD 的面积=长方形 ABCD 的面积=70（平方厘米）.11.答案答案:17解答解

40、答.合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，.因为 4+6+9=19,所以 19 能写成 3 个不相等的合数之和.大于 19 的奇数 n 可以表示成 n=19+2k,k 是非零自然数,进而 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（小学组）n=4+9+(6+2k).注意 6+2k 为大于 2 的偶数,是合数,所以不小于 19 的奇数都写成 3 个不相等的合数之和.另外,17 不能写成 3 个不相等的合数之和.12.答案答案:4,6.解答解答.设这个月的第一个星期日是 a 日（71 a）,则这个月内星期日的日期是ak 7,k 是整数

41、,317ak.要求有三个奇数.当 a=1 时,要使 7k+1 是奇数,k 为偶数,即k 可取 0,2,4 三个值,此时,177kak 分别为 1,15,29,这时 21 号是星期六.当a=2时,要使7k+2是奇数,k 为奇数,即k 可取1,3两个值,7k+2不可能有三个奇数.当 a=3 时,要使 7k+3 是奇数,k 为偶数,即k 可取 0,2,4 三个值,此时 377kak 分别为 3,17,31,这时 21 号是星期四.当74 a时,ak 7不可能有三个奇数.三、解答下列各题三、解答下列各题(每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.答案答案:252.解解：令km15,k 是

42、自然数,首先考虑满足下式的最大的 m,.200015151153152151mm 于是 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（小学组）.2000213152)1(1515)1(152151150151511531521512kkkkkkkmm因此.400013152kk 又 40004114171317152,40003632161316152,得知 k 最大可以取 16.当16k时,m=240.注意到这时 811161842363220002131520002kk.注意到 200020081216181615121516151115161521516151151615151

43、61511516152151而 200019921116181615111516153152151.所以 252 是满足题目要求的 n 的最小值.14.解答解答.由题设知水箱底面积 S水箱40251000 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（小学组）水箱体积 V水箱=10006060000，铁块底面积 S铁1010100 铁块体积 V铁=1010101000.（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 60 时，1000a100060000,得 a59 所以，当 59a60 时，水深为 60（多余的水溢出）（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a100010

44、000,得 a9 所以，当 9a59 时，水深为a4025+1010104025=a+1.（3）由（2）知，当 0a9 时，设水深为 x，则 1000 x1000a100 x得x109a答：当 0a9 时，水深为109a；当 9a59 时，水深为 a+1；当 59a60时，水深为 60.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组)第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 D（小学组）（小学组）（时间:2011 年 4 月 16 日 10:0011:30）一、填空题（每小题一、填空题（每小题 10 分分,共共 80 分）分）1.11109987

45、765543=.2.丫丫一家3口,加上丫丫的表弟,今年四人年龄之和为95岁.爸爸比妈妈大4岁,丫丫比表弟大3岁.8年前,他们的年龄之和为65岁.则爸爸今年_岁.3.两个非零自然数的和是 210,它们的最小公倍数是 1547,则它们的乘积是 .4.A,B 两地相距 600 千米,甲、乙两人同时骑自行车从 A 地出发去 B 地.甲每天骑 40 千米,乙每天骑 60 千米,但乙骑一天休息一天.第 天的行程结束时,乙距 B 地的路程是甲距 B 地的路程的二倍.5.如图所示,四边形ABCD与四边形 CPMN都是平行四边形,若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是 22 和 36,则三角形BNE 的面

46、积为_.6.某班植树节植树,分为 3 个组,第一组每人植树 5 棵,第二组每人植树 4 棵,第三组每人植树 3 棵.已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一,植树棵数比第一、三两组棵数之和少 72 棵,则该班级至少有_人.7.11 101 1001 10001 1000001 111的末 8 位数字依次是_.8.在银行 ATM 机取钱时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作,密码是000000 到 999999 中某一个 6 位数码.某人取钱时忘记了密码,只记得密码中学校_ 姓名_ 参赛证号密封线内请勿答题 总分总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组)有 1,3,5,

47、7,9 并且没有别的数字.如果不限制输错密码的次数,某人最多输入_次不同的密码就能进入下一步操作.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组)二、解答下列各题（每题二、解答下列各题（每题 10 分分,共共 40 分分,要求写出简要过程）要求写出简要过程）9.在右面的加法竖式中,不同的汉字可以代表相同的数字,使得算式成立.在所有满足要求的算式中,四位数华杯决赛的最大值是多少?10.如 图 所 示,CEAB/,DEAC/,且5 ACAB,10 DECE.若三角形COD的面积为 10,求四边形ABDE的面积.11.老师为自己班级的 50 名学生做了 50 张分别写着 1 到 50 的数字卡

48、片,每张卡片都是一面红色,另一面蓝色,两面都写着相同的数字.老师把这 50 张卡片都蓝色朝上地摆在桌上,对同学们说:“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片,规则是:只要卡片上的数字是你自己序号的倍数,你就把它们都翻过来,蓝的就翻成红的,红的就翻成蓝的.”那么,当全体学生都按老师的要求翻完以后,红色朝上的卡片有多少张?12.设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体,则该正方体的棱长最大等于多少？三、解答下列各题（每小题三、解答下列各题（每小题 15 分分,共共 30 分分,要求写出详细过程）要求写出详细过程）13.2011 年 4 月 16 日是星期六.求二十一世纪中二月份有五个星期

49、日的年份.14.两个最简分数,较大的减去较小的差是65,两个分子的最大公约数等于两个分子的差,两个分子的最小公倍数是 1050.求这两个最简分数.第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组)第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D 参考答案（小学组）第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 D 参考答案（小学组）参考答案（小学组）一、填空题填空题(每小题 10 分，共 80 分)题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 3465157727 42 10829 12 14 32 87654321 1800 二、解答下列各题二、解答

50、下列各题(每题 10 分，共 40 分,要求写出简要过程)9.答案答案:1901解答解答.因为华杯决赛是四位数,十六届是三位数,兔年是两位数,所以等式成立时有 华杯决赛=19011010020112011兔年十六届.当 华杯决赛=1901,十六届=100,兔年=10 时题目要求的等式成立.10.答案答案:52.5.解答解答：因为DEAC/，所以CODAOESS.又CDECODSSCEOC，EACCODEACAOESSSSCEOE，所以OEOCCDEEACSS.因为三角形EAC在边AC上的高和三角形CDE在边DE上的高相等，第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D 参考答案（小学组）所以21