第六届华罗庚数学竞赛初赛复赛决赛试卷和答案.pdf

1、638 第六届“华杯赛”初赛试卷 第六届“华杯赛”初赛试卷 1.香港回归祖国之日是星期几？今天距回归之日还有多少天？2.请计算：015.06.32065.022.0013.000325.03.如图，OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋转 90o，问三角形扫过的面积是多少？（取 3.14）A A 4.两架天平，天平甲的左边放上 4789763（重量单位，下同）的重量，右边放上 4666514 的重量，天平乙的左边放上 6833725 的重量，右边放上 2544175 的重量，已知有一架天平是平衡的，问：哪一个是平衡的？5.中山商场销售的名人

2、系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增长 20%，1996 年 12 月份销售了 120 台，按次速度下去，预计 1997 年3 月份比一月份多销售多少台？（按四舍五入计算）。6.编号为 1、2、3 的三只蚂蚁分别举起一个重物。问：金、银、铜奖牌分别发给几号蚂蚁？7.一辆汽车的速度是每小时 50 千米，现有一块每 5 小时慢 2 分的表，若用该表计时，测得这辆车的时速是多少？（得数保留一位小数）8.歌德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和”。639 问：168 是哪两个两位的质数之和，并且其中的一个的个位数字是 1？9.右图中有九个空格，要求每个格中填如互不相同的数

3、，使得每行、每列、每条对角线上的三格数之和都相等。问图中左上角的数是多少？10.某工厂原用长 4 米，宽 1 米的铁皮围成无底无顶的正方体形状的产品存放处，恰好够放一周的产品。现在产量增加了 27%，问：能否还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品？11.甲管注水速度是乙管注水速度的一倍半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12 小时可注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注 9 小时将游泳池注满，问：甲管注水时间是多少？12.用棱长是 1 厘米的立方块拼成如图所示立体图形，求该图形的表面积。13.威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径 40

4、厘米，深 36 厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机总体积的 25%，长方体外形的长为 52 厘米，宽 50 厘米。问，高是多少厘米？（按四舍五入计算，取 3.14）14.在分母小于 15 的最简分数中，比大并且最接近的是哪一个？15.在周长为 200 米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒6 米、5 米的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次？16.右图中 AD=AC，三角形 CDE 的面积是三角形 ABC 的一半。问：BE 的长是 BC 的几分之几？第 6 届“华杯赛”初赛答案 第 6 届“华杯赛”初赛答案 1.回归之日是星期二，115 天。2.原式

5、=1。3.三角形扫过的面积是 102.5 平方厘米。4.天平乙是平衡的。5.63 台。6.金牌给 2 号，银牌给 1 号，铜牌给 3 号。7.这辆车的速度是 50.3 千米/小时。8.两个质数是 71，97。9.16。10.可以。只要将铁皮围成高为 1 米的圆柱形状即可。11.18 小时。12.表面积是 54 平方厘米。13.高度是 70 厘米。14.512。15.甲乙相遇 53 次。16.BE=35BC。640 第六届“华杯赛”复赛试题 第六届“华杯赛”复赛试题 1.计算 91151-131-11011611411211 2.一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，如图所示：其中盘 A 直径为1

6、0 厘米，B 直径为 40 厘米，C 直径为 20 厘米。问：A 顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米？（取 3。14）（设在整个过程中，绳索与绞盘之间都不产生相对的滑动）3.计算：1999119981997199919985.19935.1999（得数保留三位小数）4.用一平面去截一个立方体，得到一个矩形的截口，而把立方体截成两个部分，问：这两个部分各是几个面围成的？5.右图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6厘米的卷轴。已知纸的厚度为 0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？6.李师傅加工一批零件。如果每天做 50 个，要比原计划晚 8 天完成；如 641

7、果每天做 60 个，就可以提前 5 天完成。这批零件共有多少个？7.某商店某一个月内销售 A，B，C，D 四种商品，情况如下页表所示：已知：%100销售价进货价销售价商品销售的毛利率。今知 A，B，C，D 四种商品的毛利率依次为 9，12，20，30。问：本月四种商品的毛利率是多少？8.问：1009987654321与101相比较，哪个更大，为什么？9.设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍。现甲自 A 地去 B 地，乙、丙从 B 地去 A地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按

8、各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按各自原有方向继续前进。问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁最后到达目的地？10.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有三名专业选手与三名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见，用以下方法记分。开赛前每位选手各有 10 分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分。每胜专业选手一场的加 2 分，每胜业余选手一场的加 1 分；专业选手每负一场扣 2 分，业余选手每负一场扣 1 分。现问：一位业余选手至少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？11.下面这样的四个图：（a）（b）（c）（d

9、）我们都称作平面图。642 （l）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人下表：（其中 a 已填好）。（2）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系。（3）现已知某一平面图有 999 个顶点和 999 个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这个图有多少条边。12.某公共汽车线路中间有 10 个站。车有快车及慢车两种，快车车速是慢车车速的 1.2 倍。慢车每站都停，快车则只停靠中间 1 个站，每站停留时问部是 3 分钟。当某次慢车发出 40 分钟后，快车从同一始发站对开出，两车恰好同时到达终点。问：快车从起点到终点共用多少时间？13.下面是一个

10、由数字组成的三角形，试研究它的组成规律，从而确定其中的 x 的数值。643 14.有 5 堆苹果，较小的 3 堆平均有 18 个苹果，较大的 2 堆苹果数之差为 5 个。又，较大的 3 堆平均有 26 个苹果，较小的 2 堆苹果数之差为7 个。最大堆与最小堆平均有 22 个苹果。问：每堆各有多少苹果？15.请在下面的方框内填人加号或减号，以使得下面的关系式成立：16.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。已知甲班 1 人捐 6 册，有 2人各捐 7 册，其余人各捐 N 册；乙班有 1 人捐 6 册，3 人各捐 8 册，其余人各捐 10 册；丙班有 2 人各捐 4 册，6 人各捐 7 册，其余人各

11、捐9 册。已知甲班捐书总数比乙班多 28 册，乙班比丙班多 101 册。各班捐书总数在 400 册与 550 册之间。问：每班各有多少人？17.1994 年我国粮食总产量达到 4500 亿千克，年人均 375 千克。据估测，我国现有耕地 1。39 亿公顷，其中约有一半为山地、丘陵。平原地区平均产量已超过 4000 千克公顷，若按现有的潜力到 2030 年使平原地区产量增产七成，并使山地。丘陵地区产量增加二成是很有把握的。同时在本世纪末把我国人口总数控制在 12.7 亿以内，且在下一世纪保持人口自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过 10。请问：到 2030 年我国粮食能超过年人均 40

12、0 千克吗？试简要说明理由。第 6 届“华杯赛”复赛答案 第 6 届“华杯赛”复赛答案 1.原式=1.1。2.31.4 厘米。3.原式4002.001。4.有四种可能:a.两个 5 面体；b.一个 5 面体积一个 6 面体；c.两个 6 面体；d.一个 5 面体及一个 7 面体。5.这卷纸的长度为 71.43 米，或 71.4 米。6.这批零件共 3900 个。7.约为 9.91%8.110更大。9.丙最先到达，甲最后到达。10.一名业余选手至少要胜四场，才能确保他的得分进入前三名。11.顶点数 边数 区域数(a)4 6 3(b)8 12 5(c)6 9 4(d)10 15 6 顶点数+区域数

13、-边数=1 边数=顶点数+区域数-1 =999+999-1 =1997 12.快车从起点到终点共需 65+3=68 分钟。13.x=178。14.1234513,20,21,26,31xxxxx 15.11111111111111111110123456789101112131415161718199716.甲、乙、丙三个班人数依次为 51 人，53 人及 49 人。644 第六届“华杯赛”小学组决赛第一试试题 第六届“华杯赛”小学组决赛第一试试题 l.N 是 1，2，31995，1996，1997 的最小公倍数，请回答 N 等 于多少个 2 与一个奇数的积？2.正方形客厅边长 12 米，若正

14、中铺一块正方形纯毛地毯，外围铺化纤地毯，共需费用 22455 元。已知纯毛地毯每平方米 250 元，化纤地毯每平方米 35 元，请求出铺在外围的化纤地毯的宽度是多少米？3.将 1，2，3 49，50 任意分成 10 组，每组 5 个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，求这 10 个中位数之和的最大值及最小值.4.红，黄，蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字，小明将这四张卡片如右下图放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的 10 倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 1998。问：红、黄、蓝三张卡片上各是什么数？5.一堆球，如果是 10 的倍

15、数个，就平均分成 10 堆并拿走 9 堆。如果不是 10 的倍数个，就添加几个，但少于 10 个，使这堆球成为 10 的倍数个，再平均分成 10 堆并拿走 9 堆，这个过程称为一次“均分”。若球仅为一个，则不做“均分”。如果最初一堆球数有 123419961997 个，请回答经过多少次“均分”和添加了多少个球后，这堆球就仅余 1 个球？6.若干台计算机联网，要求：（1）任意两台之间最多用一条电缆连接；（2）任意三台之间最多用两条电缆连接；（3）两台计算机之间如果没有连接电缆，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆。若按此要求最少要连 79 条，问：（1）这些计算机的数量是多少？（2）这些计算机

16、按要求联网，最多可以连多少条电缆？第 6 届小学组决赛 1 试答案 第 6 届小学组决赛 1 试答案 1.N 等于 10 个 2 与某个奇数的积。2.外围化纤地毯的宽度是 1.5 米。3.最大的“居中和”是 345，最小的“居中和”是 165。4.红卡上的数字是 2，黄卡上是 1，蓝卡上是 8。5.均分 6881 次，添加了 33985 个球。6.有 80 台计算机参加联网；最多可连 1600 条电缆。645 第六届“华杯赛”小学组决赛第二试试题 第六届“华杯赛”小学组决赛第二试试题 1.abcd 是四位数，a，b，c，d 均代表 1，2，3，4 中的某个数字，但彼此不同，例如 2134。请写

17、出所有满足关系 ab，bc，cd 的四位数 abed 来。2.在 1997 行和 1997 列的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮，按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变不亮，不亮变亮。如果原来每盏灯都是不亮的，清说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮？3.A，B 两地相距 105 千米，甲、乙二骑车人分别从 A，B 两地同时相向出发，甲速度为每小时 40 千米，出发后 1 小时 45 分钟相遇，然后继续沿各自方向往前骑。在他们相遇 3 分钟后，甲与迎面骑车来的丙相遇，而丙在 C 地追及上乙。若甲以每小时 20 千米的速度，乙以每小时比原速度快 2 千米的车

18、速，二人同时分别从 A，B 出发，则甲、乙二人在 C 点相遇。问丙的车速是多少？4.圆周上放有 N 枚棋子，如右图所示，B 点的一枚棋子紧邻 A 点的棋子。小洪首先拿走 B 点处的 1 枚棋子，然后顺时针每隔一枚拿走 2 枚棋子，连续转了 10 周，9 次越过 A。当将要第 10 次越过 A 处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下 20 多枚棋子。若 N 是 14 的倍数，请帮助小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子？5.八个学生 8 道问题。（a）若每道题至少被 5 人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出。（b）如果每道题只有 4 个学生解出月 p 么（a）的结论

19、一般不成立。试构造一个例子说明这点。6.长边和短边的比例是 2：l 的长方形称为基本长方形。用短边互不相同 646 的基本长方形拼图，要求任意两个长方形之间：（l）没有重叠部分；（2）没有空隙。试用短边互不相同且最小短边为 1 的五个基本长方形拼接一个更大的长方形，若 al=1a2a3a4a5分别为 5 个短边，我们将大长方形记为（al，a2,a3，a4，a5）。例如（l，2，5，6，12）就可以拼成一个长方形（见示意图，图中数字是所在长方形短边之长），是一个解答。请尽可能多地写出其它的解答（不必画图）。注意：示意图是用解答中 5 个基本长方形拼成的一个长方形的拼图方法，存在其它拼图方式，但只

20、要五个基本长方形相同则认为是同一解答。第 6 届“华杯赛”决赛试题及解答 1.1324，1423，2314，2413，3412 共五个。2.最少要 1997 次。3.丙的车速是32319千米/小时。4.当 N 是 14 的倍数时，圆周上有 23 枚棋子。5.略 6.共有 16 组解答，它们是（1，2.5，5，7.25）；（1，2，2.5，5，14.5）；（1，2，2.25，2.5，3，6.25）；（1，2，2.25，2.5，7.25）；（1，2，5，5.5，6）；（1，2，5，6，11）；（1，2，2.5，4.5，7）；（1，2，2.5，4.5，14）；（1，2，5，12，14.5）；（1，2，5，12，29）；（1，2，2.25，2.5，4.5）；（1，2，5，6，12）；（1，109，2，20 25,99）；（1，2，12 24,55，5）；（1，13 10 25 14,6363）；（1，7 8 10 13,3 3 33）。