第十三届华罗庚数学竞赛初赛决赛试卷和答案.pdf

1、第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组）初赛试卷（小学组）（时间:2008 年 3 月 22 日 10:0011:00）一、选择题（每小题一、选择题（每小题 10 分分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的.请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1 科技小组演示自制的机器人.若机器人从点A向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着又向南行走 1.8 米，再向东行走 2 米，最后又向南行走 1 米到达B点.则B

2、点与A点的距离是()米.（A）3（B）4（C）5（D）7 2将等边三角形纸片按图 1 所示的步骤折迭 3 次（图 1 中的虚线是三边中点的连线）,然后沿两边中点的连线剪去一角（图 2）.将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是().3将一个长和宽分别是 1833 厘米和 423 厘米的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少是()个.（A）8 （B）7 （C）5 （D）6 4已知图 3 是一个轴对称图形.若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有()个.（A）9（B）8（C）7（D）6 总分总分 （A）（B）（C）（D）图 1 图 3 裝裝 訂訂 線線 剪去，不要 图

3、2 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 5.若a 10041520083151515 3333个个，则整数a的所有数位上的数字和等于().（A）18063 （B）18072（C）18079 （D）18054 6若2005 20062006 20072007 2008 2007 20082008 20092009 2010a,b,c，则有().（A）abc （B）acb （C）acb （D）abc二、填空题（每小题二、填空题（每小题 10 分，满分分，满分 40分分.第第 10题每空题每空 5 分）分）7如图 4 所示，甲车从 A，乙车从 B 同时相向而行.两车第一次相遇后，甲车继续行驶 4

4、小时到达 B，而乙车只行驶了 1 小时就到达 A.甲、乙两车的速度比为 .8华杯赛网址是 ，将其中的字母组成如下算式：www+hua+bei+sai+cn 2008.如果每个字母分别代表 09 这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且 w=8，h=6，a=9，c=7，则三位数bei的最小值是 .9如图 5 所示，矩形ABCD的面积为 24 平方厘米.三角形ADM与三角形BCN的面积之和为 7.8 平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米.10将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友.原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3.实际上，甲、乙、丙三人所得

5、糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了 15 块糖果.那么这位小朋友是 （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 块.裝裝 訂訂 線線 图 5A B C D P M O N A 甲車 乙車 图 4 B 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛小学组试题答案 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛初赛 小小 学学 组组 试试 题题 答答 案案 一、选择题一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 答案答案 C A B C B D 二、填空题二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分.第 10 题

6、每空 5 分）题号题号 7 8 9 10 答案答案 1:2或12 103 1.8 丙，150 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）-1-圖 1第十三届第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（小学组）决赛试卷（小学组）（时间 2008 年 4 月 19 日 10:0011:30）一、填空(每题 10 分,共 80 分)一、填空(每题 10 分,共 80 分)1.计算：16 40149 4016213 40143 60244 _.2.林林倒满一杯纯牛奶,第一次喝了13,然后加入豆浆,将杯子斟满并搅拌均匀,第二次,林林又喝了13,继续用豆浆将杯子

7、斟满并搅拌均匀,重复上述过程,那么第四次后,林林共喝了一杯纯牛奶总量的_（用分数表示）.3.图 1 是小明用一些半径为 1 厘米、2 厘米、4 厘米和 8 厘米的圆、半圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案,图中阴影部分的总面积为_平方厘米.4.悉尼与北京的时差是3小时,例如：悉尼时间12:00时,北京时间是 9:00.某日,当悉尼时间 9:15 时,小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地,小马于北京时间19:33分到达北京.小马和小杨路途上所用时间之比为 7:6,那么小杨到达悉尼时,当地时间是 .5.将六个自然数 14,20,33,117,143,175 分组,如果要求每组中的任

8、意两个数都互质,则至少需要将这些数分成 组.6.对于大于零的分数,有如下 4 个结论：两个真分数的和是真分数；两个真分数的积是真分数；一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；一个真分数与一个假分数的积是一个假分数.其中正确结论的编号是_.总分总分 学校_ 姓名_ 参赛证号联系电话 电子邮件密封线内请勿答题 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）-2-圖 2 7.记137151023248161024A,那么比A小的最大的自然数是.8.黑板上写着1至2008 共2008个自然数,小明每次擦去两个奇偶性相同的数,再写上它们的平均数,最后黑板上只剩下一个自然数,这个数可能的最大值和最

9、小值的差是_.二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9.小李应聘某公司主任职位时,要根据下表回答主任的月薪是多少,请你来回答这个问题.职位 会计与出纳 出纳与秘书 秘书与主管 主管与主任 主任与会计 月薪和 3000 元 3200 元 4000 元 5200 元 4400 元 10.请将四个 4 用四则运算符号、括号组成五个算式,使它们的结果分别等于 5、6、7、8、9.11.图 2 中,ABCD 和 CGEF 是两个正方形,AG 和CF 相交于 H,已知 CH 等于 CF 的三分之一,三角形CHG 的面积等于 6

10、平方厘米,求五边形 ABGEF 的面积.12.设六位数abcdef满足fabcdefabcdef,请写出所有这样的六位数.三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13.甲乙两人沿一个周长为400米的环形跑道匀速前进,甲行走一圈需4分钟,乙行走一圈需 7 分钟,他们同时同地同向出发,甲走完 10 圈后,改为反向行走.出发后,每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时,二人都击掌示意.问：当二人第 15 次击掌时,甲共走了多少时间？乙走了多少路程？14.右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8 和 9,不

11、同的汉字代表不同的数字.如果“北”和“京”分别代表1和9.请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数,并且说明理由.第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学组）-1-圖 1 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试题参考答案（小学组）一、填空(每题 10 分，共 80 分)决赛试题参考答案（小学组）一、填空(每题 10 分，共 80 分)注：第6题，每答对1个给5分.二、解答下列各题(每题10分，共40分,要求写出简要过程)二、解答下列各题(每题10分，共40分,要求写出简要过程)9.答案9.答案：2900元.解答解答：根据已知条件，五种

12、职位的月薪分别为：A,B,C,D和E,那么：A+B=3000(1)B+C=3200(2)C+D=4000(3)D+E=5200(4)E+A=4400(5)(5)(1)得：EB=1400,(4)(3)+(2)得：E+B=4400.因此 E=2900（元）.因此，主任的月薪为2900 元.评分参考评分参考：每列对一个方程给 1 分；正确解出方程给 5 分.10.解答：10.解答：54)444(,64)44(4,74444,84444,94444.评分参考评分参考：答案不唯一,每列对一个算式给 2 分.11.答案答案：49.5 cm2.解答：解答：如图 1，连接 AC，FG，那么四边形 ACGF 是

13、梯形，三角形 ACF 和三角形 CAG 同底同高,因而面积相等,因此有 6 cmCHGAHFSS2（）；（2 分）由于 11116 cm2236CHGSCHCGCFCGCG CG2（）.因此，6cmCG；（2 分）因为 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 2 658164 20:39 3,9 2005 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学组）-2-62313122121ADADCGADCFADCHADFHSAHF(cm2),（2 分）因此，3ADcm.易得3cmFDCFCDCGAD，所以 5.4933213366ADFCGEFABCDABGEFSSSS(c

14、m2).（4 分）注：不做参考线，通过下面推导同样可以得出6 cmCHGAHFSS2（）,BCABCGABBCCGABSABG2121)(21 ABCFSBCABCFBCABCFBC)(212121.四边形 ABCF 和三角形 ABG 有公共的部分四边形 ABCH，因此6 cmCHGAHFSS2（）评分参考评分参考：可依据上述的采分点给分;仅有正确(或猜出)答案，无过程，只给 2 分.步骤正确，推导合理，计算错误，适当给分.12.12.答案答案：111111,102564.解答解答：设abcdex，依题意得100000(10)fxfxf.（3 分）整理得：(101)(100000)fxff，其

15、中19f.当1f 时，999999x，所以11111x，即111111abcdef；3 分）当4f 时，394 99996x，所以10256x，即102564abcdef；（3 分）当2,3,5,6,7,8,9f 时，x无整数解.（5 分）因此,满足条件的六位数是 111111 和 102564.（1 分）评分参考评分参考：列出解式,给 3 分;能给出全部求解过程,并判断正确,共给 11 分;计算 错误,适当减分;最后给出正确答案，给 1 分;仅给出正确答案，给 5 分.三、解答下列各题(每题15分，共30分,要求写出详细过程)三、解答下列各题(每题15分，共30分,要求写出详细过程)13.1

16、3.答案答案：甲共走了11266分钟,乙走了77593833米.解答解答：记跑道周长为 l，则甲的速度为4l，乙的速度为7l.甲走完 10 圈需 40 分钟，乙走完 10 圈需 70 分钟,同向行进时，甲两次相邻追上乙（同向而行的相邻两次击掌的时间间隔）所需时间为 32874lll 分钟；（2 分）.相向行进时，甲、乙二人相遇（击掌）到下一次相遇所需时间为 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学组）-3-112874lll分钟；（2 分）.所以在开始 40 分钟里，即甲走完 10 圈时，二人击掌的次数为小于32840的最大整数次,即4 次.（2 分）第 40 分钟时，乙已走

17、过的路程为ll740407，所以甲和乙相距（根据题意，较短的那段）的路程为l72；（1 分）.从此开始，甲改变行进方向，甲乙相向而行，所以，二人到第 5次相遇（击掌）时需 282811711 分钟；（1 分）.接下来，二人还需要相遇（击掌）10 次，需时 28280101111分钟，（1 分）.因此，二人到第 15 次相遇（击掌），需要828024066111111分钟.（3 分）因此，甲行走共享了26611分钟，此时，乙行走也用了26611分钟，因此，乙行走了24007385966383371171177l米.（3分）评分参考评分参考：可依据上述的采分点给分；仅有正确（或猜出）答案，无过程，

18、两问都 对，只给 3 分.步骤正确，推导合理，计算错误，适当给分.14.答案答案：647、638 和 836.解答：解答：因为“梦”、“想”、“成”和“真”代表 2、3、4、5、6、7 和 8 中 4 个不同的数字，并且“梦想成真”所代表的四位数能被 9 整除，因此它们代表的数字的和也能被 9 整除，并且由于 13“梦”+“想”+“成”+“真”27，所以“梦”+“想”+“成”+“真”18.（5分）由 12345678945 和“北”+“京”+“梦”+“想”+“成”+“真”1+9+18=28,可以得到“奥”“运”“会”17，从而“奥”、“运”和“会”所代表的 3 个不同的数字相应地就应当是：4,6,7、4,5,8、3,6,8和2,7,8.（5 分）由4,6,7、4,5,8、3,6,8和2,7,8四组数，可以组成 24 个三位数，分别乘 9，仅有647 95823，638 95742，836 97524 符合要求，即算式中的 8 个数字不同，没有 1 和9.所以，“奥运会”所代表的三位整数是 647、638 和 836.（5 分）评分参考评分参考：能给出全部推断过程，分析正确，每步骤给 5 分；推理正确，分析合理，但计算错误，适当减分；仅给出正确答案，给 5 分.