第二十二届华罗庚数学竞赛初赛决赛试卷和答案.pdf

1、第 1 页 共 1 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 A 参考答案参考答案（小学高年级组）（小学高年级组）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 6048 20 10 64 3:4 8.6cm 10 4 二、解答下列各题（二、解答下列各题（每小题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.【答案答案】910.【答案答案】2011.【答案】【答案】107,109,111,113,115,117.12.【答案答案】70950三、解答下列各题（三、解答下列各题（每题 15

2、 分,共 30 分,要求写出详细过程）13.【答案答案】214.【答案答案】6第 1 页 共 2 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 A（小学高年级组）（小学高年级组）（时间:2017 年 3 月 11 日 10:0011:30）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）1.用 x表示不超过x的最大整数,例如314.3,则2017 32017 42017 52017 62017 72017 8111111111111的值为 2.从4个整数中任意选出3个,求出它们的平均值,然后再求这个平均值和余下1个数的和,这样可以得到4个数

3、：8,12,3210和319,则原来给定的4个整数的和为.3.在33的网格中（每个格子是个11的正方形）放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共有 种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合,则把它们视为同一种摆放方法）.4.甲从 A 地出发去找乙,走了80千米后到达 B 地,此时,乙已于半小时前离开 B 地去了 C 地,甲已离开 A 地2小时,于是,甲以原来速度的2倍去 C地,又经过了2小时后,甲乙两人同时到达C地,则乙的速度是千米/小时.5.某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组,已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的72,是只参加朗诵小组人数的51,那么书法小组与朗诵小组的人

4、数比是_.6.右图中,ABC的面积为 100 平方厘米,ABD的面积为72 平方厘米.M为CD边的中点,90MHB.已知20AB厘米.则MH的长度为 厘米.7.一列数,21naaa,记)(iaS为ia的所有数字之和,如422)22(S.若20171a,222a,)()(21nnnaSaSa,那么2017a等于 .第 2 页 共 2 页 8.如右图,六边形的六个顶点分别标志为FEDCBA,.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于FEDCBA,顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放,最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,则不同的摆放方法共有 种 二、解答下列各题（二、解

5、答下列各题（每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成n个交点,则n有多少个不同的数值？10.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果,用作课间加餐。每名学生至少选择一种,也可以多选.统计结果显示：%70的学生选择苹果,%40的学生选了香蕉,%30的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.11.箱子里面有两种珠子,一种每个19克,另一种每个17克,所有珠子的重量为2017克,求两种珠子的数量和所有可能的值.12.使1523nn不为最简分数的三位数n之和等于多少.三、解答下列各题（三、解答下列各题（每小题 15 分,共 30 分

6、,要求写出详细过程）13.班上共有60位同学,生日记为某月某号.问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同?班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）.结果发现,在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数,那么,该班至少有多少个同学生日相同?14.将1至9填入右图的网格中,要求每个格子填一个整数,不同格子填的数字不同,且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.已知左右格子已经填有数字4和5,问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？FB赛赛金金杯杯庚庚罗罗华华EDCA第 1 页 共 1 页 第二

7、十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 B 参考答案参考答案（小学高年级组）（小学高年级组）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 2034144 52 10 352 8.6cm 10 19 4 二、解答下列各题（二、解答下列各题（每小题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.【答案答案】910.【答案答案】201311311111个 11.【答案】【答案】6612.【答案答案】70950三、解答下列各题（三、解答下列各题（每题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程）13

8、.【答案答案】不可以14.【答案答案】12第 1 页 共 2 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 B（小学高年级组）（小学高年级组）（时间:2017 年 3 月 11 日 10:0011:30）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）1.2.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时甲乙两车的速度比为4:5出发后不久,甲车发生爆胎,停车更换轮胎后继续前进,并且将速度提高 20%,结果在出发后 3 小时,与乙车相遇在AB两地中点相遇后,乙车继续往前行驶,而甲车掉头行驶,当甲车回到A地时,乙车恰好到达甲车爆胎的位置,

9、那么甲车更换轮胎用了 分钟3.在33的网格中（每个格子是个11的正方形）摆放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共有 种不同的摆放方法.（如果两种放法能够通过旋转而重合,则把它们视为同一种放置方法）.4.小于 1000 的自然数中,有个数的数字组成中最多有两个不同的数字5.右图中,ABC的面积为 100 平方厘米,ABD的面积为 72平方厘米.M为CD边的中点,90MHB.已知20AB厘米.则MH的长度为 厘米.6.一列数,21naaa,记)(iaS为ia的所有数字之和,如422)22(S.若20171a,222a,)()(21nnnaSaSa,那么2017a等于.7.一个两位数,其数字和

10、是它的约数,数字差（较大数减去较小数）也是它的约数,这样的两位数的个数共有 个.1-1311213+13-15131415+.+12015-12017120151201612017=第 2 页 共 2 页 8.如图,六边形的六个顶点分别标志为FEDCBA,.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于FEDCBA,顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放,最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,则不同的摆放方法共有种二、解答下列各题（二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成m个交点,则m有多少个不同的数值？

11、10.求能被7整除且各位数字均为奇数,各位数字和为2017的最大正整数.11.从1001,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意选出四个数,使它们的和为偶数,则共有多少种不同的选法.12.使1523nn不为最简分数的三位数n之和.三、解答下列各题（三、解答下列各题（每小题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程）13.一个正六边形被剖分成6个小三角形,如右图.在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数.能否找到一个填法,使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.如果可以,请给出一种填法;如果不可以,请说明理由.14.77的方格网

12、黑白染色,如果黑格比白格少的列的个数为m,黑格比白格多的行的个数为n,求nm的最大值.FB赛赛金金杯杯庚庚罗罗华华EDCA第 1 页 共 2 页 H6GFEDCBAABHGCIDEF第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中二年级组）决赛试题（初中二年级组）（时间:2017 年 3 月 11 日 10:0011:30）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）1.计算396 23+6=.2.如果2017ab,那么a4+b4+2a2b2-a3b-ab3a2+b2+3ab=.3.在平面直角坐标系xOy中,一次函数ykxb的图象过点(1,1)A

13、,与坐标轴围成的三角形面积为 2,这样的一次函数有 个.4.如右图,两个边长为 6 的正方形ABFE和EFCD拼成长方形ABCD.点G在线段ED上,连接BG交EF于点H.如果五边形CDGHF的面积为 33,那么线段BG的长等于 .5.已知311,pp qq都是正整数,那么p2+q2的最大值等于.6.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐.每个人至少选择一种,可以多选.某班 30 名学生的调查结果如下：(a)没选苹果的学生中,选香蕉的人数是选梨的人数的 2 倍；(b)三种水果都选的学生有 7 人；(c)在恰好选了两种水果的学生中,选择香蕉和梨组合的人数比选其它组合的人数之和多 3 人

14、；7.(d)在只选一种水果的学生中,恰好有一半选了苹果.那么,只选了一种水果的学生有人.如右图,在梯形ABCD中,ABDC,4AB,1DC,分别以AD,BC为边向外作正方形ADEF与正方形BHGC,I为线段EG的中点,那么DCI的面积等于 第 2 页 共 2 页 8.用 x表示不大于数x的最大整数已知正整数n的平方的十位数字是 7,那么,100100nn的所有可能值的和等于 二、解答下列各题（二、解答下列各题（每小题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.已知2221abc,3111111bacacbcba,求abc 的值 10.如右图,等腰直角三角形PQR的斜边QR的长为 2.正方形

15、ABCD的边AB在QR上,边DC过点P,边DA,CB分别交PQ,PR于点M,N.当AB在QR上水平滑动时,QAM与BRN的周长和是否为定值？说明理由 11.求证：任意的 5 个整数中,必定有两个整数的平方差是 7 的倍数12.正整数,ab,满足100ab,abqab（q是正整数）,问ab可以取的值有多少个？13.三、解答下列各题（三、解答下列各题（每小题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程）14.如右图,ABC,AEF和BDF均为正三角形,且+60ABFAFBECDo,求AFC的度数 15.直线a平行于直线b,a上有 5 个点125,A AAL,b上有 5 个点125,B BBL,连接线

16、段(,1,2,3,4,5)ijAB i j.所得到的图形中,三角形最多有多少个？ABCDEFQAMDPCNRB第 1 页 共 2 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中一年级组）决赛试题（初中一年级组）（时间:2017 年 3 月 11 日 10:0011:30）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）1.数轴上个点所表示的数分别为,a,a,a,且当 i 为奇数时,iiaa,当 i 为偶数时,iiaa,那么aa 2.如右图,ABC,AEF 和BDF 均为正三角形,且ABC,AEF 的边长分别为和,则线段 DF 长度的最大值等于

17、3.如下的代数和)()(mmm 的个位数字是 ,其中m是正整数.4.已知x.设 x表示不大于 x 的最大整数,定义 xxx.如果 xx 是整数,则满足条件的所有 x 的和等于.5.设 x,y,z 是自然数,则满足xyzyx的 x,y,z 有 组.6.设p,q,qp,pq都是正整数,则 qp的最大值等于 .7.右图是 A,B,C,D,E 五个防区和连接这些防区的条公路的示意图.已知每一个防区驻有一支部队.现在这五支部队都要换防,且换防时,每一支部队只能经过一条公路,换防后每一个防区仍然只驻有一支部队,则共有种不同的换防方式 第 2 页 共 2 页 8.下面两串单项式各有个单项式:(1)yxyxy

18、xyxyxxynn,;(2)yxyxyxyxyxyxmm,其中 n,m 为正整数,则这两串单项式中共有 对同类项.二、解答下列各题（二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.是否存在长方体,其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如果存在,请给出一个例子;如果不存在,请说明理由.10.如右图,已知正方形 ABDF 的边长为 6 厘米,EBC 的面积为 6 平方厘米,点 C 在线段 FD 的延长线上,点 E 为线段 BD 和线段 AC 的交点.求线段 DC 的长度.11.如右图,先将一个菱形纸片沿对角线 AC 折叠,使顶点B 和 D 重合.再沿过 A,B(D)

19、和 C 其中一点的直线剪开折叠后的纸片,然后将纸片展开.这些纸片中菱形最多有几个?请说明理由.12.证明:任意个整数中,至少有两个整数的平方差是的倍数.三、解答下列各题（三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13.直线 a 平行于直线 b,a 上有个点A,A,A,b 上有个点B,B,B,用线段连接iA和jB(i=,j=,),所得到的图形中一条边在 a 上或者在 b 上的三角形有多少个？14.已知关于 x,y 的方程kyx有且只有六组正整数解,且yx,求 k 的最大值.第 1 页 共 3 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛

20、试题（小学中年级组）决赛试题（小学中年级组）（时间:2017 年 3 月 11 日 10:0011:30）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）1.在2017个自然数中至少有一个两位数,而且其中任意两个数至少有一个三位数,则这2017个数中有 个三位数.2.如右图（1）所示,一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走,给定棋子的一条路线,将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方,在某一行中经过的格子数标在该行的左方.如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的,那么图中x代表的数字为 .3.用 x表示不超过x的最大整数,例如10.210.则2017 3

21、2017 42017 52017 62017 72017 8111111111111 等于.4.盒子里有一些黑球和白球.如果将黑球数量变成原来的 5 倍,总球数将会变成原来的 2 倍.如果将白球数量变成原来的 5 倍,总球数将会变成原来的倍.5.能被自己的数字之和整除的两位数中,奇数共有个.第 2 页 共 3 页 6.如右图,将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形,最后剩下一个长方形.正方形边长和三角形直角边长都是整数.若剪去部分的总面积为40平方厘米,则长方形的面积是 平方厘米.7.小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场.从家到商店距离是500米,用了7分钟;从商店到游乐

22、场以80米/分钟的速度要走8分钟;从游乐场到学校的距离是300米,走的速度是60米/分钟.那么小龙从家到学校的平均速度是 米/分钟.8.亚瑟王在王宫中召见6名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友.他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如右图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有 种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).二、简答题二、简答题（每小题 15 分,共 60 分,要求写出简要过程）9.如右图所示,两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD.G为DE的中点.连接BG交EF于H.求

23、图中五边形CDGHF的面积.10.乌龟和兔子进行1000米赛跑,兔子速度是乌龟速度的5倍,当它们从起点同时出发后,乌龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉,兔子醒来时乌龟已经领先它,兔子奋起直追,但乌龟到达终点时,兔子仍落后10米.求兔子睡觉期间,乌龟跑了多少米?第 3 页 共 3 页 11.如右图,一个边长为3的正六边形被3组平行于其边的直线分割成边长为1的54个小正三角形,那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个?12.如右图,将1至9这九个数字填入网格中,要求每个格子填一个数字,不同格子填的数字不同,且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字

24、的整数倍.已知左右格子已经填有数字4和5,那么标有字母x的格子可以填的数字最大是多少?第 1 页 共 1 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案决赛试题参考答案（初中二年级组）（初中二年级组）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 2 62017 3 3 13.29 16 34200 二、解答下列各题（二、解答下列各题（每小题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.【答案】【答案】abc 的值为1，或 0 或 1.10.【答案】周长和是定值2+2.11.【证明】【证明

25、】略12.【答案】【答案】38三、解答下列各题（三、解答下列各题（每题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程）13.【答案】【答案】30o14.【答案】1000.第 1 页 共 1 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案决赛试题参考答案（初中一年级组）（初中一年级组）一、填空题（一、填空题（每小题 10 分,共 80 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 6 7 0 4059217 4 29 44 403 二、解答下列各题（二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9.答案:否10.答案:3 厘米

26、11.答案：012.略三、解答下列各题（三、解答下列各题（每小题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程）13.答案:599514.答案:1777第 1 页 共 1 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案决赛试题参考答案（小学中年级组）（小学中年级组）一、填空（一、填空（每题 10 分,共 80 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 2016 2 6048 4 5 24 72 6 二、解答下列各题（二、解答下列各题（每题 15 分,共 60 分,要求写出简要过程）9.【答案】【答案】3310.【答案】【答案】802 米11.【答案】【答案】36 个12.【答案】【答案】6