1、教 师 课 时 授 课 计 划 教师姓名 课程名称 应用数学 授课时数 2 累计课时 授课日期星期节次授课班级课题M2-3 无穷小与无穷大的概念及性质知识目标了解掌握无穷小，无穷大的概念及无穷小的比较技能目标掌握无穷小与无穷大的关系；会进行无穷小的比较；会利用等价无穷小求相关的极限。态度目标正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 教学重点无穷小的比较教学难点无穷小的比较，灵活运用6种求函数极限的方法教学资源无参考书高等数学同济四版作 业教 学 过 程 设 计教学环节教学内容教学方法时间课程引入复习当时函数f(x)的极限启发式5知识讲
2、解1、无穷小的定义及其性质2、无穷大的定义及无穷大与无穷小的关系3、无穷小的比较4、极限的运算启发式55课堂实战灵活运用求函数极限的方法求函数的极限25课后点评无穷小与无穷大总结求函数极限的方法5课后小记一、课程引入在实际问题中，我们经常遇到极限为零的变量例如，单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力和机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋于零又如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋于零对于这样的变量，我们称之为无穷小量二、知识讲解1、无穷小的定义及其性质定义 8 如果当（或）时，函数的极限为零，那末函数叫做当（或）时的无穷小量，简称为无穷小例如，因为，所以函数是当时
3、的无穷小；应当注意：（1）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势；（2）无穷小是一个函数，而不是一个绝对值很小的数；（3）常数中只有“0”可以看成是无穷小，因为性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小；性质2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；性质3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小2、无穷大的定义及无穷大与无穷小的关系1）无穷大量的定义定义9 如果当（或）时，函数的绝对值无限增大，那末函数叫做当（或）时的无穷大量，简称为无穷大例如，当时，是一个无穷大，又如，当时，是一个无穷大应当注意：（1）无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数；（2）说一个函数是一个无穷大，必须指明自变量的变化趋势2
4、）无穷大与无穷小有以下的简单联系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则是无穷小；反之，如果为无穷小，且，则是无穷大利用这个关系，可以求一些函数的极限例1 求解 因为，所以 3、无穷大及无穷小的比较 定义10 设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又也是在这个变化过程中的极限（1） 如果= 0，就说是比高阶的无穷小，记作；（2） 如果，就说是比低阶的无穷小；（3） 如果=，就说与是同阶无穷小，特殊地，若，则说与是等价无穷小，记为注意:在无穷小的比较中,自变量的变化趋势必需一致,否则无法比较! 例如，在x0时，x2 是比3x高阶的无穷小；3x 是比x2低阶的无穷小，sinx与3x是同阶
5、无穷小，sinx与x是等价无穷小 当x0时，常用的等价无穷小有 sinx x； tanx x； arcsinx x； arctanx x； ln(1+x) x； ex1 x； ； 例2 比较当时，无穷小与阶数的高低 解 因为= ，所以 例3求极限及解 当时，所以 =；当时，所以 =4、极限的运算例4求解 略例5 求解 例6求解 因为，所以 =由例题可以看出，当是非负整数时，对于有理分式函数的极限，有下面的结论：三、课堂实战1、求下列各极限：（1） ； （2） ；（3） ； （4）；2当x0时，2xx2与x2x3相比，哪一个是高阶无穷小？ 4当x1时，无穷小1x和 （1）； （2）是否同阶？是否等价？3计算下列各极限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；5
