1、教 师 课 时 授 课 计 划 教师姓名 课程名称 应用数学 授课时数 2 累计课时 授课日期星期节次授课班级课题M4-4 函数的最大值和最小值的方法知识目标掌握最大值最小值的概念掌握最大值最小值的求法技能目标会求函数的驻点会求函数的最大值与最小值态度目标培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题、分析问题并最终解决问题教学重点函数的最大值与最小值的实际应用教学难点如何把实际问题转化成抽象的数学问题教学资源无参考书高等数学同济四版作 业教 学 过 程 设 计教学环节教学内容教学方法时间课程引入案例：用料最省问题提问启发5知识讲解1、 取得函数的最大值和最小值的条件2、 函数的最大值和最小值的情况
2、分析3、 例题讲解（归纳步骤）4、 实际问题中求最大最小值启发式65课堂实战求实际问题中的最值10课后点评实际问题中求最大最小值10课后小记一、课程引入在日常生活中，工程技术及市场经济中，常常会遇到如何做才能使 “用料最省”、“效率最高”、“路程最短”等问题用数学的方法进行描述可归结为求一个函数的最大值与最小值问题图4-8例1【用料最省】某工厂要用围墙围城面积为的矩形场地，如图4-8所示，并在正中间用一堵墙将它隔成两块，问这块土地的长和宽各取多少时，才能使所用的建筑材料最省？二、知识讲解1、取得函数的最大值和最小值的条件如果函数在闭区间上连续，那末，函数在区间上必取得最大值和最小值2、函数的最
3、大值和最小值的情况分析（1）若函数的最大（小）值在区间内部取得，那么对可导函数来讲，必在驻点处取得；（2）函数的最大（小）值可以在区间的端点处取得；（3）函数在其不存在的点可能取得极值，则函数的最大（小）值也可能在使不存在的点处取得综上所述，可知求函数在区间上的最大（小）值的步骤为（1）求函数的导数，并求出所有的驻点和导数不存在的点；（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值；（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是在闭区间上的最大值，最小的就是在闭区间上的最小值. 例1 求函数在上的最大值与最小值解 显然，函数在0，3上连续，且 ，可知，驻点，不可导点，端点，这些点的函数值分别为 ，
4、那末函数在0，3上的最大值为，最小值为3、实际问题中求最大最小值图4-8例2【用料最省】某工厂要用围墙围城面积为的矩形场地，如图4-8所示，并在正中间用一堵墙将它隔成两块，问这块土地的长和宽各取多少时，才能使所用的建筑材料最省？解 设这块地的长为,则宽为,并可得围墙和隔墙的总长度为 ()令解得是中唯一的驻点而,即在处取得极小值，故知在处取得最小值则当土地的长为、宽为时，围墙和隔墙的长度最短，才能使所用的建筑材料最省求实际问题的最大（小）值有以下步骤：（1）先根据问题的条件建立目标函数； （2）求目标函数的定义域；（3）求目标函数的驻点（唯一驻点）；并判定在此驻点处取得的是极大值还是极小值；（4
5、）根据实际问题的性质确定该函数值是最大值还是最小值例3【费用最低】铁路上、两城的距离为100km，工厂距铁路线20km，即km.且.（图4-9）.现在要在中选一点，修一条公路直通厂.已知铁路运货每千米的运费与公路的运费之比是3：5，问应选在何处，才能使从城运往工厂的运费最省图4-9解 设（km），先建立运费函数.由于，.故由点经到厂，单位重量的货物运费为，（）令解得是中唯一的驻点而,即在处取得极小值，故知在处取得最小值则距城15km处选为点，可使运费最省例4【收入最高】某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定位每月180元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月元，则租出去的房子有间，每月总收入为，即 ()令解得是中唯一的驻点而,即在处取得极大值，故知在处取得最大值则每月每套租金定位350元时收入最高三、课堂实战1、要做一个容积为V的圆柱形油罐，问底半径r和高h等于多少时才能使所用材料最省？2、有一块宽为的正方形铁片，将它的两个边缘向上折起成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为，问高取何值时，水槽的流量最大？3、甲船位于乙船东75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而乙船则以每小时6海里的速度向北行驶，问经过多长时间两船相距最近？4
