[数学]复变函数第三章-2课件.ppt

1、13.3 柯西积分公式柯西积分公式设设 为单连通域为单连通域D内一点，内一点，在在D内解析，内解析，C为为D内内 0z)(zf绕绕 的一条闭曲线，考虑积分的一条闭曲线，考虑积分 0z0()Cf zIdzzz 函数函数 在在 不解析，所以在不解析，所以在D内沿围绕内沿围绕 的一条的一条 0)(zzzf0z0z曲线曲线C的积分的积分 一般不为零。一般不为零。dzzzzfC0)(根据闭路变形原理，此积分在根据闭路变形原理，此积分在D内沿任何一条围绕内沿任何一条围绕 0z的简单闭曲线的值都相同。下面求这个积分的值。的简单闭曲线的值都相同。下面求这个积分的值。2既然沿围绕既然沿围绕 的任何简单闭曲线积分

2、值都相同。那么的任何简单闭曲线积分值都相同。那么0z就取以就取以 为中心，半径为为中心，半径为 (0)的很小的很小 0z圆周圆周 (取其正向取其正向)作为积分作为积分曲线曲线C。)(zf)()(lim)(lim000zfzfzfzz从而使我们猜想积分从而使我们猜想积分 的的 dzzzzfC0值也将随着值也将随着 的减小而接近于的减小而接近于)(21)()(00000zifdzzzzfdzzzzfCC其实两者是相等的，即其实两者是相等的，即)(2)(00zifdzzzzfC即有下面的定理。即有下面的定理。由于由于 的连续性的连续性0zz3定理定理 (柯西积分公式柯西积分公式)设设f(z)在简单闭

3、曲线在简单闭曲线C所围成的区所围成的区域域D内解析，在内解析，在 上连续，上连续，z0是是D内一点，则内一点，则CDD001()()2Cf zf zdzizz（3.10）公式公式(3.10)称为称为柯西积分公式柯西积分公式。u柯西积分公式说明：柯西积分公式说明：如果一个函数在简单闭曲线如果一个函数在简单闭曲线C内部解析，在内部解析，在C上连续，上连续，则函数在则函数在C内部的值完全可由内部的值完全可由C上的值而定。上的值而定。l它不仅提供了计算某复变函数沿简单闭曲线积分的一种方法，它不仅提供了计算某复变函数沿简单闭曲线积分的一种方法，而且可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。而且可以帮助我们

4、研究解析函数的许多重要性质。4证证 0()()f zF zzz 在在D内除点内除点 外外0zz 均解析。现以点均解析。现以点 为中心，以充分小为中心，以充分小 0z的的 为半径作圆为半径作圆L:，使，使00zzL及其内部均含于及其内部均含于D内。内。在在C与与L所围的区域上应用闭路变形定所围的区域上应用闭路变形定理得理得LCdzzzzfdzzzzf00)()(因因 在在 处连续，则对任意给定的处连续，则对任意给定的 ，存在，存在)(zf0z0，使当，使当 时，就有时，就有 。00zz)()(0zfzf5由此由此 0000()()()()LLf zf zf zf zdzdzzzzzLLdzzzz

5、fzfdzzzzf0000)()(1)(Ldzzzzfzfzif000)()()(2其中其中2)()()()(0000LLLdsdszzzfzfdzzzzfzf这表明不等式左端积分的模可以任意小，只要这表明不等式左端积分的模可以任意小，只要 足够足够 小就行了。根据闭路变形原理，该积分的值与小就行了。根据闭路变形原理，该积分的值与 无关，所无关，所所以只有在对所有的所以只有在对所有的 积分值为零时才有可能。积分值为零时才有可能。因此，可得因此，可得001()()2Cf zf zdzizz 证毕证毕6如果如果C是圆周是圆周 ，由，由(3.10)可得下面推论可得下面推论.ieRzz0推论推论1 1

6、（平均值公式）（平均值公式）设设 在在 内解析，内解析，)(zfRzz0在在 上连续，则上连续，则Rzz0deRzfzfi)(21)(2000即即：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论推论2 2 设设 在简单闭曲线在简单闭曲线C1,C2所围成的二连域所围成的二连域D内解析内解析,)(zf并在并在C1,C2上连续上连续,C2在在C1的内部的内部,z0为为D内一点，则内一点，则 dzzzzfidzzzzfizfCC21000)(21)(21)(此式为此式为多连域柯西积分公式多连域柯西积分公式。7若将若将 看作变数，则（看作变数，则（3.

7、10）式写成如下形式：）式写成如下形式：0zdzfizfC)(21)(其中其中z在在C的内部。的内部。u柯西积分公式的应用柯西积分公式的应用:常根据柯西积分公式，通过求函数常根据柯西积分公式，通过求函数 f(z)在某一点在某一点 的值来求积分的值的值来求积分的值 0z00()2()Cf zdzif zzz 8【例【例3.14】求下列积分的值：求下列积分的值：(1)；(2);dzzzz2sindzizzzz22)(9(dzzzz43211(3).解解:(1)02sin2sin0zzzdzizz 9(2)dzizzzz22)(9(dzzdzzzz44321121226iii 由平均值公式还可推出解

8、析函数的一个重要性质由平均值公式还可推出解析函数的一个重要性质,即解析函数的最大模原理。即解析函数的最大模原理。592)(9222izzzzidzizzzdzzzz43211(3)10定理定理3.8(3.8(最大模原理最大模原理)设函数设函数 在区域在区域D内解析，又内解析，又 不是常数，不是常数，)(zf)(zf则在则在D内内 没有最大值。没有最大值。()f zl解析函数的最大模原理说明解析函数的最大模原理说明：一个解析函数的模一个解析函数的模,在区域内在区域内 的任何一点都达不到最大值的任何一点都达不到最大值,除非这个函数恒等于常数。除非这个函数恒等于常数。证证 记记 。若。若 ，则定理结

9、论成立，则定理结论成立.MzfDz)(maxM现设现设 ，用反证法，若，用反证法，若D内有一点内有一点 使使 ，M0zMzf)(0则由推论则由推论1(平均值公式平均值公式)，只要圆盘，只要圆盘 含于含于D，Rzz|0就成立着就成立着derzfzfi)(21)(2000(0).rR于是于是MderzfzfMi|)(|21)(200011由此推出由此推出Mderzfi|)(|21200可以证明，在可以证明，在 内内 。因为，若不然，。因为，若不然，Rzz|0Mzf)(就有一点就有一点 使使 ，故存在，故存在 0(0)izzr erR()f zM 使使 。由于。由于 在在 内为连内为连 0()f z

10、M|)(|zfRzz|0续，故在圆周续，故在圆周 上连续。于是存在着上连续。于是存在着 ，0|zzr0使当使当 时时，从而有从而有 20 Merzfi200 iierzferzf12因此有下面的估计因此有下面的估计derzfzfi2000)(21)(derzfderzfii,2,000)(21)(21MMM)()2(但这与但这与 相矛盾！所以相矛盾！所以 在在 Mzf)(0Mzf)(0Rzz0内成立。再由在内成立。再由在D内解析，就可知在内解析，就可知在 内恒为一常内恒为一常 Rzz0数，此常数的模为数，此常数的模为 。M以上证明了，若以上证明了，若D内有一点内有一点 使使 ，则只要圆，则只要

11、圆0zMzf)(0盘盘 含于含于D，在，在 内内 便恒等于一个模便恒等于一个模 Rzz0Rzz0)(zf为为 的常数。记的常数。记 。现在利用这一结果来证明，。现在利用这一结果来证明，MiaMezf)(在整个在整个D内内 恒等于常数。恒等于常数。)(zf（设M为函数模的最大值）13图图3.123.12 设设 是是D内任意一点。由内任意一点。由D的的连通性连通性,在在D内有一条折线内有一条折线l 连接连接*z 和和 (图图3.12).记记l 与与D的边界的的边界的距离为距离为d.在在l上从上从 到到 依次插依次插入分点入分点 ，使，使 0z*z*10,zzzzn dzzkk1)1,1,0(nk0

12、z*z则每个圆盘则每个圆盘 一定含于一定含于D内，且包含着点内，且包含着点 。dzzk11kz)1,1,0(nk根据上述证明的结果，在根据上述证明的结果，在 dzz0内，内，而，而 在此圆盘内，故在此圆盘内，故 。再。再 iaMezf)(1ziaMezf)(1从从 出发，用上述证明的结果知在出发，用上述证明的结果知在 内，内，Mzf)(1dzz1 ，而，而 在此圆盘内，故在此圆盘内，故 。经过。经过 iaMezf)(2ziaMezf)(2 步，就可证明步，就可证明 。由于。由于 的任意性，知的任意性，知1niaMezf)(*z在在D内内 。但这与原来给定。但这与原来给定 不为常数的条不为常数的

13、条 iaMezf)()(zf件相矛盾，故件相矛盾，故 在在D内没有最大值。内没有最大值。)(zf14证明二证明二:姑且假设姑且假设 在在D的内部达到最大值的内部达到最大值M；并把并把D内所有的使内所有的使 MzfMzf)(的点的集合记为的点的集合记为B。如果。如果B=D，那么我们在那么我们在D内处处内处处有有 ，即，即 是一常数，由此可知是一常数，由此可知 在在D内也是一常数。内也是一常数。Mzf)(这是与定理得假设相矛盾的。这是与定理得假设相矛盾的。zf zf如果如果B与与D不相同，那么必有这集合的一个边界点不相同，那么必有这集合的一个边界点z0存在，它存在，它同时也是同时也是D的一个内点。

14、由于的一个内点。由于 是连续的，有是连续的，有 因为在因为在z0的邻域内都必有的邻域内都必有B的点，作一个在区域的点，作一个在区域D内的圆周内的圆周C：使得在圆周上至少有一个使得在圆周上至少有一个集合集合D的点的点z1。这时。这时 ，又由于，又由于 是连续的，是连续的，zf Mzf0rzz0 Mzf1对于足够小的对于足够小的0，总可以指定圆周，总可以指定圆周C的这样的这样一个包含点一个包含点z1在内的部分在内的部分C1，使得在，使得在C1上有上有 zf15 Mzf把圆周的其余部分记为把圆周的其余部分记为C2，显然在，显然在C2上有上有 Mzf根据中值定理，有根据中值定理，有 dsrezfdsr

15、ezfrdrezfzfCiCii210020002121其中其中 是圆周的弧长单元是圆周的弧长单元rdds 12316.222)(212121112121000002121rlMrlrllMMllMrdsrezfdsrezfrdsrezfdsrezfrzfMCiCiCiCi则可以得到则可以得到由于由于 所以上式不可能成立，因此前面所做的假设不能所以上式不可能成立，因此前面所做的假设不能成立。因此最大值定理得证成立。因此最大值定理得证。021rl17推论推论1 1 在区域在区域D内解析的函数，若其模在内解析的函数，若其模在D的内点达到的内点达到 最大值，则此函数最大值，则此函数恒为常数恒为常数。

16、推论推论2 2 若若 在有界区域在有界区域D内解析，在内解析，在 上连续，则上连续，则)(zfD必在必在D的的边界上边界上达到最大模。达到最大模。)(zf证证 若若 在在D内为常数，推论显然正确。若内为常数，推论显然正确。若 在在D内内)(zf)(zf不恒为常数，由连续函数的性质及本定理立即得证。不恒为常数，由连续函数的性质及本定理立即得证。18【例【例3.15】设函数】设函数 在全平面为解析，又对任意在全平面为解析，又对任意 ,)(zf0r令令 。)(max)(zfrMrz 求证：求证：是是 的单调上升函数。的单调上升函数。)(rMr证证 因为对于任意的因为对于任意的 ，在在 上为解析上为解

17、析,所以由最所以由最0r)(zfrz 大模原理及其推论大模原理及其推论2知知 在在 上的最大值必在上的最大值必在 )(zfrz 上取得。上取得。rz)(max)(max)(zfzfrMrzrz因此，当因此，当 时，有时，有21rr 112212()max()max()max()max()()zrzrzrzrM rf zf zf zf zM r即：即：是是 的单调上升函数的单调上升函数。)(rMr就是说，就是说，193.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数u解析函数的导数仍然是解析的。解析函数的导数仍然是解析的。关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理：关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理：

18、定理定理 设函数设函数 在简单闭曲线在简单闭曲线C所围成的区域所围成的区域D内解析，内解析，)(zf而在而在 上连续，则上连续，则 的各阶导函数均在的各阶导函数均在D内解析，内解析，CDD)(zf对对D内任一点内任一点z，有，有dzfinzfCnn1)()(2!)(1,2,)n(3.11)即即：u解析函数的任意阶导数都存在。解析函数的任意阶导数都存在。20证证 先证先证 的情形。根据定义的情形。根据定义 1n zzfzzfzfz0lim从柯西积分公式得从柯西积分公式得 Cdzfizf21 Cdzzfizzf21从而有从而有dzzzfzizzfzzfC11)(21)()(dzzzfiC)()(2

19、1dzzzzfidzfiCC)()()(21)()(212221图图3.123.12 对上式右端的积分值，作如下的估计。对上式右端的积分值，作如下的估计。因因f()在在C上连续，可设上连续，可设M 是是 f()在在C上的上的最大值，又设最大值，又设 为点为点z到曲线到曲线C上各点的最上各点的最短距离，于是当短距离，于是当 在在C上时，有上时，有 ,z先取先取 (图图3.12)，2z则有则有,z,2zzzz 21zz因此因此dzfizzfzzfC2)()(21)()(Czzzdfiz)()()(2211 z22因为因为CCzzzdsfzzzdf22)()()()(3222MLLM其中其中L表示表

20、示C的长度，于是有的长度，于是有22)()(21)()(32zMLzdfizzfzzfC由此可知由此可知 zzfzzfzfz)()(lim)(0Czdfi2)(21即即 时时(3.11)式成立。式成立。1n23现在假定当现在假定当 时时(3.11)式成立，再来推证当式成立，再来推证当 )1(kkn时时(3.11)式也成立。为此将式也成立。为此将 看作看作 ，1 kn)()(zfk)(zf用类似于用类似于 情形的推证方法可证得情形的推证方法可证得 时时(3.11)1n1 kn式也成立。故由数学归纳法可证明式也成立。故由数学归纳法可证明 dzfinzfCnn1)()(2!)(证毕证毕 解析函数的高

21、阶导数公式解析函数的高阶导数公式u可从两方面应用这个公式：可从两方面应用这个公式：l用求积分来代替求导数；用求积分来代替求导数；l用求导的方法来计算积分，即用求导的方法来计算积分，即)(!2)()(1zfnidzfnCn24【例【例3.16】求下列积分的值，其中】求下列积分的值，其中C为正向圆周：为正向圆周：.1 rz1)；2)5cos1Czdzz 221zCedzz 解解:1)函数函数 在在C内的内的 处不解析，但处不解析，但 51coszz1zzcos在在C内却是处处解析的。内却是处处解析的。12cos!1521cos5145izidzzzzC由高阶导数公式有由高阶导数公式有25图图3.1

22、33.13 2)函数函数 在在C内的内的 处不解析。处不解析。221zeziz在在C内以为内以为i中心作一个正向圆周中心作一个正向圆周C1，以，以-i为为中心作一个正向圆周中心作一个正向圆周C2(图图3.13)，那么函数，那么函数 221zez在由在由C,C1和和C2所围成的区域内是解析的所围成的区域内是解析的.根据复合闭路定理，有根据复合闭路定理，有 21222222111CzCzCzdzzedzzedzze212222CzCzdzizizedzizize26由高阶导数公式有由高阶导数公式有 izzizzCzizeiizeidzze2222!122!12212121iieiei 41sin2

23、1sin1cos12122iiieeiii27【例【例3.17】计算积分】计算积分 ，其中，其中C为不经过点为不经过点 dzzzeCz3)1(0与与1的正向简单闭曲线。的正向简单闭曲线。此题没有明确给出积分路径此题没有明确给出积分路径C，我们必须就点，我们必须就点0，1与与C的各种的各种不同位置关系，利用柯西积分定理与柯西积分公式来计算。不同位置关系，利用柯西积分定理与柯西积分公式来计算。分析：分析：解解:(1)点点0，1均不在均不在C内部时内部时此时被积函数此时被积函数 在以在以C为边界的闭区域为边界的闭区域 3)1()(zzezfz上解析，由柯西积分定理得上解析，由柯西积分定理得 D0)1

24、(3dzzzeCz28(2)点点0在在C内，而点内，而点1在在C外时外时在在C内挖去点内挖去点0的邻域，由闭路变形原理与柯西积分公式得的邻域，由闭路变形原理与柯西积分公式得 izeidzzzedzzzezzCzCz2)1(2)1()1(03330其中其中C0是以点是以点0为中心而包含在为中心而包含在C内部的圆周。内部的圆周。izeidzzzedzzzezzCzCz2)1(2)1()1(03330(3)点点1在在C内，而点内，而点0在在C外时，同上可得外时，同上可得iezeidzzzedzzzezzCzCz133!22)1()1(1其中其中C1是以点是以点1为中心而包含在为中心而包含在C内部的圆

25、周。内部的圆周。iezeidzzzedzzzezzCzCz133!22)1()1(129(4)点点0，1均在均在C内部时内部时 C内两个互不相交且互不包含的圆周内两个互不相交且互不包含的圆周C0与与C1,C0以点以点0为圆心为圆心,C1以点以点1为圆心为圆心,则由多连通域的积分基本定理和柯西积分公式得则由多连通域的积分基本定理和柯西积分公式得 01333(1)(1)(1)2(2)zzzCCCeeedzdzdzzzzzzzie iie故故DDDDDDDDeiieidzzzeCz1,01,01,01,0)2(20)1(3当当当当当当当当其中其中D为为C所围成的区域。所围成的区域。30定理定理 设函

26、数设函数 在在 内解析。又内解析。又 ,)(zfRzz0Mzf)(0()zzR则有下列不等式则有下列不等式 nnRMnzf!)(0)(1,2,)n（。柯西不等式柯西不等式证证 对于任意的对于任意的 ：，在在 1RRR 10)(zf10Rzz上解析，故由高阶导数公式有上解析，故由高阶导数公式有 dzzzzfinzfRzznn10100)()()(2!)(),2,1(n估计右端的模得到估计右端的模得到nRzznnRMndzzzzfnzf1100)(!)(2!)(10令令 便得便得RR 1nnRMnzf!)(0)(),2,1(n31从柯西不等式可以推出另一重要定理。从柯西不等式可以推出另一重要定理。

27、刘维尔刘维尔(Liuville(Liuville)定理定理 设函数设函数 在全平面上为解析且在全平面上为解析且 )(zf有界，则有界，则 为一常数。为一常数。)(zf证证 设设 是平面上任意一点，对任意正数是平面上任意一点，对任意正数R，在在 0z)(zf内为解析，又在全平面有界，设内为解析，又在全平面有界，设 ，Rzz|0Mzf)(由柯西不等式得由柯西不等式得 0()MfzR，令令 ，即得，即得 =0。由的任意性，知在全平面上。由的任意性，知在全平面上 R)(0zf有有 。故为一常数。故为一常数。0)(zf32作业：作业：3.2，3.3，3.5，3.7，3.10（1，3），），3.11，3.

28、13（1，2），3.1433习题：习题：计算积分，其中积分路径计算积分，其中积分路径为：为：（）自原点到的直线段（）自原点到的直线段（）圆周（）圆周dzzC2z设设为单位圆的上半圆周，计算为单位圆的上半圆周，计算（）（）（）（）（）（）Cdzz1Cdzz1Cdzz1求积分的值，求积分的值，CdzzzzI21132,1,rrz其中其中为为若在上若在上(z)解析，证明解析，证明Rz zfdzRzfizRR2222取正向其中RRz,34解：（）线段OA的参数方程为：)10(,010ttiz即dtidztiz)1(,)1(而ttiz21)1(22)1(2)1(21010idttidtitdzzC35（

29、）圆周的参数方程为2zdiedzezii2,20204222020dededzziiC36解：,0,)(:iezC由此ddzdiedzi,;2sincos2sin2cos11000020diidiidiediedieedzziiiiC于是（）37;21sincos1100ididedzziC（）42sin22sin4sin1cos110020220ddddedzziC（）38解解:（）当时，设，那么（）当时，设，那么f(z)在内在内解析。所以，解析。所以，10 r211)(zzzf而而所以所以39（）当时，作圆（）当时，作圆C0,C1,这时根据复合闭路定理得这时根据复合闭路定理得21 r40（）当（）当r时，作圆时，作圆C0,C1,C，这时，这时210CCCI右端第一，第二两个积分的和就是右端第一，第二两个积分的和就是（）中的结果，即等于。在（）中的结果，即等于。在右端第三个积分中，设右端第三个积分中，设12i11)(3zzzf此函数在此函数在C中解析。中解析。12112222112332izziifdzzzzzC0121121iiI41设设 zRfF2则在内解析，所以 FR zfziFizRdzFizRdzRzfizRRR)(22222222222若在上若在上(z)解析，证明解析，证明Rz zfdzRzfizRR2222取正向其中RRz,