第五章根轨迹设计方法-控制工程基础教学课件.ppt

1、控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 主要内容主要内容第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念第二节第二节 绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹的基本条件第三节第三节 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则第四节第四节 广义根轨迹广义根轨迹第五节第五节 利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能1控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 系统系统稳定的充要条件是其闭环极点全部具有负的稳定的充要条件是其闭环极点全部具有负的实部。实部。闭环极点决定了闭环系统瞬态响应的基本特征。闭环极点决定了闭环系统瞬态响应的基本特征。

2、因此，在分析和处理闭环系统问题时，确定因此，在分析和处理闭环系统问题时，确定闭环极点闭环极点在在 s 平面平面上的位置是十分重要的。而且在上的位置是十分重要的。而且在设计闭环系设计闭环系统时，也往往通过调整开环极点和零点的位置，使闭统时，也往往通过调整开环极点和零点的位置，使闭环极点和零环极点和零点位于点位于 s 平面平面上所希望的区域。上所希望的区域。根轨迹根轨迹设计方法是基于系统开环极点和零点与闭设计方法是基于系统开环极点和零点与闭环极点和零点的内在联系建立的一种图解方法，是经环极点和零点的内在联系建立的一种图解方法，是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。典控制理论中对系统进

3、行分析和综合的基本方法之一。2控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 根轨迹根轨迹图是闭环系统特征方程的根图是闭环系统特征方程的根(即闭环极点即闭环极点)随随开环开环系统某一参数由零变化到无穷大系统某一参数由零变化到无穷大时在时在ss平面上的平面上的变化轨迹。变化轨迹。一一根轨迹根轨迹(图图)开环极点开环极点 没有零点。式中没有零点。式中 为开环增益。为开环增益。10,p 22 p K 为了说明根轨迹的基本概念为了说明根轨迹的基本概念，以，以图图5-1-15-1-1所示系统为例，所示系统为例，分析分析系统参数系

4、统参数K 由由零到正无穷大变化时，闭环特征方程的零到正无穷大变化时，闭环特征方程的根在根在ss平面平面上变化的情况。上变化的情况。解：系统解：系统开环传递函数为开环传递函数为(5-1-1)2()(0.51)(2)KKG ssss s 图图5-1-1 5-1-1 控制系统方框图控制系统方框图)15.0(SSK)(SC)(SR3控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 系统系统的闭环传递函数的闭环传递函数(s)()1(s)(s)GsGH2222KssK系统的特征方程为系统的特征方程为2()220D SssK特征方程的根是特征方程的根是1211 ,11sKsK 12

5、0,2ss当当 时时,0K 图图5-1-1 5-1-1 控制系统方框图控制系统方框图)15.0(SSK)(SC)(SR系统开环增益系统开环增益 K K 和和系统闭环特征根系统闭环特征根的关系的关系:2,021ss707.1,293.021ss1,121ssjsjs1,121当当K K0 0时，时，当当K K0.250.25时时，当当K K0.50.5时，时，当当K K1 1时，时，4控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 js11js12K当当 变化变化时时，0则则K由由 变化变化时，闭环特征方程的时，闭环特征方程的根在根在ss平面平面上上移动的移动的轨迹轨

6、迹如如图图5-1-25-1-2。j01231(0)K(0)K(1)K()K()K 图图5-1-2 5-1-2 图图5-1-15-1-1的的根轨迹根轨迹5控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 K 当当系统参数系统参数 为为某一确定的值时，闭环系统特征某一确定的值时，闭环系统特征方程的方程的根在根在SS平面平面上变化的位置便可确定，由此可上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能。进一步分析系统的性能。值值的变化对闭环系统特征的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也

7、一目了然。所以用根轨迹图来分对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。析自动控制系统是十分方便的。K 19481948年伊万斯年伊万斯（WREVANSWREVANS）解决了这个问题，解决了这个问题，提出了提出了根轨迹法。根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特该方法不需要求解闭环系统的特征方，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根征方，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。轨迹图。6控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 第二节第二节 绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹的基本条件一一闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极

8、点与开环零、极点的关系()()()()B sG s H sR s(5-2-1)闭环传递函数为闭环传递函数为 (5-2-2)图图5-2-1 5-2-1 控制系统方框图控制系统方框图开环传递函数为开环传递函数为一般情况下，前向通道的传递函数一般情况下，前向通道的传递函数G(s)可可表示成表示成()()()()1()()C sG ssR sG s H s()R s()G s()H s()C s B(sB(s)7控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 11(1)()(1)fiiGgviisG sKsTs(5-2-3)前向前向通通路增益路增益前向通路前向通路根根轨迹增

9、益轨迹增益*11()()fiiGgviiszKssp*11fiiGGgiiKKT(5-2-4)式中，式中，iiz1iiTp1反馈通路传递函数反馈通路传递函数H(s)H(s)可分别表示可分别表示11(1)()(1)ljjHhjjsH sKT s(5-2-5)1*1()()ljjHhjjszKsp反馈反馈通通路增益路增益反馈通路反馈通路根根轨迹增益轨迹增益(5-2-6)1*1ljjHHhjjKKT式中，式中，jjz1jjTp18控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 前向通路传递前向通路传递函数函数零点。零点。前向通路前向通路传递传递函数极点。函数极点。反馈通路

10、传递反馈通路传递函数函数零点。零点。反馈通路反馈通路传递传递函数极点。函数极点。11*11()()()()()()flijijghvijijszszGs HsKsspsp(5-2-7)开环系统的极点数开环系统的极点数mflnghv开环系统的零点数开环系统的零点数*GHKK K开环系统开环系统根根轨迹增益。轨迹增益。9控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 闭环零点由前向通路传递函数零点和反馈通路闭环零点由前向通路传递函数零点和反馈通路传递函传递函数极点数极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。结论：

11、结论：闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹通路根轨迹增益；增益；闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。关。*11*1111()()()()()()()fhGijijgfhlijijijijKszspssspspKszsz(5-2-8)系统的闭环传递函数如下系统的闭环传递函数如下10控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 根轨迹法的基本任务在于：根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过的分布及根轨迹增益

12、，通过图解的方法找出闭环极点。图解的方法找出闭环极点。11控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 二、根轨迹方程二、根轨迹方程-相角条件、幅值条件相角条件、幅值条件闭环系统的特征方程为：闭环系统的特征方程为：0)()(1sHsG (5-2-9)绘制绘制根轨迹的实质就是寻求闭环特征方程在参数发生变根轨迹的实质就是寻求闭环特征方程在参数发生变化时的根化时的根。因此满足方程式因此满足方程式1)()(sHsG(5-2-10)或或*11()1()miinjjKszsp()nm(5-2-11)的的s值，都必定是根轨迹上的点，称式值，都必定是根轨迹上的点，称式（5-2-1

13、15-2-11）为为根轨迹根轨迹方程方程(Root-Locus Equation)。12控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 由于由于 为复数，根轨迹方程为复数，根轨迹方程 ，根据根据等式两边的相角和幅值分别相等的条件，可将式（等式两边的相角和幅值分别相等的条件，可将式（5-2-115-2-11）分）分解为下面两个方程。解为下面两个方程。()()G s H s()()1G s H s 向量向量-1-1的幅值相角形式为的幅值相角形式为 相角条件相角条件(Angle Condition)(5-2-12)或或)12()()(11kpszsnjjmii(5-2-1

14、3)11(21)k 0,1,2k()()(21)G s H sk 13控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 幅值条件幅值条件(Magnitude Condition)1)()(sHsG(5-2-14)即即*111miinjjKszsp (5-2-15)因此因此，满足幅值条件和相角条件的满足幅值条件和相角条件的s值，就是特征方程的值，就是特征方程的根，也就是闭环极点根，也就是闭环极点。14控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 满足满足相角条件相角条件的的s 值值代入幅值条件方程式中，代入幅值条件方程式中，总可以求得一个对

15、应的总可以求得一个对应的 。*K 也就是说，也就是说，s值值满足相角条件方程，则必定也同时满足相角条件方程，则必定也同时满足幅值条件方程。满足幅值条件方程。所以，相角条件方程是决定闭环所以，相角条件方程是决定闭环特征根的充要条件。也就是说要画出系统的根轨迹，特征根的充要条件。也就是说要画出系统的根轨迹，只要在只要在ss平面平面上找到满足相角条件的点就可以了。上找到满足相角条件的点就可以了。由根轨迹方程可以看出：由根轨迹方程可以看出：15控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 030K图图5-2-2 5-2-2 系统系统的根轨迹图的根轨迹图 图5-2-2 系统

16、解：解：31p为为开环极点开环极点 幅值条件幅值条件 相角条件相角条件 即即(3)(21)sK 180(极点极点3 3到到 可构成的可构成的向量与向量与实轴成实轴成 。j例例5-15-1 单位负单位负反馈系统的反馈系统的开环传递函数为开环传递函数为 绘制绘制其根轨迹。其根轨迹。()3KG ss|3|ks(3)(21)sk16控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 例例5-25-2 单位负反馈系统的单位负反馈系统的开环传递函数为开环传递函数为 绘制其根轨迹。绘制其根轨迹。(6)()4K sG ss解：解：41p为开环极点为开环极点 61z为开环零点为开环零点

17、幅值条件幅值条件 相角条件相角条件 闭环极点到闭环极点到-6-6的夹角与到的夹角与到-4-4的夹角差为的夹角差为180-4-60 图图5-2-3 5-2-3 例例5-25-2的的根轨迹图根轨迹图0KKj|4|6|SKS(6)(4)(21)SSK17控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 例例5-35-3 单位负反馈系统的单位负反馈系统的开环传递函数为开环传递函数为 ，如如何应用根轨迹方程在何应用根轨迹方程在ss平面上找到闭环极点。平面上找到闭环极点。()(21)KG sss解：解：系统有两个开环极点系统有两个开环极点 120,0.5pp幅值条件幅值条件)12

18、(ssK或或*(0.5)Ks s相角条件相角条件(0.5)(21)ssK 如如图图5-2-45-2-4所示，假设所示，假设s1 1,s2 2分别为系统根轨迹上的点分别为系统根轨迹上的点，根，根据据相角条件，有相角条件，有*0.5()(21)(0.5)(0.5)KKKG ss ss ss s18控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 11112()()()1800180G sspsp22122()()()13545180G sspsp 故故横轴上横轴上(0,-0.5)(0,-0.5)区间为系统根轨迹，过点区间为系统根轨迹，过点(-0.25(-0.25，j0)0

19、)且与横轴垂直的直线为系统的根轨迹。如图且与横轴垂直的直线为系统的根轨迹。如图5-2-45-2-4所示。所示。j00.51s1p2p2s图图5-2-4 5-2-4 系统的根轨迹系统的根轨迹19控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 从上述几个图从上述几个图可以看出：可以看出：(1)(1)根据幅值条件和相角条件，可以绘制出系统的根轨迹；根据幅值条件和相角条件，可以绘制出系统的根轨迹；(2)(2)当当k值取定后，根轨迹图给出了一组闭环极点的分布；值取定后，根轨迹图给出了一组闭环极点的分布；(3)(3)根据系统闭环极点的情况，可大致知道系统根据系统闭环极点的情况，

20、可大致知道系统的性能。的性能。20控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 第三节第三节 绘制根轨迹的规则绘制根轨迹的规则 通常把以开环根轨迹增益通常把以开环根轨迹增益 为为可变参数绘制的根轨迹称为可变参数绘制的根轨迹称为普通根轨迹普通根轨迹或或一般根轨迹一般根轨迹。*K 下面下面讨论绘制普通根轨迹的基本规则，这些基本规则同样讨论绘制普通根轨迹的基本规则，这些基本规则同样适用于其他参数可变的情况适用于其他参数可变的情况。规则一规则一 根轨迹的分支数、连续性、对称性根轨迹的分支数、连续性、对称性规则二规则二 根轨迹的始点和终点根轨迹的始点和终点规则三规则三 实轴

21、上的根轨迹实轴上的根轨迹规则四规则四 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线规则五规则五 根轨迹的分离点根轨迹的分离点规则六规则六 根轨迹的起始角与终止角（出射角或入射角）根轨迹的起始角与终止角（出射角或入射角）规则七规则七 根轨迹与虚轴的交点及临界增益值根轨迹与虚轴的交点及临界增益值21控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 规则一规则一 根轨迹根轨迹的分支数、连续性和对称性的分支数、连续性和对称性 分支分支数：数：即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特特征方程征方程的根（即闭环极点的根（即闭环极点）在）在ss平面平面上的

22、分布，那么，根轨上的分布，那么，根轨迹迹的分支的分支数就应等于系统特征方程的阶数。数就应等于系统特征方程的阶数。max(,)m nmax(,)m n其阶次为其阶次为故分支数为故分支数为 连续性连续性：系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益 (实变量）实变量）与复变量与复变量ss有有一一对应的关系，当一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根统特征方程根的复变量的复变量ss在在平面上的变化也是连续的，因此，平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是连续的根轨迹是连续的曲线。曲线。*K*K 对称性对称性：由于实际的物理系统的参数都是实数，如果它由于实际的

23、物理系统的参数都是实数，如果它的的特征方程特征方程有复数根的话，一定是对称于实轴的共轭复根，因有复数根的话，一定是对称于实轴的共轭复根，因此此，根轨迹，根轨迹总是对称于实轴的。总是对称于实轴的。系统的特征方程式系统的特征方程式*11()()0nmjijispKsz22控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 根轨迹根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。结论：结论：23控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 规则二规则二 根轨迹的起点和

24、终点根轨迹的起点和终点*11()()0mnijijKszsp起点起点*0K(5-3-3),2,1(njpsj(5-3-4)即：即：根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点。所以所以根轨迹方程根轨迹方程(5-3-2)时，闭环极时，闭环极点等于开环极点。点等于开环极点。0*K*11()1()miinjjszKsp 1()0njjsp终点终点*K(5-3-5)*111()()0mnijijszspK1()0miisz24控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法),2,1(mizsi所以所以即：即：根轨迹终止于开环零点根轨迹终止于开环零点。1 1当当m=n时时，即开环

25、零点数与极点数相同时，根轨迹的起，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。点与终点均有确定的值。2 2当当mn时时，即开环零点数大于开环极点数时，除有，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条条根轨迹起始根轨迹起始于开环极点于开环极点(称为有限极点称为有限极点)外，还有外，还有m-n条根轨迹条根轨迹起始起始于无穷远点于无穷远点(称为无限极点称为无限极点)。0lim1limlim11nmsmnsmiinjjssszspsK25控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 根轨迹根轨迹起始于开环极点起始于开环极点 ，终止于开环零点，终止于开环零点 ；

26、如果开环极点数；如果开环极点数n大于开环零点数大于开环零点数m，则有，则有n-m条条根轨迹根轨迹终止于终止于 s 平面平面的无穷远处的无穷远处(无限零点无限零点)，如果开环零，如果开环零点数点数m大于开环极点数大于开环极点数n，则有，则有m-n条根轨迹条根轨迹起始于起始于 s 平平面面的无穷远处的无穷远处(无限极点无限极点)。*(0)K*()K 结论：结论：26控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 若若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。则该线段是实轴上的根轨迹。规则三规

27、则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 即即：实轴上的根轨迹，其右边开环零点和极点的个数：实轴上的根轨迹，其右边开环零点和极点的个数之和之和为为奇数。奇数。由相角条件由相角条件11()()(21)0,1,2,mnijijszspkk (5-3-6)可知可知，开环零点和开环极点到某条根轨迹上的某一点的夹，开环零点和开环极点到某条根轨迹上的某一点的夹角为角为 的奇数倍的奇数倍。27控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 为确定实轴上的根轨迹，选择为确定实轴上的根轨迹，选择s s0 0作为试验点。图作为试验点。图5-3-15-3-1中，开环极点到中，开环极点到s s0

28、 0的向量的相角为的向量的相角为 开环零点到开环零点到s s0 0的向量的相角为的向量的相角为 j(1,2,3,4)j i(1,2,3,4)i 共轭复数极点共轭复数极点 1p和和 2p到到s s0 0的向量的相角和为的向量的相角和为122共轭复数零点共轭复数零点 3z和和 4z到到s s0 0的向量的相角的向量的相角和为和为 。342 因此因此，当我们在确定实轴上的某点是否在根轨迹上时，可以不考虑复，当我们在确定实轴上的某点是否在根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。数开环零、极点对相角的影响。图图5-3-1 5-3-1 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹0s011p44p11z33p

29、22p2z23z34z4 sj28控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 下面分析位于实轴上的开环零、极点对相角的影响下面分析位于实轴上的开环零、极点对相角的影响。实轴实轴上，上，s s0 0点左侧的开环零点点左侧的开环零点 到到s0 0的向量的相角为的向量的相角为0 0，而，而s0 0点点右侧的开环零点右侧的开环零点 和开环极点和开环极点 到到s0 0的向量的相角均的向量的相角均为为 。若。若s0 0为根轨迹上的点，则必须满足相角条件，即为根轨迹上的点，则必须满足相角条件，即34,pp2z1z4411(21)ijijK 由由以上分析可知，只有以上分析可知，

30、只有s0 0点右侧的开环零点和开环极点的点右侧的开环零点和开环极点的个数之和为奇数时，才能满足相角条件。所以，在图个数之和为奇数时，才能满足相角条件。所以，在图5-3-15-3-1中，中，实轴上的实轴上的根轨迹为根轨迹为 和和 两段。两段。43(,)p p21(,)z z29控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 规则四规则四 根轨迹的渐近线渐近线根轨迹的渐近线渐近线 当当开环极点数开环极点数n大于开环零点数大于开环零点数m时，系统有时，系统有n-m条根轨迹条根轨迹终止于终止于 s 平面平面的无穷远处，这的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫条根轨迹变

31、化趋向的直线叫做根轨迹做根轨迹的渐近线。的渐近线。渐近线与实轴的交点位置为渐近线与实轴的交点位置为 ,与实轴正方向的交角为与实轴正方向的交角为aa11nmijijapznma210,1,2,1kkn mn m(5-3-7)(5-3-8)k 取取不同不同值时值时,有有 个个 ,故渐近线有故渐近线有 条，事条，事实上有实上有 个无限远零点。个无限远零点。mn amn mn 30控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 规则五规则五 根轨迹根轨迹的分离点的分离点 两两条或两条以上根轨迹条或两条以上根轨迹分支在分支在ss平面平面上相遇又立即分开上相遇又立即分开的点的点

32、,称为称为根轨迹的分离点根轨迹的分离点(会合点会合点)。分离点的坐标分离点的坐标d1111mnjijidzdp0*dsdK(5-3-9)或或开环零点开环零点的数值的数值。开环极点开环极点的数值。的数值。(5-3-10)分离角为分离角为 lk)12(1,1,0lk进入分离点进入分离点的分支数。的分支数。必须必须指出，指出，规则五中用来确定分离点的条件只是必要规则五中用来确定分离点的条件只是必要条件，而不是充分条件条件，而不是充分条件。31控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 一般情况下一般情况下 (1)(1)在实轴上，两个相邻极点间的根轨迹必有一分离点；在实

33、轴上，两个相邻极点间的根轨迹必有一分离点；(2)(2)在实轴上，两个相邻零点间的根轨迹必有一会合点；在实轴上，两个相邻零点间的根轨迹必有一会合点；(3)(3)在实轴上，两个相邻的零极点间若存在根轨迹，则在实轴上，两个相邻的零极点间若存在根轨迹，则该段根轨迹上一般无会合点；该段根轨迹上一般无会合点；(4)(4)实轴实轴上，分离点的分离角上，分离点的分离角恒为恒为 。9032控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 起始角起始角根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。向的夹角。图图5-3-2-a 5-3-2

34、-a 根轨迹的起始角根轨迹的起始角j1p2p3p01p2p21pp 规则六规则六 起始角与终止角起始角与终止角 33控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 根轨迹根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。（2 2）终止终止角角j1z2z01z2z1p2p图图5-3-2-b 5-3-2-b 根轨迹的终止角根轨迹的终止角 21zz 34控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 例例5-45-4 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为*112()()()()()

35、K szG s H sss spsp 且且 和和 为为一对共轭复数极点，一对共轭复数极点，和和 分别分别为为实极点实极点和和实零点，实零点，它们在它们在 s 平面平面上的分布如图上的分布如图4-2-94-2-9所示。试所示。试依据相角依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点条件求出根轨迹离开开环复数极点 和和 的起始角的起始角 和和 。1p2p3p1z1p2p1p2p35控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 对于根轨迹上无限靠近对于根轨迹上无限靠近p1 1的点的点A，由相角条件可得，由相角条件可得1231()()()()180AzApApAp 11()pAp

36、由于由于A点无限靠近点无限靠近 点点,1p解：解：图图5-3-35-3-3起始起始角角 的求取的求取 1pssj1z1p2p3p)(31pp)(21pp)(11zp 01pA3121111180ppppzpp36控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 推广为一般情况可得求起始角的关系式为推广为一般情况可得求起始角的关系式为1111180()()()mlnplljlilijii lpzpppp 1111180()()()nlmzlliljljijj lzpzzzz 同理，可得到求终止角的关系式为同理，可得到求终止角的关系式为37控制工程基础机电工程学院机电工程

37、学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 规则七规则七 根轨迹根轨迹与虚轴的交点及临界增益值与虚轴的交点及临界增益值 根轨迹根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。此时对应的增益为临界增益部为零）。此时对应的增益为临界增益 。*cK令令 得得sj10G jH j110emRG jHjIG jHj即即具体做法：具体做法：10eRG jH j 10mIG jH j实部方程实部方程虚部方程虚部方程c*cK 使使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。统开环根

38、轨迹增益的临界值。的的物理含义：物理含义：*cK38控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 例例5-5 5-5 已知一负反馈控制系统的开环传递函数为已知一负反馈控制系统的开环传递函数为*2()()(4)(420)KG s H ss sss，求，求系统根轨迹与虚轴的交点。系统根轨迹与虚轴的交点。即即 解：解：(1)(1)用劳斯判据计算用劳斯判据计算系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为1()()0G s H s432*836800ssssK由上式列劳斯表由上式列劳斯表*0*1*23*426)260(826808361KsKsKssKs026*2 Ks 当当 时，

39、表中时，表中 行元素全为零。行元素全为零。按按 行的元素组成下列的辅助方程式：行的元素组成下列的辅助方程式：260*K1s2s39控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 由于由于 260*K，因而该方程式的，因而该方程式的 102,1js处，对应的处，对应的*K值为值为260260。(2)(2)用用 js 直接代入方程求解直接代入方程求解这时闭环极点这时闭环极点 js 1()()0G s H s由由 有有 1()()0G jH j又由又由Re1()()0Im1()()0G jH jG jH j解临界增益值解临界增益值*K和与虚轴的交点和与虚轴的交点 0)88

40、0(036224jK联立解上述方程式，得联立解上述方程式，得 260,10K40控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 以上以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外此外，绘制一幅完整的根轨迹图尚须注意以下几点规范画法绘制一幅完整的根轨迹图尚须注意以下几点规范画法。根轨迹的起点根轨迹的起点(开环极点开环极点 )用符号用符号“”“”标示；根轨迹的标示；根轨迹的终点终点(开环零点开环零点 )用符号用符号“”“”标示。标示。ipjz 根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益

41、 值的增加值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。*K 要标出一些特殊点的要标出一些特殊点的 值，其中直接标出的有起点值，其中直接标出的有起点(或或 )，终点，终点()()；根轨迹与实轴的交点即实轴；根轨迹与实轴的交点即实轴上的分离点上的分离点()()；与虚轴的交点；与虚轴的交点()()。还有一些要求。还有一些要求标出的闭环极点标出的闭环极点 及其对应的开环根轨迹增益及其对应的开环根轨迹增益 ，也应在根轨，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析和综合。迹图上标出，以便于进行系统的分析和综合。*K,dd K*,ccK1s*0K*K*0K 1K4

42、1控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 例例5-65-6 已知某单位负反馈系统的的开环传递函数为已知某单位负反馈系统的的开环传递函数为)3)(2()1()(*ssssKsG试绘制其根轨迹。试绘制其根轨迹。解：解：规则一规则一 分支数分支数为为3 3 规则规则二二 起点起点为为0 0，-2-2，-3-3；终点为；终点为-1-1，无穷远。，无穷远。规则规则三三 实轴实轴上的根轨迹上的根轨迹-1-1，00和和-3-3，-2-2。规则规则四四 渐进渐进线线 2n m90)12(mnk221320规则五规则五 分离点分离点在在-3-3，-2-2内内。或或)1()3)

43、(2(ssssK因为因为(1)1()10(2)(3)K sG ss ss 32(28106)0dKsssds-2-20 0-1-1-3-3j图图5-3-4 5-3-4 根轨迹图根轨迹图解得解得47.21s(分离点分离点)3,2s(舍去舍去)42控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 j0123例例5-75-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。试绘制该系统完整的根轨迹图。10.42d 21.58()d 舍解：解：规则一规则一规则二规则二1230,1,2ppp=3分支数规则三规则三(2,10规则四规则四a1 213

44、000a1a2a360,180,60 规则五规则五2p1p3p分离点分离点1d*K*K 图图5-3-5 5-3-5 例例5-75-7的根轨迹图的根轨迹图3110iidp*2(6)cjK*2(6)cjK*()()(1)(2)KG s H ss ss规则六规则六无起始角和终止角无起始角和终止角规则七规则七2c*6cK 43控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 规则七规则七32*320jjK令令 得得sj虚部虚部320*230K实部实部10()舍2c*6K 44控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法*2(2)()()22K s

45、G s H sss例例5-85-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制试绘制该该 系统完整的根轨迹图。系统完整的根轨迹图。12z 1,21pj 规则一规则一规则二规则二规则三规则三规则四规则四规则五规则五规则六规则六实轴上由实轴上由-2-2至至-的线段为实轴上的根轨迹的线段为实轴上的根轨迹=2分支数13.414d 20.586()d 舍11112180()()1804590135ppzpp 21135pp 0a180a45控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 0-1-2-3-4 s 1 1-1-1j13.414d*1(0)p K*2(

46、0)p K*1()z K*()K 2,R(2,0)j圆心222(2)(2)uv图图5-3-6 5-3-6 例例5-85-8的根轨迹图的根轨迹图46控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 结论结论由两个开环极点（由两个开环极点（实极点或复数极点实极点或复数极点）和一个开）和一个开环实零点组成的系统，只要实零点没有位于两个环实零点组成的系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个

47、圆圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆(当开环极点为两个实极点时当开环极点为两个实极点时)或圆的一部分或圆的一部分(当当开环极点为一对共轭复数极点时开环极点为一对共轭复数极点时)。*K47控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 例例5-95-9 闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为 0)204)(4(*2Kssss利用利用MATLABMATLAB绘制的系统的根轨迹。绘制的系统的根轨迹。图图5-3-7 5-3-7 例例5-95-9的的根轨迹图根轨迹图syms snum=1;den=sym2poly(expand(s*(s+4)*(s2+4*s+20)

48、;rlocus(num,den)48控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法*2()()(2)(22)KG s H ss sss练习练习 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。试绘制该系统完整的根轨迹图。49控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 s)(3rKP)(4rKP)0(2rKP)0(1rKP90rKrKrKrK-20-1-0.23512)5(1rcKjj 图（图（a a）根轨迹根轨迹图图50控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 第四节第四

49、节 广义根轨迹广义根轨迹 以上以上所述的根轨迹都是以开环增益所述的根轨迹都是以开环增益 作为可变参量，这在作为可变参量，这在实际系统中是最常见的。但在实际中还有许多种类的根轨迹，实际系统中是最常见的。但在实际中还有许多种类的根轨迹，它们是：它们是：*k(1)(1)参数根轨迹。参数根轨迹。(2)(2)多回路系统的根轨迹。多回路系统的根轨迹。(3)(3)正反馈回路和零度根轨迹。正反馈回路和零度根轨迹。通常将以上这些根轨迹称为通常将以上这些根轨迹称为广义根轨迹广义根轨迹。51控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 一、一、参数根轨迹参数根轨迹设系统的开环传递函数为

50、设系统的开环传递函数为则系统的闭环特征方程为则系统的闭环特征方程为 用用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零、极开环零、极点位置，时间常数或反馈系数点位置，时间常数或反馈系数等对系统性能的影响。绘制这类等对系统性能的影响。绘制这类参数变化的根轨迹的方法与前面讨论的规则相同，但在绘制根参数变化的根轨迹的方法与前面讨论的规则相同，但在绘制根轨迹之前，要先求出系统的轨迹之前，要先求出系统的等效传递函数等效传递函数。(5-4-1)1()()()()0G s H sN sKM s (5-4-2)将方程左端展开成多项式，用不含待讨论参数的各项除以方程将方程左端