1、第第1 1课时集合的概念课时集合的概念第第1 1章章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.通过实例理解集合的含义.(数学抽象)2.明确集合中元素的三个特性.(逻辑推理)3.体会元素与集合的“属于”关系,记住常用数集的表示符号并会应用.(逻辑推理)课前篇课前篇 自主预习自主预习情境导入军训的时候,随着教官一声口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同学都从四面八方聚集到教官的身边来,不是高一(1)班的同学就会自动走开,这样就把“一些确定的不同的对象”聚集在一起了.这就是我们将要学习的集合问题.知识点拨一、集合的概念一般地,一定范围内某些确定的、不
2、同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.名师点析 集合的三个特性(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.微思考(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合?提示(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合,因为“帅哥”没有明确的标准.(2)某班身高高
3、于175厘米的男生能构成一个集合,因为标准确定.二、集合中元素的特性1.确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则x或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.2.互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.3.无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如由1,2,3组成的集合,也可以写成由1,3,2组成的一个集合,它们都表示同一个集合.名师点析 1.集合中的元素必须满足“确定性”“互异性”“无序性”,因此在解决有关问题时,应从这三个方面入手,逐一考虑,不可忽略任何一个方面.2.解决与集合有关的问题时,
4、要充分利用集合中元素的“三性”.一方面,我们要利用集合中元素的“三性”找到解题的“突破口”;另一方面,解决问题的同时,应注意检验元素是否满足集合中元素的“三性”.微思考 集合中的元素不能相同,这就是元素的互异性,如何理解这一性质?提示 一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不能重复出现的.微练习 由“look”中的字母组成的集合中元素个数为()A.1B.2C.3D.4答案 C解析 集合中任何两个元素都不相同,所以集合中的元素有3个,分别是l,o,k.故选C.三、元素与集合的关系 关系 概念记法读法属于如果a是集合A的元素,就说a属于集合AaAa属于A不属于如果a不是集合A的
5、元素,就说a不属于集合AaA或aAa不属于A要点笔记1.符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系,对于一个元素a与一个集合A而言,只有“aA”与“aA”这两种结果.2.和具有方向性,左边是元素,右边是集合.微练习 1已知集合M中有两个元素3和a+1,且4M,则实数a=.答案 3解析 由题意可知a+1=4,即a=3.微练习 2集合A中含有三个元素0,1,x,且x2A,则实数x的值为.答案-1解析 当x=0,1,-1时,都有x2A,但考虑到集合中元素的互异性,x0,x1,故x=-1.四、常见的数集及表示符号 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR微思考 N,N*(N+)的区
6、别是什么?提示 集合N中包括0,集合N*(N+)中不包括0.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一集合的基本概念集合的基本概念例1考察下列每组对象,能构成集合的是()中国各地最美的乡村;直角坐标系中横、纵坐标相等的点;不小于3的自然数;第31届奥运会金牌获得者.A.B.C.D.答案 B解析 中“最美”标准不明确,不符合确定性,中的元素标准明确,均可构成集合,故选B.反思感悟判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.变式训练1判断下列说法是否正确,并
7、说明理由.(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合;(2)平面直角坐标系中第一象限的一些点组成一个集合;(3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的集合有3个元素.解(1)正确,(1)中的元素是确定的,可以构成一个集合.(2)不正确,“一些点”标准不明确,不能构成一个集合.(3)不正确,方程的解只有1和-2,集合中有2个元素.探究二探究二元素与集合的关系元素与集合的关系例2(1)下列所给关系正确的个数是()R;Q;-1N*;|-5|N*.A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当aA时,有6-aA,那么a为()A.2B.2或4C.4D.6答案 (1)B(2)B
8、解析(1)是实数,所以R正确;-1不是正整数,所以-1N*错误;|-5|=5为正整数,所以|-5|N*错误.故选B.(2)a=2A,6-a=4A,所以a=2符合题意;a=4A,6-a=2A,所以a=4符合题意;a=6A,6-a=0A,所以a=6不符合题意.综上所述,a=2或4.故选B.反思感悟判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的元素的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必定具有这个集合的元素的共同特征.探究三探究三集合中元素的特性及应用集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素1和a2,若aA,求实数a的值.解 由
9、题意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,则a2=1,这与a21相矛盾,故a1.(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.延伸探究若本例去掉条件“aA”,其他条件不变,求实数a组成的集合.解 由集合中元素的互异性可知a21,即a1.故实数a组成的集合为a|a1,aR.反思感悟解含参元素与集合之间关系问题的求解策略(1)常用到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类标准.(2)本例题在解方程求得a的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成过程性失分.变式训练3已知集合A含有三个元素1,a,
10、a-1,若-2A,则实数a的值为()A.-2 B.-1C.-1或-2D.-2或-3答案 C解析 因为集合A含有三个元素1,a,a-1,且-2A,所以a=-2或a-1=-2.当a=-2时,A中元素为1,-2,-3,符合题意;当a-1=-2时,a=-1,A中元素为1,-1,-2,也符合题意.故实数a的值为-1或-2.故选C.素养形成素养形成分类讨论思想在集合中的应用分类讨论思想在集合中的应用求解集合中参数的值常与方程知识相联系,结合集合中元素的特性(确定性、无序性、互异性),通过解方程(组),求出集合中参数的值.对于“方程ax2+bx+c=0”要分两种情况加以讨论:当a=0,b0时,该方程是一元一
11、次方程.当a0时,该方程是一元二次方程,也只有在这种情况下才能用判别式来确定方程实数根的情况.典例已知集合A是由方程ax2-3x-4=0(aR)的实数根组成的.(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;(2)当A中有两个元素时,求a满足的条件;(3)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.解(1)当A中有且只有一个元素时,要分方程ax2-3x-4=0是一元一次方程还是一元二次方程来解决,若方程是一元一次方程,则有且只有一个根;若方程是一元二次方程,则有两个相等的实数根.(2)集合A中有两个元素,即方程ax2-3x-4=0有两个不相等的实数根.点评判断形如ax2+bx+c=0的方程实
12、数根的个数的方法:(1)当a=0时,原方程可化为bx+c=0的形式,再根据b的取值讨论方程根的个数:若b=0,c=0,则任意一个实数均为方程的实数根;若b=0,c0,则方程无实数根.(2)当a0时,需根据的值与0的大小关系来确定方程根的个数:若=b2-4ac0,则方程有两个不相等的实数根;若=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若=b2-4ac0,则方程无实数根.当堂检测当堂检测1.下列结论不正确的是()A.0NB.QC.0Q D.-1Z答案 C解析 0是有理数,所以0Q,故C不正确.2.已知集合A由小于1的数组成,则有()A.3A B.1AC.0A D.-1A答案 C解析 01,0是
13、集合A中的元素,故0A.3.(2020陕西黄陵中学高新部高一期中)下列给出的对象能组成集合的是()A.一切很大的数B.方程x2-1=0的实数根C.漂亮的小女孩D.好心人答案 B解析 对于A,很大的数没有明确的标准,即元素不确定,不能构成集合,故A错误;对于B,方程x2-1=0的实数根为1,能构成集合,故B正确;对于C,漂亮没有明确的标准,即元素不确定,不能构成集合,故C错误;对于D,好心人没有明确的标准,即元素不确定,不能构成集合,故D错误.故选B.4.方程x2-4x+4=0的解组成的集合中有个元素.答案 1解析 易知方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2,由集合元素的互异性知,方程的解组
14、成的集合中只有1个元素.5.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3A,试求实数a的值.解-3A,a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,a=0或a=-1.第第2 2课时集合的表示课时集合的表示第第1 1章章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.掌握集合的两种表示方法列举法、描述法.(数学抽象)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.(数学运算)3.理解两个集合相等的概念,能根据集合相
15、等求参数.(数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习情境导入为了区分或称呼集合,常用大写的拉丁字母表示,如集合A、集合B等.几种特殊的集合用特殊的字母表示:自然数集记作N,正整数集记作N*或N+,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.但作为一个一般的集合,又应如何来表示呢?知识点拨一、集合的表示方法1.列举法将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“”内表示集合的方法.2.描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成x|p(x)的形式表示集合的方法.3.Venn图为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图.名师点析 1.使用列举法
16、表示集合时应注意以下几点:(1)使用列举法时,不能丢解,也不能多解,要使集合中的元素符合集合中元素的性质;(2)“”表示“所有”“一切”“集合”的意思,在使用时注意不要重复,如奇数表示所有奇数组成的集合,不能写成奇数集.2.使用描述法表示集合时应注意以下几点:(1)清楚集合的代表元素,集合中元素的意义就取决于它的代表元素;(2)说明该集合中元素的性质;(3)不能出现未被说明的参数;(4)用于描述的语句力求简明、准确;(5)所有描述的内容都要写在集合符号内.3.表示集合的Venn图的边界可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线.微练习 1 A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(
17、1,-2)答案 C 微练习 2不等式4x-57的解集为.答案 x|x3解析 由4x-57解得x3,所以可表示为x|x3.微练习 3集合x|x2-4x+3=0用列举法表示为()A.1,3 B.x|x=1,x=3C.x2-4x+3=0D.x=1,x=3答案 A解析 解方程x2-4x+3=0,得x=1或x=3,应用列举法表示解集为1,3.故选A.二、集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等.要点笔记1.两个集合相等需满足:元素必须完全相同.2.集合相等与集合的形式无关.形式上不同的两个集合,也可能相等,如x|4x-53=x|x
18、2.微练习 设a,b,cR,集合a,0,-1=c+b,1,则a+b+c等于()A.-1B.1C.-2 D.2答案 B 解析 两个集合相等,则集合中的元素相同.b=-2,c=2.a+b+c=1.故选B.三、集合的分类1.有限集与无限集一般地,含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集.2.空集我们把不含任何元素的集合称为空集,记作.名师点析 空集是一个特殊的集合,它不含有任何元素.学习时要注意以下三个方面:(1)一般地,空集与实数集相对立;(2)不要把数0与空集相互混淆;(3)解决集合问题时不要忽略空集.微思考 与有什么区别?提示 中不含有任何元素;是一个非空集合,集合中的元
19、素为.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一用列举法表示集合用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)36与60的公约数组成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的实根组成的集合;解(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为1,2,3,4,6,12.(2)方程(x-4)2(x-2)=0的实根是4或2,所求集合为4,2.要点笔记列举法表示集合的关注点用列举法表示集合就是将集合中的元素不重复、不遗漏地列出,解决此类问题的关键是找出集合中所有的元素.变式训练1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(
20、3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合.解(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是指大于或等于0,所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10.(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为0,2.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是(0,1).探究二探究二用描述法表示集合用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)小于100的所有非负整数组成的集合;(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合;(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合;(5)被5除余3的所有整数组成的集合;(6)不等式3x-62x+7的
21、解集组成的集合.解(1)小于100的所有非负整数组成的集合,用描述法表示为x|0 x6.(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合,用描述法表示为(x,y)|xy0,则有()A.3A B.1AC.A D.0A答案 B 探究三探究三列举法与描述法的灵活应用列举法与描述法的灵活应用例3集合A=x|kx2-8x+16=0,若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.解(1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;(2)当k0时,要使集合A=x|kx2-8x+16=0中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以=64-64k=0
22、,解得k=1,此时集合A=4,满足题意.综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为0,1.延伸探究若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”,其他条件不变,求相应问题.解 集合A至多有一个元素,即方程kx2-8x+16=0只有一个实数根或无实数根.则k=0或=64-64k0,解得k=0或k1.故所求k的值组成的集合是k|k1,或k=0.反思感悟选用列举法或描述法的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素,通常用于表示元素个数较少的集合,当集合中元素较多或无限时,就不宜采用列举法;描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素
23、具有明显共同特征的集合,当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时,就不宜采用描述法.变式训练3下列说法:集合xN|x3=x用列举法表示为-1,0,1;实数集可以表示为x|x为所有实数或R;其中正确的有()A.3个B.2个 C.1个 D.0个答案 D 解析 x3=x的解为-1,0,1,-1N,集合xN|x3=x用列举法表示为0,1,故错误;实数集可以表示为x|x为实数或R,故错误;方程组 的解集为(1,2),集合x=1,y=2中的元素是x=1,y=2,故错误.故选D.素养形成素养形成根据集合相等求参数根据集合相等求参数利用集合相等求参数时,要注意集合中元素的互异性及分类讨论思想的合理运用.首
24、先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,共有几种情况,然后通过列方程或方程组求解.典例设a,bR,若集合1,a+b,a=0,b,则a2 021+b2 020=.答案 0 点评利用集合相等求参数的具体步骤:(1)由集合相等的定义建立方程,多数情况下需要分类讨论;(2)解方程,求得参数值;(3)求得参数值后,代入原集合检验,判断其是否满足集合中元素的互异性,若集合中出现相同元素,则应舍去.当堂检测当堂检测1.把集合x|x2-3x+2=0用列举法表示为()A.x=1,x=2 B.x|x=1,x=2C.x2-3x+2=0D.1,2答案 D解析 解方程x2-3x+2=0可得x=1或2,则集合x|x
25、2-3x+2=0用列举法可表示为1,2.2.下列集合表示的内容中,不同于另外三个的是()A.x|x=1B.y|(y-1)2=0C.x|x-1=0D.x=1答案 D解析 选项A,B,C都表示用描述法表示集合,集合中的元素是1,而选项D中的元素为等式x=1.3.若A=-2,2,3,4,B=x|x=t2,tA,用列举法表示B=.答案 4,9,16解析 由题意知,A=-2,2,3,4,B=x|x=t2,tA,B=4,9,16.4.设集合A=x|x2-3x+a=0,若4A,则集合A用列举法表示为A=.答案 -1,4解析 4A,16-12+a=0,a=-4,A=x|x2-3x-4=0=-1,4.5.用适当
26、的方法表示下列集合:(2)所有的正方形;(3)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.(2)集合用描述法表示为x|x是正方形,简写为正方形.(3)集合用描述法表示为(x,y)|y=x2.1.21.2子集、全集、补集子集、全集、补集第第1 1章章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.理解集合之间的包含的含义.(数学抽象)2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系.(逻辑推理)3.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.(数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习情境导入给出下列三个集合:A=班上参加足球队的同学,B=班上没有
27、参加足球队的同学,S=全班同学,那么集合S,A,B的关系如何?知识点拨一、子集1.子集的概念如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA,则aB),那么集合A称为集合B的子集,记为AB或BA,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.2.性质(1)AA,即任何集合是它本身的子集.(2)AB,BC,则AC(传递性).(3)A,即空集是任何集合的子集.名师点析 1.集合A是集合B的子集的含义:集合A的任意一个元素都是集合B的元素,即由任意xA,得xB.2.AB有三种情况:(1)A是空集;(2)A是由B的部分元素组成的集合;(3)A是由B的全部元素组成的集合.微思考 1任何两个集合之间是
28、否都有包含关系?提示 不一定.如集合A=0,1,2,B=-1,0,1,这两个集合就没有包含关系.微思考 2符号“”与“”有何不同?提示 符号“”表示元素与集合间的关系;而“”表示集合与集合之间的关系.二、真子集1.真子集的概念如果AB,并且AB,那么集合A称为集合B的真子集,记为AB或BA,读作“A真包含于B”或“B真包含A”.2.性质对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC.名师点析 1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:集合A是集合B的子集;存在元素xB,但xA.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不一定成立.2.若集合A=1,2,B=1,2,3,则
29、A是B的子集,也是真子集,用符号AB与AB表示均可,但用AB表示更准确.微思考 若一个集合共有n个元素,它有几个子集?几个真子集?几个非空真子集?提示 若一个集合共有n个元素,则它有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.三、补集与全集1.补集的概念设AS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记为SA(读作“A在S中的补集”),即SA=x|xS,且xA.右图中阴影部分即表示SA.2.补集的性质U(UA)=A,UU=,U=U.3.全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U.名师点析 1.所谓SA,即从全集S中取出
30、集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.2.SA表示S为全集时A的补集,如果全集换成其他集合(如R),则记号中的“S”也必须换成相应的集合.微练习 1已知全集U=-1,0,1,且UA=0,则A=.答案-1,1解析 U=-1,0,1,UA=0,A=-1,1.微练习 2已知集合A=0,2,4,6,UA=-1,1,-3,3,UB=-1,0,2,则集合B=.答案-3,1,3,4,6解析 因为U=A(UA)=0,2,4,6-1,1,-3,3=-3,-1,0,1,2,3,4,6,又UB=-1,0,2,所以B=-3,1,3,4,6.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一集合间关系的判断集合间关系
31、的判断例1判断下列各组集合之间的关系:(1)A=x|x是12的约数,B=x|x是36的约数;(2)A=x|x是平行四边形,B=x|x是菱形,C=x|x是四边形,D=x|x是正方形;解(1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以AB.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而DBAC.反思感悟判断集合间关系的方法(1)观察法:一一列举观察.(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.变式训练1指出下列各组集合之间的关系:(1)A=x|-1x5,B=x|0 x0,B=(x,y)|x0
32、,y0或x0,y2m-1,得m2.综上可得,m的取值范围是m|m3.延伸探究若将本例条件“A=x|-2x5”改为“A=x|-2x2m-1,得m2.当B时,如图所示,反思感悟利用集合间的关系求参数的求解策略(1)利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为定集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.(2)空集是任何集合的子集,因此在解AB(B)的含参数的问题时,要注意讨论A=和A两种情况,前者常被忽视,造成解答问题不全面.变式训练2已知集合A=x|y=,B=x|axa+1,若BA,则实数a的取值范围为.答案 a|-2a1
33、 探究三探究三补集的运算补集的运算例3(1)已知全集为U,集合A=1,3,5,7,UA=2,4,6,UB=1,4,6,则集合B=.(2)已知全集U=x|x5,集合A=x|-3x5,则UA=.答案 (1)2,3,5,7(2)x|x-3,或x=5 解析(1)(方法一定义法)因为A=1,3,5,7,UA=2,4,6,所以U=1,2,3,4,5,6,7.又UB=1,4,6,所以B=2,3,5,7.(方法二Venn图法)满足题意的Venn图如图所示.由图可知B=2,3,5,7.(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集的定义可知UA=x|x0,A=x|2x6,则UA=.答案 (1)C(2)
34、x|0 x2,或x6 解析(1)因为A=x|x6,xN*=1,2,3,4,5,6,B=2,4,所以AB=1,3,5,6.故选C.(2)如图,分别在数轴上表示两集合,则由补集的定义可知,UA=x|0 x2,或x6.素养形成素养形成分类讨论确定子集、真子集的个数问题分类讨论确定子集、真子集的个数问题根据子集的定义,在写给定集合的所有子集时(假设集合中有n个元素),应当先写出含有0个元素的子集,即,再写出含有1个元素的所有子集,依次写出含有n个元素的子集(即集合本身).如果是写出其所有真子集,则在上述所有子集中去掉集合本身即可.典例已知集合M满足1,2M1,2,3,4,5,写出集合M所有的可能情况.
35、解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:含有3个元素的集合M可能为1,2,3,1,2,4,1,2,5;含有4个元素的集合M可能为1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5;含有5个元素的集合M可能为1,2,3,4,5.故满足条件的集合M为1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5.点评有限集子集的确定问题,求解关键有三点:(1)确定所求集合;(2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出,一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合;(3)注意两个特殊的集合,
36、即空集和集合本身.当堂检测当堂检测1.已知集合A=x|-1x4,B=x|x5,则()A.AB B.ABC.BA D.BA答案 B 解析 如图,可知AB.2.(2021重庆高一期末)已知集合U=1,2,3,4,5,6,A=2,4,5,则UA=()A.1,3 B.1,3,6C.2,3,6D.2,3,5答案 B解析 集合U=1,2,3,4,5,6,A=2,4,5,UA=1,3,6.故选B.3.(2020山东潍坊高一月考)集合A=a,b,c,d的非空子集的个数是()A.13B.14C.15D.16答案 C解析 集合A=a,b,c,d中有4个元素,非空子集的个数为24-1=15.故选C.4.已知集合A=
37、-1,3,m,B=3,4,若BA,则实数m=.答案 4解析 由BA可知,m=4.5.设U=x|-5x-2,或22.故a的取值范围为a|a2.(2)若BA,则集合B中的元素都在集合A中,则a2.因为a1,所以1a2.故a的取值范围为a|1a2.1.31.3交集、并集交集、并集第第1 1章章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.理解两个集合的并集与交集的含义.(数学抽象)2.能求两个集合的交集与并集.(数学运算)3.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象)课前篇课前篇 自主预习自主预习情境导入某单位
38、食堂第一天买的菜的品种构成的集合记为A=黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子;第二天买的菜的品种构成的集合记为B=黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆.两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?知识点拨一、交集1.交集的概念文字语言由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作AB(读作“A交B”)符号语言AB=x|xA,且xB图形语言2.交集的运算性质 性质说明AB=BA满足交换律AA=A集合与本身的交集仍为本身A=A=空集与任何集合的交集都为空集如果AB,则AB=A 子集关系转化为交集关系要点笔记1.AB是
39、所有属于A且属于B的元素构成的集合,其实质就是A与B的公共元素构成的集合.2.若两个集合为空集,则它们的交集为空集,但不能说它们没有交集.微练习 1已知集合A=x|-2x1,B=-2,-1,0,1,2,则集合AB=()A.0 B.-1,0C.0,1 D.-1,0,1答案 B解析 因为集合A=x|-2x1,B=-2,-1,0,1,2,故AB=-1,0.故选B.微练习 2已知集合M=x|-1x3,N=x|-2x1,则MN=.答案 x|-1x1解析 MN=x|-1x3x|-2x1=x|-1x1.二、并集1.并集的概念文字语言由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作AB(
40、读作“A并B”)符号语言AB=x|xA,或xB图形语言微练习 1已知集合M=-1,0,1,N=0,1,2,则MN=()A.-1,0,1B.-1,0,1,2C.-1,0,2D.0,1答案 B解析 MN=-1,0,10,1,2=-1,0,1,2.故选B.2.并集的运算性质 性质说明AB=BA满足交换律AA=A集合与本身的并集仍为集合本身 A=A=A任何集合与空集的并集仍为集合本身如果AB,则AB=B子集关系转化为并集关系名师点析 1.AB的实质是由所有属于A或者属于B的元素构成的集合.“所有”是指集合A和集合B中的全部元素.2.在并集的定义中,“xA,或xB”的含义包括三种情况:xA,但xB;xB
41、,但xA;xA,且xB.微练习 2设集合A=x|-5x1,B=x|x2,则AB=.答案 x|x2 解析 借助于数轴分别画出集合A,B,如图,AB=x|x2.三、区间设a,bR,且ab,规定a,b=x|axb,(a,b)=x|axb,a,b)=x|axb,(a,b=x|aa,(-,b)=x|xb,(-,)=R.a,b,(a,b)分别叫作闭区间、开区间;a,b)叫作左闭右开区间,(a,b叫作左开右闭区间;a,b叫作相应区间的端点.名师点析 区间与集合的联系(1)区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达方式,开或闭不能混淆;(2)集合和区间都是表示取值范围的方法,用哪种方法
42、表示取值范围,原则上应与原题的表示方法一致.(3)由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.微练习 1将下列集合用区间表示出来:(1)x|x-1;(2)x|x0;(3)x|-1x5;(4)x|0 x1,或2x4.解(1)x|x-1可以表示为-1,+).(2)x|x0可以表示为(-,0).(3)x|-1x5可以表示为(-1,5.(4)x|0 x1,或2x4可以表示为(0,1)2,4.微练习 2已知A=1,3,B=(2,4,则AB=.答案(2,3解析 AB=1,3(2,4=(2,3.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一并集概念及应用并集概念及应用例1(1)设集合M=x|x2+
43、2x=0,xR,N=x|x2-2x=0,xR,则MN=()A.0 B.0,2C.-2,0D.-2,0,2(2)已知集合M=x|-3x5,N=x|x5,则MN=()A.x|x-3B.x|-5x5C.x|-3x5D.x|x5答案 (1)D(2)A 解析(1)M=x|x2+2x=0,xR=0,-2,N=x|x2-2x=0,xR=0,2,故MN=-2,0,2,故选D.(2)在数轴上表示集合M,N,如图所示,则MN=x|x-3.要点笔记求集合并集的两种基本方法(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解;(2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析求解
44、.变式训练1设S=x|x5,T=x|axa+8,若ST=R,则实数a应满足()A.-3a-1D.a-1答案 A 解析 在数轴上表示集合S,T如图所示.因为ST=R,由数轴可得 解得-3a-1.故选A.探究二探究二交集概念及其应用交集概念及其应用例2(1)设集合A=x|-1x2,B=x|0 x4,则AB=()A.x|0 x2 B.x|1x2C.x|0 x4 D.x|1x4(2)已知集合A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案 (1)A(2)D 解析(1)A=x|-1x2,B=x|0 x4.如图,故AB=x|0 x2.(2)
45、8=32+2,14=34+2,8A,14A,AB=8,14.故选D.反思感悟1.求集合交集类似于求集合并集,其方法为定义法、数形结合法.2.若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.变式训练2设集合A=x|-1x2,B=x|xa,若AB,则实数a的取值范围是()A.a|-12C.a|a-1 D.a|a-1答案 D 解析 因为AB,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出两个集合,如图所示,易知a-1.探究三探究三交集、并集运算性质的应用交集、并集运算性质的应用例3已知集合A=x|-32k-1时,k2,满足A
46、B=A.当B时,要使AB=A,延伸探究把本例条件“AB=A”改为“AB=A”,试求实数k的取值范围.解 由AB=A可知AB,所以k.所以k的取值范围为.反思感悟运用交集、并集运算性质求解问题的策略AB=ABA,AB=AAB,这两个性质常常作为“等价转化”的依据,要特别注意当AB时,往往需要按A=和A两种情况分类讨论,而这一点在解题时很容易被忽视,因此当题目中有AB这一条件时,应有分类讨论的思想意识,以免造成漏解或增根.变式训练3已知全集为R,集合A=x|2x6,B=x|3x-78-2x.(1)求AB,R(AB);(2)若M=x|a-4xa+4,且ARM,求实数a的取值范围.解(1)B=x|3x
47、-78-2x=x|x3,AB=x|x2,AB=x|3x6,R(AB)=x|x6.(2)由题意知M,且RM=x|xa+4.A=x|2x6,ARM,a-46或a+410或a-2.故实数a的取值范围为(-,-2)(10,+).素养形成素养形成集合中元素个数的计算集合中元素个数的计算(容斥原理容斥原理)我们把含有限个元素的集合叫作有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如:A=a,b,c,则card(A)=3.结论:一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).类比两个集合,可以得到三个集合的类似公式:card(ABC)=car
48、d(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(BC)-card(CA)+card(ABC).典例某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍,同时参加两个课外小组的有5人,至少参加一个课外小组的有25人.参加数学课外小组、物理课外小组的人数各是多少?解 设参加物理课外小组的人数为x,则参加数学课外小组的人数为2x.由card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)及题意,得25=2x+x-5,解得x=10.所以参加数学课外小组的有20人,参加物理课外小组的有10人.点评先将实际应用问题转化为数学的集合问题,进行集合的交集、并集、补集运算
49、,然后再进行集合中元素个数计算.当堂检测当堂检测1.已知集合M=-1,0,1,P=0,1,2,3,则图中阴影部分所表示的集合是()A.0,1 B.0C.-1,2,3D.-1,0,1,2,3答案 D解析 由Venn图,可知阴影部分所表示的集合是MP.因为M=-1,0,1,P=0,1,2,3,故MP=-1,0,1,2,3.故选D.2.已知集合A=1,2,3,B=x|(x+1)(x-2)=0,xZ,则AB=()A.1 B.2C.-1,2D.1,2,3答案 B解析 B=x|(x+1)(x-2)=0,xZ=-1,2,A=1,2,3,AB=2.3.(2020天津和平期中)设全集为U=xN|x7,集合A=1
50、,3,6,集合B=2,3,4,5,则集合A(UB)=()A.3 B.1,3,6C.2,4,5D.1,6答案 D解析 由题意U=0,1,2,3,4,5,6,所以UB=0,1,6,A(UB)=1,6.故选D.4.(2020重庆万州第二高级中学月考)设全集为R,集合A=x|x0,B=x|-2x1,则(RA)B=.答案 x|x1解析 由题意RA=x|x0,所以(RA)B=x|x1.5.已知集合A=x|x5,集合B=x|xm,且AB=x|5x6,则实数m=.答案 6 解析 用数轴表示集合A,B,如图所示.由AB=x|5x6,得m=6.6.(2020广东中山纪念中学高一月考)设全集U=R,已知集合A=x|
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