1、2.5.3利用数量积计算长度和角度随堂练习一、单选题1已知向量，则与的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案【详解】解：，因为，所以，故选：C2已知向量，向量，则的形状为()A等腰直角三角形B等边三角形C直角非等腰三角形D等腰非直角三角形【答案】A【分析】由向量的模求得三角形三边长后，再判断三角形形状【详解】由题意，而，是等腰直角三角形故选：A3已知向量，,则ABC5D25【答案】C【详解】将平方得，选C.4已知向量，则（）ABCD【答案】C【分析】利用向量的夹角公式直接求解.【详解】，则，所以C正确.故选：C.5在平行四边形中，.
2、 对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 设，则下列结论错误的是（）ABCD【答案】C【分析】由题意可证明，则，根据向量的分解、模长和数量积的运算，即可判断正误.【详解】解：对于A，取OB的中点G，连接CG，则且，即，则，A选项正确；对于B，则，B选项正确；对于C，则 ，C选项错误；对于D，D选项正确；故选：C.6已知平面向量，的夹角为，且，则与的夹角是（）ABCD【答案】D【分析】根据平面向量的定义求夹角的余弦值，即.【详解】，所以，则.故选：D.7已知(1，n)，(1，n)若2与垂直，则|（）A1BC2D4【答案】C【分析】先表示2的坐标，再根据2与垂直
3、求得n即可.【详解】解：因为知(1，n)，(1，n)，所以2=（3，n）,因为2与垂直，所以，解得，所以，故选：C8在平行四边形中，点，满足，且，设，则（）ABC2D【答案】B【分析】由题意可知是线段的中垂线，从而可得结果.【详解】由得是的中点，又由得，所以.故选：B.二、多选题9已知向量，则下列结论正确的是（）A若向量同向，则 B若向量反向，则C若，则 D若，则【答案】ABD【分析】向量同向和反向都是说的共线，就利用向量共线的定理分别求解即可；然后利用向量数量积的计算求解其角度即可.【详解】由题意可得.当同向时，则A正确；当反向时，（），则B正确；由，得，所以，即，解得，则D正确；因为，所以
4、，所以，则C错误.故选：ABD10已知向量，向量是与方向相同的单位向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（）Aa与b的夹角为钝角B向量a在b方向上的投影向量为C2m+n=4Dmn的最大值为2【答案】CD【分析】由数量积的符号可判断A；根据投影定义直接计算可判断B；根据向量平行的坐标表示可判断C；由基本不等式结合可判断D.【详解】对于A，向量(2，1)，(1，1)，则，则的夹角为锐角，错误；对于B，向量(2，1)，(1，1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，1)，则 (1，2)，若()，则(n)=2(m2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m
5、+n=4，而m，n均为正数，则有，当m=1，n=2时，mn有最大值2，正确；故选：CD.三、填空题11已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是_【答案】【分析】先应用对数运算公式解得m的值，再计算的坐标，再由向量的模的运算公式得.【详解】点 在函数上，m=3，故答案为：.12已知，且与夹角为钝角，则的取值范围_.【答案】且【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】由于与夹角为钝角，所以，解得且.所以的取值范围是且.故答案为：且13已知，且向量与的夹角为，则_【答案】2【分析】根据平面向量模的坐标表示公式，结合平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【详解】因为，所
6、以，因此，故答案为：14已知，向量在上的投影向量为_.【答案】【分析】直接根据投影向量的概念计算得到答案.【详解】向量在上的投影向量为.故答案为：四、解答题15已知向量，.(1)求与的夹角：(2)若满足，求的坐标.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据向量的坐标运算得出、，进而得到它们的模，根据数量积运算公式即可得出夹角的余弦值；（2）设，表示出.根据向量垂直以及平行的坐标表示可得出，解方程组即可得出结果.【详解】（1）解：设与的夹角为.由已知可得，则，所以，又，所以，所以与的夹角为.（2）解：设，则.由（1）知，又，所以.又，所以.联立可得，所以.16已知向量，(1)求；(2)设，的夹角为，求的值；(3)若向量与互相平行，求k的值【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根据向量的数乘与减法的坐标公式计算可得；(2)根据向量的夹角的坐标公式求解；(3)根据向量的平行的坐标表示列方程求k的值(1)因为，所以，所以，(2)由已知可得，(3)，由题意可得，整理可得，解得
