周衍柏理论力学教程第三版电子教案第一章质点力学课件.ppt

1、章章质点力学质点力学研究物体的机械运动运动与作用力力之间的关系动力学的主要内容动力学所涉及的研究内容包括：1.1.动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力。2.2.动力学第二类问题已知作用在系统上的力,求系统的运动。Issac Newton（1643164317271727）杰出的英国物理学家,经典物理学的奠基人.他的不朽巨著自然哲学的数学原理总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果.他在光学、热学和天文学等学科都有重大发现.牛顿导导 读读 牛顿三定律、惯性、力牛顿三定律、惯性、力 惯性系、非惯性系、惯性力惯性系、非惯性系、惯性力 力学相对性原理、伽利略变换力学相对性原理、

2、伽利略变换1.4 质点运动定理质点运动定理 物体保持其运动状态不变的性质物体保持其运动状态不变的性质力：力：物体间相互作用物体间相互作用任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系体系选定了一类特殊的参考系惯性参考系惯性参考系 mgFT牛顿定律成立的参考系牛顿定律成立的参考系相对于惯性系作加速运动的参考系相对于惯性系作加速运动的参考系ay x 惯性系与惯性系与非惯性系非惯性系动量：动量：vmP注意注意:质点质点 惯性系惯性系 瞬时性瞬时性 矢量性

3、矢量性dtpdFiiFF注意注意:二力同时存在二力同时存在,分别作用于两个物体上，属同一性质的力分别作用于两个物体上，属同一性质的力baabFF例例 鸵鸟是当今世界上最大的鸟，有人说它不会飞是翅鸵鸟是当今世界上最大的鸟，有人说它不会飞是翅膀的退化膀的退化.但是如果它长一副和身体成比例的翅膀但是如果它长一副和身体成比例的翅膀,它它能飞起来吗能飞起来吗?解：飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重解：飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重.空气空气上举力上举力(与空气阻力一样的公式与空气阻力一样的公式)为为:2CSvf 式中式中C为比例常数为比例常数,S为翅膀的面积为翅膀的面积,飞翔的条件飞翔的条件mg

4、f,即即CSmgv 我们做简单的几何相似性假设我们做简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为设鸟的几何线度为l,质质量量m l3,S l2,于是起飞的临界速度于是起飞的临界速度lvc燕子最小滑翔速度大约燕子最小滑翔速度大约20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约鸵鸟体长是燕子的大约25倍倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍倍,这是小型这是小型飞机的起飞速度飞机的起飞速度,鸵鸟奔跑的速度实际上只有鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km/h.思考问题：思考问题：拔河比赛胜负的关键是什么？拔河比赛胜负的关键是什么？摩擦力的大小，大者赢摩擦力的大小，大者赢马德堡半球是用两队各马德堡半

5、球是用两队各8匹马向相反方向匹马向相反方向拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端需要几匹马，才能拉开半球？需要几匹马，才能拉开半球？还是还是8匹匹大人国是否能够存在大人国是否能够存在,利用几何相似性分析之利用几何相似性分析之.不可能不可能,重力就会压坏他重力就会压坏他力学定律在一切惯性系中数学形式不变力学定律在一切惯性系中数学形式不变 对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权 的、等价的。的、等价的。在一个惯性系中所做的任何力学实验，都不能在一个惯性系中所做的任何力学实验，都不能判断该惯性系相对于其它惯性系的运动。判断该

6、惯性系相对于其它惯性系的运动。关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话舟舟行行而而不不觉觉绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远相同和不动的。事物无关而永远相同和不动的。绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无关地流逝着。关地流逝着。牛顿牛顿长度的量度和时间的量度长度的量度和时间的量度都与参考系无关都与参考系无关！？！？yxxozzyvtossP在两个惯性系中考察在两个惯性系中考察同一物理事件同一

7、物理事件两个惯性系：两个惯性系：ss 一物理事件：一物理事件：质点到达质点到达 P 点点两个惯性系的描述分别为：两个惯性系的描述分别为：),(tzyx),(tzyxyxxozzyvtossP两个描述的关系称为两个描述的关系称为变换变换,0 tt坐标原点重合坐标原点重合ttzzyyvtxxttzzyyvtxx逆变换逆变换正变换正变换伽利略变换中默认了绝对时空伽利略变换中默认了绝对时空速度变换：速度变换：)()(vtxdtdvtxt ddt dxdzzyyxxuuuuvuuvuux轴方向有相轴方向有相对匀速运动对匀速运动空间空间有相对有相对匀速运动匀速运动加速度变换：加速度变换：aa经典力学规律具

8、有伽利略变换不变性：经典力学规律具有伽利略变换不变性：amFS ：amFS ：小小 结结任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律动量：动量：vmp注意注意:质点质点 惯性系惯性系 瞬时性瞬时性 矢量性矢量性dtpdFiiFF注意注意:二力同时存在二力同时存在,分别作用于两个物体上，属同一性质的力分别作用于两个物体上，属同一性质的力baabFF力学定律在一切惯性系中数学形式不变力学定律在一切惯性系中数学形式不变yxxozzyvtossPttzzyyvtxxttzzyyvtxx逆变换逆变换正变换正变换vuuaa1.5 质点运动微分方程质点运动微分方程导导 读

9、读运动微分方程建立运动微分方程建立运动微分方程求解运动微分方程求解)(trF),(22tdtrdrFdtrdm 解微分方程：（1）受力分析 万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等.建立运动微分方程 1.1.自由质点自由质点（2）化为标量方程 直角坐标系),(),(),(tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx ),()2(),()(2trrFrrmtrrFrrmr bnFFvmFdtdvm02 平面极坐标 自然坐标（3）初始条件000vvrrt，)(trr )()()(tzztyytxx（4）求解运动微分方程2.2.非自由质点非自由质点 解决方法：

10、去掉约束，用约束反作用力代替RtdtrdrFdtrdm),(22 运动微分方程 解方程与自由质点一样 注意（1）一般未知，加约束方程 （2）用自然坐标系很方便R 1)光滑约束，约束力在轨道的法平面内光滑约束，约束力在轨道的法平面内)3(0)2()1(2bbnnRFRFvmRFdtdvm22222 bnbnNRRRRRRRR(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.2)非光滑约束非光滑约束 4个方程4个未知数,可解)3(0)2()1(2bbnnRFRFvmFdtdvmRFbn例题1 力仅是时间的函数自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：)cos(0tEEx)cos(0teEeEFxxxFdtx

11、dm22)cos(022teEdtxdm)cos(0teEdtdvm电子受力：由积分得dttmeEvdtvv)cos(000)sin(sin000tmeEmeEvv)sin(sin000tmeEmeEvdtdxdttmeEmeEvdxttxx)sin(sin00000)cos()sin(cos2000200tmeEtmeEvmeExx例题2 力是速度的函数在具有阻力的媒质中运动的抛射体 分析：受力 mg R 运动微分方程Rgmrm cossin)(2mgvmmgvRdtdvmddsdsdvvdtdsdsdvdtdv 用自然坐标系分解（运动方向为正）cossin)(2mgddsvmmgvRdsd

12、vmv两式相比可解出cossin)(1mgmgvRddvv)(fv)()(cos22xxgfgvddsdsdxddx)()(sin22yytggfgtgvddsdsdyddy)(sec)(secttgfgvvddsdsdtddt本问题还可在直角坐标系中处理，见 P25因此：消去参量 可得运动方程例题3 力是坐标的函数原子在晶体点阵中的运动kzkj yki xkzyxFzyx),(),(zyxFrm zkzmykymxkxmzyx mkxx2xxAxxt，00)cos()cos()cos(zzzyyyxxxtAztAytAx可解得初始条件：令直角坐标分解：运动微分方程：三维简谐振动受迫振动LRC

13、电路)(tFkxxbxm)(1tEqCqRqL 例题4 质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落，如阻力与速度成正比(mkv)，试求运动方程。解：受力Rgm、Rgmrm xmkmgxm xkgdtxd建一维直角坐标系，分解运动微分方程APxmkvmgOh积分速度xtdtxkgxd00)1(ktekgxtktxhdtekgdx0)1(tkgekghxkt)1(2kgx 匀速直线运动 讨论：t 增加，运动方程如阻力与速度平方成正比(mk2gv2)，见P30例题5 小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为 .试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在

14、此时所受到的约束反作用力。ayx42Rgm、Rgmrm Rmgvmmgdtdvmcossin2mgR2解微分方程组可得自然坐标，运动方向为正运动微分方程解：受力：mgRxyo小小 结结 自由质点 非自由质点 受力分析 写出运动微分方程矢量式 建立适当的坐标系分解标量方程 解微分方程)(trF1.6 非惯性系动力学非惯性系动力学a惯性系惯性系牛顿定律成立的参考系。牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系非惯性系相对于惯性系做加速运动的参考系。相对于惯性系做加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。在非惯

15、性系内牛顿定律不成立。gmTFF S系：静系oaaaamFoamamF)(oamFam移项于是S系：动系mgT0amQa)(oamFam物理意义 惯性力反映参照系不是惯性系 惯性力不是物体间的相互作用，没有施力者，也不存在反作用力 惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现。amQF1m2m例例5 升降电梯相对于地面以加速度a 沿铅直向上运动。电梯中有一轻滑轮绕一轻绳，绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物（m1 m2）。求：（1）物体相对于电梯的加速度；（2）绳子的张力。解：解：ramFamgm1T11ramamgmF222T2121)()(mmagmmar)(22121TagmmmmFara

16、am1am2消去消去TFTFTFgm2gm11.7 功与能功与能 功、能量定义功、能量定义 势能、动能势能、动能 保守力系保守力系导导 读读1 1 什么是能量？什么是功？什么是能量？什么是功？麦克斯韦定义：能量是一个物体具有的做功能力麦克斯韦定义：能量是一个物体具有的做功能力.一般功的定义一般功的定义:物体能量改变的度量物体能量改变的度量.循环定义循环定义!所以必须先给出其中一个物理量确切的定义所以必须先给出其中一个物理量确切的定义!(本教材定义本教材定义)功功:凡是作用在物体上的力凡是作用在物体上的力,使得物体沿使得物体沿力的方向上移动了位置力的方向上移动了位置,就说力对物体做了功就说力对物

17、体做了功.一般来一般来说说,功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移.rdFdrFdAcosFrd Jrd Fab质点沿曲线质点沿曲线 L 从从 a 运动到运动到 b力力 F 所做的功所做的功：rdFdALzyxLzyxLdzFdyFdxFkdzjdyidxkFjFiFrdFA )()(mgdyjdyidxjmgrdGdA )(2121mgymgydymgAyyy1y2abyxrd mGx2box1mxamFxikxF2121xxxxkxdxidxikxxdFA22212121kxkxArrMmGF20barrrdrrMmGA20drrdrdrcosbarr

18、rrMmGrdrMmGAba11020abarbrrrdrrd dr万有引力、电磁力等万有引力、电磁力等合力的功合力的功：rdFFFrdFALnL21LnLLrdFrdFrdF21合力的功等于各分力的功的合力的功等于各分力的功的代数和代数和.功率：功率：vFdtrdFdtdAp2 2 能能 物体处在某一状态所具有的能量 能是状态量，功是过程量，是能量变化的量度 机械能 势能动能221mvT 物体相对位置发生变化 VzzVyyVxxVAdddd力场力场:假如力仅是坐标假如力仅是坐标x、y、z的单值的、有限的的单值的、有限的和可微的函数，则在空间区域每一点上，都将有和可微的函数，则在空间区域每一点

19、上，都将有一定的力作用着，这个空间叫做力场一定的力作用着，这个空间叫做力场.如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度，即如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度，即kzVjyVixVF则则为一个全微分为一个全微分.显然这个力作用物体在空间运动一个显然这个力作用物体在空间运动一个闭合曲线做功为零闭合曲线做功为零.0rdF保守力做功与路径无关保守力做功与路径无关例例子子2121mgymgydymgAyy22212121kxkxAbarrrrMmGrdrMmGAba11020baabVVA在物体从位置在物体从位置a移动到移动到b时，保守力做功为时，保守力做功为 显然知道了显然知道了V和空间位置，我们

20、就知道了物体运动做和空间位置，我们就知道了物体运动做功的大小功的大小.所以我们用所以我们用V可以完全替代保守力的做功概念可以完全替代保守力的做功概念.这时引入势能函数的概念这时引入势能函数的概念.势能势能)()(abrrabrVrVrdFAba例子例子:重力势能、弹性势能、引力势能重力势能、弹性势能、引力势能 取取 r0 点为势能零点，则任意一点点为势能零点，则任意一点 r 的势能为：的势能为：orrrdFrV)(关于势能的几点说明关于势能的几点说明mghEp221kxEprMmGEp0例题1设作用在质点上的力是6252zyxFzyxFzyxFzyx7sincoszyx20011022011x

21、FyFxFzFzFyFyxzxyz求此质点沿螺旋线运行自时，力对质点所做的功.解：解：力是否保守力？力是保守力，做功与路径无关dzFdyFdxFWzyBAx)652222(2214,0,10,0,12zxzyxyzxzxyd70982)652222(222zxzyxyzxzxyV势函数例题2 接上题条件,若1285432zyxFxzFzyxFzyx0FdzFdyFdxFWzyBAx226982可以证明做功与路径有关不存在势函数小结小结 功、能量定义功、能量定义 势能、动能势能、动能 保守力系保守力系kzVjyVixVFvFdtrdFdtdwprdFdrFdAcos势能动能221mvT 物体相对

22、位置 V0rdF1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律质点动力学的基本定理与基本守恒律导导 读读 动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律 力矩与动量矩力矩与动量矩(角动量角动量)动量矩定理与动量矩守恒律动量矩定理与动量矩守恒律 动能定理与机械能守恒律动能定理与机械能守恒律 势能曲线势能曲线牛顿运动定律：牛顿运动定律：amFdtpddtvmdF)(dtFpd如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 tt 0pp0ttppoodtFpd1 1 质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量量的增

23、量00vmvmppdtFItto平均冲力：平均冲力：ttodtFttF01FF(t)Ft冲量：冲量：ottppdtFtFIo质点所受合外力为零时质点所受合外力为零时,质点的动量保持不变质点的动量保持不变条件：条件：0iF 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域0Fcvmp0F0 xFcxmpx则但分量形式：若意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.则若（1 1）对定点的力矩对定点的力矩设作用力设作用力 作用于矢作用于矢径为径为 的某一点上的某一点上FrFrM单位

24、：单位：Nm作用力作用力 对参考原点对参考原点O 的力矩定义为：的力矩定义为：FFrOdMFrMsinFrM 位矢位矢 与作用力与作用力 的矢积方向的矢积方向Fr作用力线到参考点作用力线到参考点O 的垂直距离的垂直距离(d d=r rsinsin)FrOdMzFrFd 在垂直于转轴的平面在垂直于转轴的平面内，外力内，外力 与作用力线与作用力线到转轴的距离到转轴的距离d d 的乘积定的乘积定义为对转轴的力矩义为对转轴的力矩.FFrM力矩逆时针方向力矩逆时针方向 为正为正.M力矩顺时针方向力矩顺时针方向 为负为负.MMF（2 2）对定轴的力矩对定轴的力矩求作用力求作用力 对空间某轴的力矩对空间某轴

25、的力矩,考虑分量考虑分量,力对原点的力矩为力对原点的力矩为FrFxyz(L)FyFzOkyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrMxyzxyzzyx上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量,也就是也就是力分别对三坐标轴的力矩力分别对三坐标轴的力矩.所以求力对轴的力矩所以求力对轴的力矩,可可以先求对轴上一点的力矩以先求对轴上一点的力矩,再投影到轴的方向再投影到轴的方向.（3 3）力偶力偶如果两个平行力如果两个平行力F2=F1=F,但不作用在同一直线但不作用在同一直线上，此时二者合力为零，但是对空间任何一点的上，此时二者合力为零，但是对空间任何一点的力

26、矩不为零力矩不为零.F1F2O1O2ABrP为力偶面内的任何一为力偶面内的任何一点点,则二力对则二力对P的总力矩的总力矩值为值为211122OOFPOFPOF力偶矩是力偶唯一的力学效果力偶矩是力偶唯一的力学效果,是矢量是矢量.但这个矢但这个矢量可以用垂直力偶面的任一直线表示量可以用垂直力偶面的任一直线表示,方向用右手方向用右手螺旋法则确定螺旋法则确定.由于力偶矩可作用于力偶面上任何由于力偶矩可作用于力偶面上任何一点一点,这种矢量是自由矢量这种矢量是自由矢量.像力等不能改变作用线像力等不能改变作用线的矢量叫滑移矢量的矢量叫滑移矢量.力偶的任一力和两力作用力偶的任一力和两力作用线间垂直距离的乘积线

27、间垂直距离的乘积,等于等于两力对垂直于力偶面的任两力对垂直于力偶面的任意轴线的力矩的代数和意轴线的力矩的代数和.O1O2称为力偶臂称为力偶臂.力与力偶力与力偶臂乘积为力偶矩臂乘积为力偶矩.-FFMorvmL质点对质点对O点的点的动量矩动量矩kg m2s-1sinsinLrpmvrvmrprL质点对轴的质点对轴的动量矩动量矩xyyxmLzxxzmLyzzymLxyx,vmrLdtvmdrvmdtrddtLd)(其中：其中：vdtrd所以：所以：0vmdtrd又又Fdtvmd)(dtLdFrM 质点所受的合外力矩就等于角动量对质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率时间的变化率.动量矩定理：动

28、量矩定理：3 质点的动量矩定理质点的动量矩定理若质点不受力的作用若质点不受力的作用,或者或者虽然受力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。虽然受力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。const.,0 ,0LdtLdM 合外力矩的冲量矩等于质点系合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量。动量矩的增量。2112ttLLdtM例例2 2、一质点所受的力、一质点所受的力,如通过某一个定点如通过某一个定点,则质点则质点必在一平面上运动必在一平面上运动,试证明之试证明之.解解:力所通过的那个定点叫做力心如取这个定点为坐力所通过的那个定点叫做力心如取这个定点为坐标系的原点标系的原点,则质点的位矢则质点的位矢

29、 r 与与F 共线，二者的矢量乘共线，二者的矢量乘积为零积为零,故故L 为一恒矢量所以为一恒矢量所以:321)()()(CxyyxmCzxxzmCyzzym(1)(2)(3)用用x乘乘(1)，y乘乘(2)，z乘乘(3)，并相加得，并相加得0321zCyCxC由解析几何由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在知上式代表一个平面方程，故质点只能在这个平面上运动这个平面上运动221mvEk单位：单位：JFtrm22dd牛顿方程牛顿方程经过数学运算得到经过数学运算得到rFmvdd221质点动能定理质点动能定理:akbkabEEmvmvA222121(2)(2)机械能守恒定律机械能守恒定律 如果

30、一个系统只有保守内力内作功，非保守内如果一个系统只有保守内力内作功，非保守内力和一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持力和一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持不变不变.这个系统也常称为保守系这个系统也常称为保守系.VF),(),(2121000202zyxVzyxVmvmv20000221),(),(21mvzyxVzyxVmv力是保守力第一积分或初积分 如果方程ctzyxzyxGx),(对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分.数学上：二阶微分方程降为一阶 物理上：力学量 G 是一个守恒量 物理意义明显的初积分：动量守恒、动量矩守恒、能量守恒 由初

31、积分出发问题的求解简化了一步 优先使用守恒律(3)(3)保守系与时间反演对称性保守系与时间反演对称性时间反演时间反演:tt相当于电视片的倒放效果相当于电视片的倒放效果理论理论:每个质点都满足牛顿运动定律每个质点都满足牛顿运动定律tpfiidd做时间反演做时间反演,动量也反向动量也反向,右端不变右端不变.因保守力只与质因保守力只与质点的相对位置有关点的相对位置有关,它是时间反演不变的它是时间反演不变的.所以可逆所以可逆过程能够发生过程能够发生.摩擦力不是保守力摩擦力不是保守力.例题例题重锤，轻杠，固定 o 点，在竖直平面内圆周运动 ，自由落下，用两种方法，求最低点的速度.0t0mglmvmgl2

32、021cos0)cos1(202 glv解1：受力分析：mg T 机械能守恒：mgTP0v0积分变量变换sinlgdtddd000sindlgd)cos1(202lg)cos1(20222gllvsinmgvmsinglv 解2：运动微分方程 自然坐标系 切向向上为+5 5 一维势能曲线一维势能曲线)(xVV 物体一维运动的势能曲线物体一维运动的势能曲线x0AAABBCBE1E2V(x)x对一维运动对一维运动,只要力是坐标只要力是坐标的单值函数的单值函数,一定是保守力一定是保守力.（i）保守力）保守力xxVfd)(d指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率指向势能下降的方向，大小正比于势能

33、曲线的斜率（ii）总能量）总能量E水平线在各点相距下边势能曲线的高水平线在各点相距下边势能曲线的高度，代表质点在该处的动能度，代表质点在该处的动能.由于经典动能为正由于经典动能为正,所所以水平线低于势能曲线的区间以水平线低于势能曲线的区间,是具有该能量的质是具有该能量的质点不能达到的地段点不能达到的地段(势垒）势垒）.（iii）势能曲线在局部的最低）势能曲线在局部的最低(极小极小)点点,都是稳定平衡都是稳定平衡点点.总能量略高于它们的质点总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范只能在它们附近一定范围内活动围内活动.势能曲线在局部的最高势能曲线在局部的最高(极大极大)点点,都是不稳都是不稳定

34、平衡点定平衡点.总能量略高于它们的质点总能量略高于它们的质点,都会远离而去都会远离而去.（iv）在势能曲线任何极小点附近）在势能曲线任何极小点附近,质点可能围绕着质点可能围绕着它它做小振动做小振动.可以如下计算振动周期可以如下计算振动周期（v）以）以A点点(x0)为例为例,计算小振动的振动周期计算小振动的振动周期显然势能在这里一阶导数为零显然势能在这里一阶导数为零,二阶导数大于零二阶导数大于零.在在 x=x-x0不大的范围内不大的范围内,把势能函数展开成泰勒级数把势能函数展开成泰勒级数:20210202100)()()()()()(xxVxVxxVxxVxVxV对于小振动对于小振动,我们忽略三

35、阶及以上的小量我们忽略三阶及以上的小量.由于坐标原由于坐标原点选择具有任意性点选择具有任意性,我们设我们设x0=0,x=x,V(x0)=0,上式简上式简化为化为:,这代表一根抛物线这代表一根抛物线.将机将机械能守恒定律改写为械能守恒定律改写为 221)0()(xVxV221221)0()(xVExVEmv由此得方程由此得方程:tmExEVxd22)0(1d222)0(12ddxEVmEvtx或者或者为了积分方便为了积分方便,换元令换元令sin2)0(2xEV从而从而cossin12)0(1 ,dcos)0(/2d22xEVVEx这样这样,上述方程化为上述方程化为:tmVd)0(d )0(the

36、n ,d)0(d000tmVtmVt0)0(sin)0(2sin)0(2tmVVEVEx两边积分两边积分还原到还原到x,有有周期周期T的意思是的意思是,当当 t 变化到变化到t+T,变化到变化到 +2 ,x回到原来的数值回到原来的数值.所以所以)0(2VmT动能动能:物体由于运动而具有的能量物体由于运动而具有的能量如何定量如何定量!伽利略伽利略:重的东西在坠落时所重的东西在坠落时所获得的冲力获得的冲力(动能动能),足够使它回足够使它回到原来的高度到原来的高度.yxvOdyhdsP质点质点P以速度以速度v沿任意光滑曲线向沿任意光滑曲线向上冲上冲,看它能够上升的高度看它能够上升的高度从牛顿运动方程

37、从牛顿运动方程,经过计算做功得到经过计算做功得到mghmv 221物体由于运动而具有的能量物体由于运动而具有的能量yxvOdyhdsPmghmv 221亦即亦即,描述运动的能量在数值上与重力势能相等描述运动的能量在数值上与重力势能相等,给给出出动能动能的表达式应为的表达式应为221mvEk这导致了一个形式方程这导致了一个形式方程解解:这是一维运动这是一维运动,物体的速度为物体的速度为)(2xUEmvtxUEmxd)(2d例题例题 分析如图势能平衡点的稳定性分析如图势能平衡点的稳定性ACBDF在在A、B、C和和D，dU/dx=0,均有均有Fx=0.但是但是,由于各点附近曲线的形由于各点附近曲线的

38、形状不同状不同,将导致不同的结果将导致不同的结果.A、C两点是势能曲线的极小点两点是势能曲线的极小点，有有d2U/dx20,即即0ddddddxFxUxxACBDF说明力说明力F是回复力是回复力,意味着在这两点的平衡是稳定平衡意味着在这两点的平衡是稳定平衡.在在B点点,平衡是不稳定的平衡是不稳定的.在在D点点,U是常量是常量,平衡被称平衡被称为随遇平衡为随遇平衡,最后在最后在F点点,Fx0,质点将向右运动质点将向右运动.在上图中在上图中,某些区域某些区域T=EU1时时(弹簧硬弹簧硬,或者或者摆短摆短)不再有交点不再有交点;(2)当当k/mgl1时二阶导数为正时二阶导数为正,是是稳定点稳定点.当

39、当k/mgl1时时,相轨都是围绕中央唯一平衡点的闭合相轨都是围绕中央唯一平衡点的闭合曲线曲线,(ii)k/mgl0,相轨是一条闭相轨是一条闭合曲线合曲线,摆锤作大幅度摆动摆锤作大幅度摆动,左右仍是对称的左右仍是对称的.当当E1右右(ii)k/mgl1例例5、质量为质量为m的小环套在半径为的小环套在半径为R的光的光滑大圆环上滑大圆环上,后者绕竖直轴以匀角速度后者绕竖直轴以匀角速度 转动转动.试用势能曲线讨论小环的运动试用势能曲线讨论小环的运动.解一解一:在随大环转动的参照系内在随大环转动的参照系内只有只有 一个坐标参量一个坐标参量,是一维运动是一维运动,惯性离惯性离心力心力ABCDRO mgmr

40、 2sin)(2mRf惯离它所做的功等于对应的势能的减少它所做的功等于对应的势能的减少d2sindcos)(d2221mRRfV惯离惯离2cos1)(2241mRV惯离同样以同样以 =0处为零点处为零点,重力势能为重力势能为cos1)(mgRV重总机械能为总机械能为:Rgc在在 c时势能时势能在在 0=0处势能变成了极大值处势能变成了极大值;而在其两侧各出现一个而在其两侧各出现一个极小值极小值.显然和上例相似显然和上例相似,在在=c处有因对称性自发破处有因对称性自发破缺而产生的分叉现象缺而产生的分叉现象.从上式可以画出相应的相图从上式可以画出相应的相图.2cos1)cos1(22412221m

41、RmgRmRE用用mgR约化约化,得无量纲的能量得无量纲的能量2cos141)cos1(2122ccmgREH其中其中:c时的时的势能势能曲线和相图曲线和相图解二解二:如图用如图用 来标志小环的位置来标志小环的位置,在在随大环转动的参照系内随大环转动的参照系内,相对大环静相对大环静止的小环在切线方向受力平衡止的小环在切线方向受力平衡ABCDRO mgmr 20cossin2 gR2cosor ,0sinRg即即第一组平衡位置第一组平衡位置=0和和,即最高和最低点即最高和最低点.第二组平衡位置为第二组平衡位置为20arccosRg这有对称分布在转轴两侧的两个平衡位置这有对称分布在转轴两侧的两个平

42、衡位置,显然必须显然必须 大于临界值大于临界值Rgc进一步分析表明进一步分析表明:若从静若从静止缓慢地增加大环的角止缓慢地增加大环的角速度速度,在未出现平衡位置在未出现平衡位置C、D前前,最低点最低点A是稳定的是稳定的,最最高点高点B是不稳定的是不稳定的.当角当角速度大于临界值以后速度大于临界值以后,新新的平衡位置的平衡位置C、D都是稳都是稳定的定的,而而A失去稳定性失去稳定性.0/201/c失稳失稳例例6、一质量为一质量为m的小立方块置于的小立方块置于旋转漏斗内壁旋转漏斗内壁.漏斗以转速漏斗以转速v旋转旋转.设设漏斗与水平方向夹角为漏斗与水平方向夹角为,立方块与立方块与漏斗表面间的摩擦系数为

43、漏斗表面间的摩擦系数为.求使得求使得立方块不滑动的最大转速立方块不滑动的最大转速vmax和最和最小转速小转速vmin.解解:受力分析发现立方块受到受力分析发现立方块受到4个个力的作用力的作用fNFrvmmgF,)2(,2不滑向漏斗口的条件不滑向漏斗口的条件0sin)2(cos2rvmmgFN0sincos)2(2fFmgrvmNfFF合并上述式子合并上述式子,得得cossinsincos)2(2grv(1)mgr考虑不等号考虑不等号,乘除运算要注意因子的正负乘除运算要注意因子的正负,当当0sincos即即cotsin1cotcossincossin则则对于对于0 0 -/2,/2,则总有则总有

44、cos sin 0,0,还需要满足还需要满足不滑向中心的条件不滑向中心的条件0sin)2(cos2rvmmgFN0cos)2(sin2fFrvmmgNfFF显然对显然对-/2 0时时,条件为条件为cossinsincos)2(2grv0cossin即即tan当当永远不会滑进中心永远不会滑进中心tan当当则可能滑向中心则可能滑向中心2min2)2(sincoscossin)2(vrgv把从漏斗出去和滑进中心的条件结合在一起讨把从漏斗出去和滑进中心的条件结合在一起讨论论,得到一个完整相图得到一个完整相图通常的结果区通常的结果区由牛顿第二定律 Fdtrdm22dtpddtvmdF)(MdtJdrdFmvd)21(20Fcvmp0McvmrJVFEVT运动微分方程的初积分或第一积分守恒律动能定理动量矩定理动量定理小小 结结