重庆市2017届高三数学下学期第二次月考试题 [理科]（含答案解析，word版）.doc

1、 1 2017 重庆高 2017 级高三下期第二次月考 数 学 试 题 卷（理科） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡的相应位置。 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为 ，所以 ，应选答案 B。 2. 已知 ，则 的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因为 ，所以 ，应选答案 C。 3. 已知 ，且满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因为 ， 且 ，所以 ， ， 则 ， 应选答案 C。

2、 4. 已知 ，命题 ：若 ，则 ，在命题 、的逆命题、 的否命题、 的逆否命题、 这 5 个命题中，真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由对数的单调性可知：当 时， ，故命题 是真命题；由命题与逆否命题的等价性可知命题 的逆否命题也是真命题。其它三个命题中，逆命题不真，否命题也是错误的 ， 命题 也是不正确的，应选答案 B。 5. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为 ，鼻炎发作且感冒的概率为 ，则此人鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为（ ） 2 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 设感冒、鼻炎发作的概率分别是 ，鼻炎发作的条件下

3、，感冒发作的概率是 ，则 ，应选答案 D。 点睛：条件概率是在一定条件下某事件发生的概率，这意味着事件的发生的前提的作用是不可忽视的，同时也强调了某事件的发生对另一事件发生的影响。这类问题的求解除了运用公式 求解 之外，也可以使用定义进行求解。 6. 某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 如图，从题设中提供的三视图可以看出这是一个底面是等腰直角三角形 的三棱锥，其中 ，故 ，取 的中点为 ，连 ，则，故 为三棱锥 ， 的外接球的球心，则外接球的半径， 所以外接球的表面面积是 ，应选答案 A。

4、 3 7. 执行如图所示的程序框图 ,则输出 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 从题设中提供的算法流程图可以看出：当 时，则 ，故； 此时 ，所以，又，则 ，故 ；此时 ，所以输出 ， 运算程序结束，应选答案 D。 8. 在平面四边形 中，已知 ， ， ，且，则 的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题设条件可知四边形 的外接圆与 的外接圆是同一个圆，设， 则 ， 所以 ，即4 ，所以 ，由正弦定理可得 ，所以 的外接圆的面积是 ， 应选答案 D。 9. （原创）将大小 形状相同的 个黄球和 个黑球放入如图所示的 的十宫格中，每格至多放

5、一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如图，设黄球、黑球分别是 ，则在十宫格中的排放格式分别有如下两种：， 而每一种情形均有 种情形，故所有不同的排法种数为 ，应选答案 D。 10. 已知正三棱锥 的侧棱长为 ，若二面角 的余弦值为 ，则三棱锥 的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 如图，设正底面三角形的边长为 ，则 ，故，又 ，故，即 ，所以三棱锥 的体积，应选答案 A。 点睛：解答本题的关键是借助题设中的二面角的余弦值 ，运用定义找出二面角的平

6、面角5 ，然后运用直角三角形中三角函数的定义求出 ，建立方程， 进而确定 ，即 ，最后运用三棱锥的体积公式求三棱锥的体积而获解 。 11. （原创）焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，焦点在 轴上的双曲线 的离心率为，已知 与 具有相同的渐近线，当 取最小值时， 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】 C 【解析】 设双曲线的方程分别为 ， ，由题设 ， 则， ，由此可得 ， 即 ， 故，所以 （当且仅当取等号），即 时取等号，应选答案 C。 点睛：本题以双曲线为背景，旨在考查基本不等式求解最值及运用。解答本题的关键是借助题设中的渐近线相同建立两个双曲线的离心率之间的等量关系

7、，进而求出， 则 ， 然后巧妙运用基本不等式求出 取最小值时 ，从而使得问题获解 。 12. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 对 恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 构造函数 ，因 ，故函数 是单调递减函数，因为 ，所以 ，即 应选答案 A。 点睛：解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数 ，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功。求解时构造出函数 ，再运用求6 导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中 ，从而确定函数 是单调递减函数，再运用单调性求出当 时， ，从而使得问题获解 。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题

8、5 分，共 20 分，正确答案填在答题卡的相应位置。 13. 已 知 ，则 的最小值为 _。 【答案】 【解析】 画出不等式组 表示的区域如图，结合图形可知 的几何意义是不等式组表示的区域内的动点 与平面上的定点 连线的斜率 。因为， 所以 ，应填答案 。 点睛：解答本题的关键是依据题设条件画出不等式组 表示的区域如图，结合图形搞清 的几何意义是不等式组表示的区域内的动点 与平面上的定点连线的斜率 ，这是解答本题的难点，然后再数形结合借助直线的斜率公式求出其最小值 ， 从而使得问题获解 。 14. 已知平面向量 的夹角为 且 ，在 中， ， ， 为 中点，则 _。 7 【答案】 2 【解析】

9、由向量的平行四边形法可得 ，所以，应填答案 。 15. 已知 ，在 的展开式中，第二项系数为正，各项系数和为 256，则该展开式中的常数项的取值范围是 _。 【答案】 【解析】 由题设可得 ，即 ，又由题设可知 ，即，而 的展开式中的通项为 ，令 可得展开式中的常数项是 ，因为，所以 ，则 ，即， 应填答案 。 16. 已知曲线 的方程为 ，过平面上一点 作 的两条切线，切点分别为,且满足 ,记 的轨迹为 ，过一点 作 的两条切 线，切点分别为 满足 ,记 的轨迹为 ，按上述规律一直进行下去 ? ，记且 为数列 的前 项和，则满足 的最小的 是_。 【答案】 7 【解析】 由题设可知轨迹 分别

10、是半径为 的圆，故由题设，则 ，所以 ，即， 故最小的正整数 ， 应填答案 。 点睛：解答本题的关键是归纳出数列 的各项分别为，进而运用等比数8 列的求和公式求出 ，最后借助题设中的不等式 建立不等式 ，求出满足该不等式的最小正整数，从而使得问题获解。 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 17. 已知函数 。 （ 1）求 的最小正周期和单调 递增 区间； （ 2）已知 的内角 的对边分别为 ，且三边长 成等差数列，求 的取值范围。 【答案】 (1) 的最小正周期为 ， 的单调递增区间为 ；(2) . 【解析】 【 试题分析】 （ 1） 先运用

11、两角和差的计算公式及诱导公式展开，再运用二倍角的正弦、余弦公式将其化为 ，最后借助周期公式求出最小正周期 的最小正周期为 及正弦函数的单调区间建立不等式求得 的单调递增区间为；（ 2） 先借助题设条件 ，运用基本不等式、余弦定理求出 ，确定 再由（ 1）的结论建立函数 ，依据 求出其范围： (1)由题 ， 因此 的最小正周期为 。 由 得 ，所以 的单调递增区间为 ； (2)由题 ，故 ， 且，故 。由 知 ，故 。因 ，故 ，从而 。 18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：万元）对年9 销售量 （单位：吨）和年利润 （单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费

12、 和年销售量 的数据作了初步统计，得到如下数据： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年宣传费 （万元） 38 48 58 68 78 88 年销售量 （吨） 16 8 18 8 20 7 22 4 24 0 25 5 经电脑模拟，发现年宣传费 （万元）与年销售量 （吨）之间近似满足关系式即 。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表： 75 3 24 6 18 3 101 4 （ 1）根据所给数据，求 关于 的回归方程； （ 2）规定当产品的年销售量 （吨）与年宣传费 （万元）的比值在区间 内时认为该年效益良好。现从这 6 年中任选 3 年，记其中选到效益良好

13、年的数量为 ，试求随机变量 的分布列和期望。（其中 为自然对 数的底数， ） 附：对于一组数据 ，其回归直线 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【答案】 (1) ； (2)见解析 . 【解析】 【 试题分析】 （ 1） 先运用转化的思想对 两边取对数得，再换元令 得 ，借助题设中给的数据，求得： ， 进而算得 10 ， ，于是 ，得 ， 故所求回归方程为 。 （ 2）先借助题设条件 ，于是求出 ，即 6 年中有三年是 “ 效益良好年 ” ， 求得 ，从而求出分布列和数学期望 ： （ 1） 对 两边取对数得 ，令 得 ，由题给数据，得： ， 2 分 ， ，于是 ，得 ， 故所求回归方程为 。 （ 2） 由 ，于是 ，即 6 年中有三年是 “ 效益良好年 ” ， ，由题得 ， 所以 的分布列如表所示，且 。 19. （原创）如图，三棱锥 中， ，且，点 分别是 的中点， 为 的中点，过的动平面与线段 交于点 ，与线段 的延长线分别相交于点