广东省珠海一中等六校2018届高三数学第一次联考试题 [理科]（含答案解析，word版）.doc

1、 1 2018届高三六校第一次联考理科数学 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 解 A=(0,1) B=(0, ), 2. 欧拉公式 （为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为 “ 数学 中的天桥 ” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.

2、第四象限 【答案】 B 【解析】 解： e2i=cos2+isin2，其对应点为（ cos2， sin2）， 由 2 ，因此 cos2 0， sin2 0， 点（ cos2， sin2）在第二象限， 故 e2i表示的复数在复平面中位于第二象限 3. 已知 ， ，且 ，则 为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】 B 【解析】试题分析： 考点：向 量的运算 4. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】 C 2 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出 考点：程序框图 5. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D

3、. 【答案】 D 【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出 ,且当 时 , ,由于 ,故函数 在区间 单调递减 ;在区间 单调递增 .由函数图象的对称性可知应选 D. 考点：函数图象的性质及运用 . 6. 下列选项中，说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 向量 ， （ ）垂直的充要条件是 C. 命题 “ ， ” 的否定是 “ ，” D. 已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，则命题 “ 若 ，则3 在区间 内至少有一个零点 ” 的逆命题为假命题 【答案】 D 【解析】 解 : A， y=lnx 是增函数， ab，所以 lnalnb。 B，两个向量垂直的充要条件为 ，所以 ,m=0

4、 C， 否定是 “ ， D，否命题为若 在区间 内至少有一个零点，则函数 在区间 上的图象是连续不断的是假命题，例如正弦函数在（ 0， 上，有一个零点但是 7. 已知 ， 为异面直线， ， 为平面， ， .直线满足 ， ， ，则（ ） A. ，且 B. ，且 C. 与 相交，且交线垂直于 D. 与 相交，且交线平行于 【答案】 D 【解析】 若 ,则 ,与 是异面直线矛盾 ;过点 O,分别作 ，且 ，则 确定一平面 ，则 ，设 与 相交于 ，则 ，且 ,因此 ,从而 ，选 D. 8. 若 ， 满足 则 的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】 D 【解析】 解： 4 由约束条

5、件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 2， 4）， 化目标函数 z=3x y为 y=3x z， 由图可知，当直线 过 A时可知取得最值，代入得 2 点睛：画出可行域，将目标函数化成截距式，截距越小，目标函数值越大 9. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入 .若该公司 2015年全年投入研发奖金 130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200万元的年份是（ ）（参考数据： ， ， ） A. 2018年 B. 2019年 C. 2020年 D. 2021 年 【答案】 B 【解析】试题分析：设从 2015年后第 年该公司全年投

6、入的研发资金开始超过 200万元，由已知得 ，两边取常用对数得，故选 B. 考点： 1.增长率问题； 2.常用对数的应用 . 10. 已知函数 ，下列结论中错误的是（ ） A. 的图象关于点 中心对称 B. 的图象关于 对称 C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数 【答案】 C 【解析】试题分析：由题意得， A中，因为，故 的图象关于 中心对称 ，所以正确； B中，因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称是正确的； C中，令，则 ，因为 ，当 时，5 ，当 时， ，所以函数的最大值为 ，所以是错误的； D中，因为 ，所以函数为奇函数，又 ，所以 是函数的一个周期，所以函数为周期函数，所

7、以是正确的，故选 C. 考点：利用导数研究闭区间上函数的最值；同角三角形的基本公式是；二倍角公式；正弦函数的图象 . 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究闭区间上函数的最值；同角三角形的基本公式是、二倍角公式、正弦函数的图象等知识的综合应用，涉及到函数的对称中心、对称轴、函 数的奇偶性与周期性的判定，函数的最值等知识点，涉及知识面广，知识点丰富、综合性强，知识领域转换换，易导致错误，平时注意总结和积累，试题有一定的难度，属于难题 . 11. 数列 满足 ，且 （ ），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意可得： ，则： ， 以上各式相加可得： ，则： ， . 本

8、题选择 D选项 . 点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法 有： 求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式； 将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的 12. 已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ） 6 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 A 【解析】 解： 令 t=f（ x）， F（

9、 x） =0， 则 f（ t） 2t =0， 分别作 出 y=f（ x）和直线 y=2x+ ，由图象可得有两个交点，横坐标设为 t1， t2，则 t1=0， 1 t2 2，即有 f（ x） =0 有一根； 1 f（ x） 2时， t2=f（ x）有 3个不等实根，综上可得 F（ x） =0 的实根个数为 4，即函数 F（ x） =ff（ x） 2f（ x） 的零点个数是4 . 点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个 t对应几个 x 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 若 ，则 的二项展开式中 的系数为 _ 【答案】 180 【

10、解析】 解： ， n=10 则（ 2x 1） 10的二项展开式中， x2的系数为 C10222（ 1） 8=180， 14. 已知直线 与圆 ： 交于两点 ， ，且 为等边三角形，则圆 的面积为 _ 【答案】 【解析】 圆 ， 化为 ， 圆心， 半径 ， 因为直线 和圆 相交， 为等边三角形，所以7 圆心 到直线 的距离为 ， 即 ，解得 ， 所以圆 的面积为 ，故答案为 . 15. 若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是_ 【答案】 【解析】试题分析：设切点 ，则由 得：，所以点 的坐标是 . 考点：利用导数求切点 . 16. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5位的二进制数

11、，其中 的各位数字中， ， （ ）出现 0的概率为 ，出现 1的概率为 .若启动一次出现的数字为 则称这次试验成功，若成功一次得 2分，失败一次得 分，则100次重复试验的总得分 的方差为 _ 【答案】 【解析】 启动一次出现数字为 A=|0|0|的概率 由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有 的 数学方差为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在 ， ， （ 1）若 ，求 的长 （ 2）若点 在边 上， ， ， 为垂足， ，求角 的值 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 8 【解析】 试题分析 : 先求 CD，在

12、 BCD中，由正弦定理可得： 结合 BDC=2A ，即可得结论 解：（ 1）设 ，则由余弦定理有： 即 解得： 所以 （ 2）因为 ，所以 . 在 中，由正弦定理可得： ， 因为 ，所以 . 所以 ，所以 . 18. 如图，已知 四棱锥 的底面为菱形，且 ， ，（ 1）求证：平面 平面 . （ 2）求二面角 的余弦值 . 【答案】 （ 1）见解析；（ 2）二面角 的余弦值为 . 【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。 （ 1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。 （ 2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量

13、，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。 （ I）证明：取 的中点 ，连接 为等腰直角三角形 ?2 分 9 又 是等边三角形 ，又 ， ?4 分 ，又 平面 平面 ;?6 分 （ II）以 中点 为坐标原点，以 所在直线为 轴 , 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ?8 分 设平面 的法向量 ，即 ，解得 ， 设平面 的法向量 ，即 ，解得 ， ?10 分 所以二面角 的余弦值为 ?12 分 19. 某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区 随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料 .进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的

14、费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，10 不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表： （参考公式和计算结果： ， ， ， ） （ 1） 16号旧井位置线性分布，借助前 5组数据求得回归直线方程为 ，求 的值，并估计 的预报值 . （ 2）现准备勘探新井 ，若通过 1， 3， 5， 7号并计算出的 ， 的值（ ， 精确到0.01）相比于（ 1）中的 ， ，值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？ （ 3）设出油量与勘探深度的比值 不低于 20 的勘探井称为优质井，那么在原有 6口井中任意勘探 4口井，求勘探优质井数 的分布列与数学期望 . 【答案】 （ 1） ， 的预报值为 24；（ 2）使用位置最接近的已有旧井 ；（ 3），分布列见解析 . 【解析】 试题分析 : （ 1）利用前 5组数据与平均数的计算公式可得 =5， =50，代入 y=6.5x+a，可得 a，进而定点 y的预报值 （ 2）根据计算公式可得 ， ， 10