数学·选修4-5（人教A版）课件：第二讲2.1比较法 .ppt

1、第二讲第二讲 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法 21 比较法比较法 学习目标学习目标 1.理解用比较法证明不等式的一般方法理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤与步骤(重点重点) 2.了解比较法分为作差比较法、作商比了解比较法分为作差比较法、作商比 较法较法 3.会用比较法证明具体的不等式会用比较法证明具体的不等式(重点、难点重点、难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1作差比较法作差比较法 要比较两个实数的大小要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号：只要考查它们的差的符号： abab0； abab0； abab0. 2作商比较法作商比较法 依据：当依据：当 b0 时时， a b

2、 1ab； a b 1ab； a b 1ab 温馨提示温馨提示 使用作商法证明不等式使用作商法证明不等式 ab 时时，一定要一定要 注意注意 b0 这个前提条件这个前提条件 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)当当 b0 时时，aba b 1.( ) (2)当当 b0 时时，aba b 1.( ) (3)当当 a0，b0 时时，a b 1ab.( ) (4)当当 ab0 时时，a b 1ab.( ) 解析：解析：对于对于(1)，当当 b0 时时，ab，两边同除以两边同除以 b， 所以所以a b 1，所以所以(1)正确；对于

3、正确；对于(2)，当当 b0 时时，ab，两两 边同除以边同除以 b，所以所以a b 1，所以所以(2)正确；对于正确；对于(3)，当当 a0， b0 时时， a b 1，两边同乘以两边同乘以 b，所以所以 ab，所以所以(3)正确；正确； 对于对于(4)，当当 a0，b0 时成立时成立，当当 a0，b0 时时， 不成立不成立 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2若若 ab，则代数式则代数式 a3a2b 与与 ab2b3的值的大小的值的大小 关系是关系是( ) Aa3a2bab2b3 Ba3a2bab2b3 Ca3a2bab2b2 D不能确定不能确定 解析：解析： 因为因为 ab，

4、所以所以(a3a2b)(ab2b3)(a3b3) (a2bab2)(ab)(a2abb2)ab(ab)(ab)(a b)20，所以所以 a3a2bab2b3.故应选故应选 B. 答案：答案：B 3已知已知 a，b 都是正实数都是正实数，则下列关系式成立的是则下列关系式成立的是 ( ) Aaabbabba Baabbabba Caabbabba Daabbabba 解析：解析：因为因为 a，b R ， ，故故 abba0. 又又a abb abba a b a b a b a b a b， ， 当当 ab0 时时，a b 1，且且 ab0，故故a abb abba 1； 当当 ba0 时时，0a

5、 b 1，且且 ab0，故故a abb abba 1； 当当 ab 时时，a abb abba 1. 答案：答案：B 4. 设设 Pa2b25，Q2aba24a，若若 PQ，则实则实 数数 a，b 满足的条件为满足的条件为_ 解析：解析：PQa2b252aba24a(ab1)2(a 2)2，因为因为 PQ PQ0.所以所以 ab1 或或 a2. 答案：答案：ab1 或或 a2 5已知已知 0x1，a2 x，b1x，c 1 1x， ，则则 其中最大的其中最大的是是_ 解析：解析：因为因为 0x1，所以所以 a0，b0，c0. 又又 a2b2(2 x)2(1x)2(1x)20， 所以所以 a2b2

6、0.所以所以 ab. 又又 cb 1 1x (1x) x2 1x 0， 所以所以 cb.所以所以 cba. 答案：答案：c 类型类型 1 作差比较法证明不等式作差比较法证明不等式 典例典例 1 (1)已知已知 a，bR，求证：求证：a2b21a(b 1)； (2)已知已知 a，b 是互不相等的正数是互不相等的正数，n1，求证：求证：an bnan 1b abn 1. 证明：证明：(1)因为因为 a2b21a(b1)1 2(a b)2(1 a)2b210， 所以所以 a2b21a(b1) (2)(anbn)(an 1b abn 1) (ab)(an 1 bn 1) 因为因为 a，b R ，n1，

7、n10，a b， 所以当所以当 ab 时时，an 1 bn 1， ， 所以所以 ab0，an 1 bn 1 0， 所以所以(ab)(an 1 bn 1) 0， 即即 anbnan 1b abn 1. 当当 ab 时时，an 1 bn 1， ， 所以所以 ab0，an 1 bn 1 0， 所以所以(ab)(an 1 bn 1) 0， 即即 anbnan 1b abn 1. 因此总有因此总有 anbnan 1b abn 1. 归纳升华归纳升华 1作差比较法的一般步骤为：作差作差比较法的一般步骤为：作差变形变形(因式分解因式分解 或配方或配方)判断符号判断符号下结论下结论，有时需要分类讨论有时需要分

8、类讨论 2作差比较法把比较两个实数作差比较法把比较两个实数(或式或式)的大小转化为的大小转化为 判断两个实数判断两个实数(或式或式)的差的符号其中的差的符号其中，作差后如何变形作差后如何变形 是证明的关键是证明的关键，对差进行变形时要变彻底对差进行变形时要变彻底， 常用的变形手段有配方、 通分、 有理化和分解因式等常用的变形手段有配方、 通分、 有理化和分解因式等， 即可以运用一切有效的恒等变形方法为便于判断即可以运用一切有效的恒等变形方法为便于判断“差差 式式”的符号的符号， 常将常将“差式差式”变形为一个常数、 几个因式的变形为一个常数、 几个因式的 积或一个分式等等 总之积或一个分式等等

9、 总之， 通过变形只要能够判断出差的通过变形只要能够判断出差的 符符号是正或负即可号是正或负即可 变式训练变式训练 已知已知 a0， b0， 求证：求证：a b b a a b. 证明：证明： a b b a (ab) （ a）3（ b）3（ a b） ab ab （ a b）（）（ a b）2 ab ， 因为因为 a0，b0， 所以所以 a b0， ab0，( a b)20， 所以所以 a b b a ( a b)0， 故故 a b b a a b. 类型类型 2 作商比较法证明不等式作商比较法证明不等式(自主研析自主研析) 典例典例 2 已知已知 a，bR ， ，求证：求证：aabb(ab

10、) ab 2. 解：解： aabb （ab） a b 2 a a b 2 b b a 2 a b a b 2. 当当 ab 时时， a b a b 21； 当当 ab 时时，a b1， ， ab 2 0， 由指数函数的性质知由指数函数的性质知 a b a b 21， 当当 ab 时时，0a b1， ， ab 2 1. 所以所以 aabb(ab) a b 2. 归纳升华归纳升华 使用作商法证明不等式使用作商法证明不等式 ab 时时，一定一定要注意要注意 b0 这个前提条件这个前提条件，其一般的证明步骤为：其一般的证明步骤为：(1)作商；作商；(2)变形；变形； (3)判断商与判断商与 1 的大小

11、；的大小；(4)下结论下结论 变式训练变式训练 已知已知 a1，利用作商比较法利用作商比较法，求证：求证： a1 a a a1. 证明：证明： 左边左边 右边右边 a1 a aa1 aa1 a1 a 1， 又又a1 a0， aa10. 所以原不等式成立所以原不等式成立 1比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方 法法，比较法除了课本中介绍的作差比较法比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用即利用 ab ab0)，还有作商比较还有作商比较法法 即要证明即要证明ab，而而b0，只要证明只要证明a b 1 . 作差比较法的基本步骤是： 作差、 变形、 判断

12、符号 变作差比较法的基本步骤是： 作差、 变形、 判断符号 变 形是关键形是关键，目的在于能判断差的符号为便于判断差式目的在于能判断差的符号为便于判断差式 的符号通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形的符号通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形 式或平方和形式多项式不等式、分式不等式或对数不式或平方和形式多项式不等式、分式不等式或对数不 等式常用作差比较法证明作商比较法的基本步骤是：等式常用作差比较法证明作商比较法的基本步骤是： 作商、变形、判断商值与作商、变形、判断商值与 1 的大小的大小，适用于两边都是正值适用于两边都是正值 的幂或积的形式的不等式其中判断差值的正负及商值的幂或积的形式的不等式其中判断差值的正负及商值 与与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点的大小是用比较法证明不等式的难点 2用比较用比较法证明不等式时法证明不等式时，当差式或商式中含有字当差式或商式中含有字 母时母时，一般需对字母的取值进行分类讨论一般需对字母的取值进行分类讨论