大学物理难题集课件.ppt

1、1 1、质量为、质量为mm的小球可沿半径为的小球可沿半径为r r的圆形环轨道运动，环面为的圆形环轨道运动，环面为水平面。小球带有固定的正电荷水平面。小球带有固定的正电荷q q。设在以环形轨道为其截。设在以环形轨道为其截面的柱体内有均匀的随时间面的柱体内有均匀的随时间t t变化的磁场，磁感应强度变化的磁场，磁感应强度B B的方的方向垂直于环面。已知向垂直于环面。已知t=0t=0时，时，B=0B=0，小球静止于环上；，小球静止于环上；0tT0tT时，时，B B随时间随时间t t线性增长；线性增长；t=Tt=T时，时，B=B0B=B0。设重力和。设重力和摩擦力可忽略。试求：在摩擦力可忽略。试求：在0

2、tT0tT时间内小球运动状态及小球时间内小球运动状态及小球对轨道的作用力。对轨道的作用力。r)(tBEqFNLF解、在解、在0tT0tT时间内时间内tTBtB0)(在环上产生的感生电场为在环上产生的感生电场为dtrBddtdrE)(22 TrBE20 感生电场力产生的切向加速度为感生电场力产生的切向加速度为TmrqBmqEat20 tTmrqBtaVt20 r)(tBEqFNLFtTmrqBtaVt20 小球受的磁场力指向圆心小球受的磁场力指向圆心222022tmTrBqBqVFL 圆环对小球的法向支持力为圆环对小球的法向支持力为NN，则，则rVmNFL2 222024tmTrBqN r)(t

3、BEqFNLF2 2、半径为、半径为1cm1cm的两根足够长的平行导线相距的两根足够长的平行导线相距20cm,20cm,在两导线在两导线中有中有20A20A的方向相反的方向相反 的电流。（的电流。（1 1）若将两导线分开到）若将两导线分开到40cm,40cm,试求磁场对单位长度导线所作的功。（试求磁场对单位长度导线所作的功。（2 2）分开两导线时，）分开两导线时，单位长度的磁能改变了多少？增加还是减少？说明能量的来单位长度的磁能改变了多少？增加还是减少？说明能量的来源或去向。源或去向。解、（解、（1 1）当两导线分开到相距）当两导线分开到相距40cm40cm时，磁场对单位时，磁场对单位导线作的

4、功为导线作的功为drrIIlA 204.02.0 JlI520105.52 （2 2）单位长度导线的磁能改变可由自感磁能的改变求得）单位长度导线的磁能改变可由自感磁能的改变求得adlL101ln adlL202ln JILILW52122105.52121 能量的来源电源做功能量的来源电源做功3 3、把、把1010 F F的电容器充电充到的电容器充电充到100V,100V,再通过再通过100100 的电阻和的电阻和0.4H0.4H的电感串的电感串联放电。试问：（联放电。试问：（1 1）此时电路处理于什么状态？（）此时电路处理于什么状态？（2 2）为使电路处理于）为使电路处理于临界阻尼状态，应再

5、串联或并联一个多大的电阻？或者应再串联或并联临界阻尼状态，应再串联或并联一个多大的电阻？或者应再串联或并联一个多大的电容？一个多大的电容？解、（解、（1 1）这是一个）这是一个RCLRCL串联的放电电路，电路的微分方程为串联的放电电路，电路的微分方程为022 LCqdtdqLRdtqd上述微分方程的特征方程为上述微分方程的特征方程为012 LCPLRPC122LLRLRP ;时电路处于过阻尼状态0LC12LR当2 ;时电路处于临阻尼状态0LC12LR当2 态;时电路处于阻尼振荡状0LC12LR当2 由题目所给数据，有由题目所给数据，有状态;所以电路处于阻尼振荡,0LC12LR2 （2 2）设电

6、路处于临界阻尼状态时的总电阻为）设电路处于临界阻尼状态时的总电阻为RR，则，则0C122 LLR 400R应再串联的电阻为应再串联的电阻为100100 设电路处于临界阻尼状态时的总容为设电路处于临界阻尼状态时的总容为CC，则，则0C122 LLRFC 160 应再并联的电容为应再并联的电容为FC 15010160 4 4、在、在-dxd-dx00为常数，其它区为常数，其它区域均为真空。若在域均为真空。若在x=2dx=2d处将质量为处将质量为m,m,电量为电量为q q（00）的带）的带电质点自静止释放。试问经过多少时间它能到达电质点自静止释放。试问经过多少时间它能到达x=0 x=0的位置。的位置

7、。d d0 xx解、由高斯定理可得电场分布解、由高斯定理可得电场分布0 dE 0 xE dx dxd 带电质点由带电质点由x=2dx=2d运动到运动到x=dx=d过程中过程中0 mdqa 方向向左方向向左 qmadt 0122 qmadt 0122带电质点由带电质点由x=dx=d运动到运动到x=0 x=0过程中过程中kxxqqEF 0 0 qk 带电质点在线性恢复力作用下作简谐振动带电质点在线性恢复力作用下作简谐振动)cos(tAx简谐振动的初始条件为简谐振动的初始条件为 cos0Adx mqAVV010sin mqmk0 2tan00 xV 0cos 初相位在第一象限初相位在第一象限带电质点

8、由带电质点由x=dx=d运动到运动到x=0 x=0过程中过程中,所需的时间为满足方程所需的时间为满足方程0)cos()(22 tAtx22 t 2arctan222 t带电质点由带电质点由x=2dx=2d运动到运动到x=0 x=0过程中所需的时间为过程中所需的时间为 2arctan212 ttt qm 02 qm 003.25 5、两块长为、两块长为a a宽为宽为b b的平行导体板在制成电容器时稍有偏的平行导体板在制成电容器时稍有偏?,?,使使两对宽度一过相距两对宽度一过相距d,d,另一宽过相距为另一宽过相距为d+h,d+h,且且hd.hd.若此电容若此电容器内充满了相对介电常数为器内充满了相

9、对介电常数为 r r 的电介质的电介质,试求电容器的电容试求电容器的电容.xahdxaxl 0)()(0 dhd aax)(xlo解解:两块间的等势面是一系列不同两块间的等势面是一系列不同.对应的平面对应的平面,而电场线则是一系列以而电场线则是一系列以o o点为中心的圆弧线点为中心的圆弧线,每条线上的电场强度大小近似相同每条线上的电场强度大小近似相同.不同圆弧线上的电不同圆弧线上的电场强度不同场强度不同.xahdUxlUxE )()(rrxahdUxExD 00)()(rxxahdUDx 0)(导体板上导体板上X X到到x+dxx+dx窄条上的电量为窄条上的电量为bdxxahdUdSxdQr

10、0)(bdxxahdUdSxQra 00)(dhdhabUrln0 dhdhd ln若dbaCr 0 dhdhabUQCrln0 221ln dhdhdhd若 dhdbaCr210 电容的一级近似6 6、抛物线形状的无穷长导线载有电流、抛物线形状的无穷长导线载有电流I.I.若焦点到顶点的距离若焦点到顶点的距离为为a.a.试求焦点处的磁感应强度试求焦点处的磁感应强度B.B.lIdPayx解解:抛物线方程抛物线方程pyx22 2pa ayx42 rldrIBd 304 jayixr)(jdyidxld jayixjdyidxrIBd)()(430 kxdykaydxrI )(430 kdxdxdy

11、xyarI 304 kdxaxyarI 24230 ayx42 kdxyarIBd 304 222)(yaxr 22)(yar ayx42 22223211)(1 axayarya204aIBd kaxadx22221 20042aIB kaxadx22221 作变量替换作变量替换ax2tan kdaIB 2020cos2 kaI40 7 7、如图所示、如图所示,ABCDA,ABCDA是闭合导体回路是闭合导体回路,总电阻为总电阻为R,ABR,AB段的一段的一部分绕成初始半径为部分绕成初始半径为r r0 0 的小圆圈的小圆圈.圆圈所在区域有与平面垂圆圈所在区域有与平面垂直的均匀磁场直的均匀磁场B

12、.B.回路的回路的B B端固定端固定,C,C、D D为自由端。为自由端。A A端在沿端在沿BABA方向的恒力方向的恒力F F的作用下向右移动。从而使圆圈缓慢缩小。设的作用下向右移动。从而使圆圈缓慢缩小。设在缩小过程中，线圈始终保持圆的形状。并设导体回路是软在缩小过程中，线圈始终保持圆的形状。并设导体回路是软的，阻力不计。试求此圆圈从初始半径的，阻力不计。试求此圆圈从初始半径r r0 0到完全闭合所需的到完全闭合所需的时间时间T T。F0rB 解：设在解：设在F F的作用下，的作用下，A A在在dtdt时间内右移时间内右移dx,dx,相应的圆圈半径相应的圆圈半径缩小缩小-dr,-dr,则则drd

13、x 2 圆圈内产生的感应电动势圆圈内产生的感应电动势，产生的热能为，产生的热能为dti 能量守恒得：能量守恒得：Fdxdti dtdrrBdtrBddtd 2)(2 Ri dtdtdrRBrFdr222242 222BrFRdtdr FRBrdrFRBrdtTr3222202200 8 8、如图，在一半径为、如图，在一半径为r r，质量为，质量为mm，可以无摩擦地自由转动，可以无摩擦地自由转动的匀质绝缘圆盘中部装有一纲线螺线管，其半径为的匀质绝缘圆盘中部装有一纲线螺线管，其半径为a,a,沿轴线沿轴线方向单位长度上绕有方向单位长度上绕有n n匝线圈。线圈中通以稳恒电流匝线圈。线圈中通以稳恒电流I

14、 I。在圆。在圆盘的边缘上均匀地嵌着盘的边缘上均匀地嵌着NN个等量正电荷个等量正电荷q q的小球。设开始时，的小球。设开始时，螺旋管中的电流为螺旋管中的电流为I I，圆盘静止，然后将电流切断。试求圆盘，圆盘静止，然后将电流切断。试求圆盘转动的角速度。转动的角速度。)(ti解、设切断电流后，在解、设切断电流后，在 t t时间内从时间内从I I减少为零，在此过程中电减少为零，在此过程中电流为流为i(t),i(t),产生的磁场为：产生的磁场为：)(ti)()(0tnitB 解解产生的感应电场为：产生的感应电场为：dtdrtE 2)(dtBSd)(dtdinadtdBS02 dtdinratE022)

15、(感应电流的方向与原电流方向一致感应电流的方向与原电流方向一致)(ti在半径为在半径为r r的圆周上的的圆周上的NN个小球所受个小球所受的总的切向力为的总的切向力为dtdinraNqtNqEtF022)()(它对转轴形成的力矩为它对转轴形成的力矩为dtdinaNqrtFtM022)()(由刚体的角动量定理可得由刚体的角动量定理可得dtdJdtJddtdLtM )()(dttMJd)(dtdtdinNqadttMJI02021)(nNqIaJ0221 nNqIadttM0221)(nNqIadttM0221)(221mrJ 202mrnNqIa 9 9、静电天平可测定静电电势差、静电天平可测定静

16、电电势差.如图如图,一空气平板电容器一空气平板电容器,两两极板的面积均为极板的面积均为S,S,相距相距x,x,下板固定下板固定,上板接到天平的左端上板接到天平的左端.当电当电容器没充电时容器没充电时,天平刚好平衡天平刚好平衡;若把电压若把电压V V加到电容器的两极板加到电容器的两极板上上,则需在天平的右端加上质量为则需在天平的右端加上质量为mm的法码的法码,天平才能平衡天平才能平衡,设设S=10cm2,x=1mm,m=0.01g,S=10cm2,x=1mm,m=0.01g,求所加的电压求所加的电压V.V.xV解、电容器内部的电场强度为解、电容器内部的电场强度为xVE 0 每个极板产生的电场强度

17、为和电场力分别为每个极板产生的电场强度为和电场力分别为02 E02022 SqF 2022xVS 天平平衡量时天平平衡量时2022xVSmg VxSmgV301049.12 1010、热核反应的点火温度：轻原子核结合成较重的原子核的、热核反应的点火温度：轻原子核结合成较重的原子核的过程叫做核聚变。核聚变能释放巨大能量。实现核聚娈的困过程叫做核聚变。核聚变能释放巨大能量。实现核聚娈的困难在于两核靠近时互相排斥，只有在极高温度下，轻核所获难在于两核靠近时互相排斥，只有在极高温度下，轻核所获得的热运动动能足以克服彼此之间的库仑力才能发生核聚变，得的热运动动能足以克服彼此之间的库仑力才能发生核聚变，故

18、称为热核反应。（故称为热核反应。（1 1）一个质子要有多大的动能（用）一个质子要有多大的动能（用eVeV表表示）才有可能与另一质子相接触？示）才有可能与另一质子相接触？（2 2）平均热运动的动能达到这一数值时，温度需要多高？）平均热运动的动能达到这一数值时，温度需要多高？（这一温度称为点火温度）（这一温度称为点火温度）MeVaqEP44.1402 ma1510 MeVaqkT44.142302 KT10101.1 考虑到粒子的速率遵从考虑到粒子的速率遵从MaxwellMaxwell分布律，因而在较低温度下分布律，因而在较低温度下已有少数粒子能具有所需的动能，所以大体上已有少数粒子能具有所需的动

19、能，所以大体上1 1亿度时能够亿度时能够实现点火。实现点火。11 11、静电透镜、静电透镜在示波器、电视显像等真空器件中都需要将电子束聚焦，使在示波器、电视显像等真空器件中都需要将电子束聚焦，使在荧光屏上形成清晰的光点。这时常采用静电透镜来达到此在荧光屏上形成清晰的光点。这时常采用静电透镜来达到此目的。静电透镜是由具有旋转对称形状的金属电极系统制成目的。静电透镜是由具有旋转对称形状的金属电极系统制成的，其中每个电极都有一定的电势，可以产生旋转对称的静的，其中每个电极都有一定的电势，可以产生旋转对称的静电场，这种电场对带电粒子的运动轨迹发生折射作用，与光电场，这种电场对带电粒子的运动轨迹发生折射

20、作用，与光学透镜对光线的作用相似。故这样的电极系统称为静电透镜。学透镜对光线的作用相似。故这样的电极系统称为静电透镜。左板右板光栏E0 U1E2Ez左板右板光栏E0 U1E2Ez光栏为圆金属片解：单光栏静电透镜的小孔两侧轴上的电场强度值不等。但在离开小孔稍远处场强值可看作常数，左侧为E1，右侧为E2-d+d rf设离轴线为r的电子，通过圆孔时，沿与轴线垂直的方向上的径向电场为Er，则在径向电场作用范围内，电子受到径向力Fr 作用。rreEF 设电子的径向速度为Vz,则在通过轴向距离 dz期间，径向速度的增量为 zrrrvdzmeEdtmeEdv 设电子的径向初速度为0,通过圆孔后径向速度的增量

21、为 zrddrvdzmeEv dzEmvevddrzr 由于电子速度很大，轴向速度变化很小，故当作常数。（-d，d)以外的区域轴向场强可视为0.设 在 x d 区，电 场 强 度 分 别 为 E 1 和 E 2为了求上式积分，取如图所示的圆柱面。利用高斯定理有：1E2Edx dx 0)(2122 EErdzErddr )(212EErdzEddr )(221EEmverdzEmvevzddrzr 电子通过圆孔后的偏转角，则)(2212EEmvervvtgzzr )(4)(221212EEeEEEemvrctgfkz 电子到达轴线上F点，F点离开圆孔的中心距离为与电子入射时离开轴线的距离r无关，

22、因此平行于入射到圆孔的电子束，全都会聚在F点，就像一束光线通过光学透镜时聚焦在焦点上一样，F就是静电透镜的焦点，f就是焦距。12、静电泄漏与防止静电灾害当静电荷在带电体上迅速聚集而得不到快速泄漏时,可能因为产生静电放电而造成危害.设均匀介质的介电常数为,电导率为.试求它所带电量因泄漏而衰减的规律,并讨论如何达到快速泄漏的要求.解：设带电体的电量为Q,包围此带电体是曲面为S,由高斯定理得QSdDS 此曲面泄漏的电流强度为 sSdjdtdQI DQdtdQ teQQ 0 teQ 0电导率越大,放电越快.在,有的规程强调规定弛豫时间小于0.2秒,以保证快速泄漏13、平行板电极真空二极管电流分布在极板

23、间距为d的平行板间加上电压V,两极板间抽成真空.电子热阴极(负阴极)逸出,在电场力作用下向阳极(正极)运动而形成电流.求两板间的电势分布及电流密度.解:两板间有电子所形成的空间电荷,两板间的电场不是均匀电场.设距阴极为x处的电子数密度为n(x),电势为(x),并取在阴极处(0)=0,(0)=0,阳极处阳极处(d)=U,(d)=U,在任一点处的电子的速度在任一点处的电子的速度v v满足方满足方程程 emv221nevj nej v emj2取高为dx的圆柱体作高斯面,由高斯定理可知板间的场强E满足方程0d dxE)(dxxE)(xE 0)()(dsdxdSxEdxxE 0)(dxxdE利用关系式

24、dxxdE)(电势满足的微分方程 emdxxd21)(022 340)(Cxx 试探法得以下方程上述微分方法利用边界条件x=0 可得(0)=0,0)0(emjC2490 2023249xemjx ）（利用边界条件x=d 可得(0)=U2320294Umedj 34 dxUx）（电流密度与电压不成正比,这种平行板二极管,欧?定律不适用.14、平行磁控管.如图电子由静止出发，在平行板电容器的电场力作用下由负极向正板板加速前进，与此同时，加一匀强磁场B垂直于电场方向，结束使电子沿曲线轨道运动。问已给极板间的电压V与板间距离d，磁感应强度B多大时，电子恰好不能到达正极板？（这是用磁场控制以使极板间电流

25、被截止的平行磁控管的原理）VExy解：取如图所示坐标系)(BvEedtvdm yxeBvdtdvm xyeBveEdtdvm xyeBveEdtdvm ）（1）（2由（1）（2）得 yyvmeBdtvdm22 tmeBCvysin t=0,vy=0）（3代代入入(2 2)得得到到（3 3）tmeBCBEvxcos 00 xvtBEC )cos1(tmeBBEdtdx tmeBBEdtdysin)4()sin(tmeBeBmtBEx )cos1(2tmeBeBmEy 当磁场B增大到电子恰好不能到达正极板时，应有y=d时，Vy=0,由（4）、（5）得)5(tmeB22eBmEd 2022edmVe

26、dmEB 当磁场大于以上B0值时，电子将回到负极板上，而当小于B0时，电子到达正板板而在两板间形成电流。15、磁带录音与放音输入电流信号磁带录音磁头m 101 磁记录是一项广泛使用的信息技术。它利用了铁磁材料的特性与电磁感应定律。以磁带录音与放音为例，用涂敷铁磁粉的磁带来记录声音信息。录音时，录音磁头的线圈内通以由输入的音频信号经放大后转化成的电流信号，当磁带以恒定的速度通过录音磁头的气隙下时，磁粉被磁化，磁化强度与该时刻的信号电流成正比，于是电流信息（从而声音信息）就存贮在磁带上。放音时，磁带以同样物速度通过磁头的气隙下时，磁粉？磁的强强弱变化引起放音磁头内磁场的变化，通过电磁感应，在输出线

27、圈中产生同步变化的电流，经放大再转化为声频信号。试分析磁带的电磁学原理。vzMM sin0录音与放音磁头要用磁导率比较大的而待？软磁材料，以使磁磁头的磁化强度较大，且与输入、输出电流同步变化。磁带上的磁粉则要用？磁和矫顽力都比较大的硬磁材料，以利于存贮信号。为保证磁头中磁感应强度值的变化与电流变化成正比，以避免失真，可在输入录音信号的同时，输入一个等幅振荡的电流，以使信号只在磁化曲线的直线部分变化。录音时，气隙中磁场与磁带上的磁化强度与信号电流成正比，则当磁带移动时，磁化强度M沿磁带的分布为f 2 放音时，磁带上的磁化强度与信号电流成正比，则当磁带移动时，磁化强度M沿磁带的分布为tBB sin

28、0 若放音磁头有N匝线圈，铁芯截面积为A，则全磁通tANB sin0 线圈中的感生电动势为tANBdtd cos0 输出电流为RtANBI cos0 为了抹去磁带中录入的信息，只要在磁带通过时，在磁头的线圈内通以等幅振荡电流就可以了，这就是消音。16、恒定磁场中下落的圆环一个半径为r,横截面积为A的圆环是由密度为d,电阻率为的金属制成的.把金属圆环放到磁感应强度值为B的辐射状磁场(B的方向垂直于圆环的轴线),如图所示.分析圆环在这恒定磁场中下落的运动情况.B圆环圆环解、圆环下落的瞬时速度为V时,由电磁感应定律可知,圆环中的感应电动势为rvB 2 ArrvBRrvBRI 222 感应电流感应电流

29、 BAv 安培力安培力 rvABrBIF222 其中圆环的质量其中圆环的质量rAdm 2 dmB 2 由第二定律得由第二定律得dtdvmFmg dtdvmvdmBmg 2终极速度终极速度02 vdmBmg 2Bgdvm dtdvmvdmBmg 2积分得积分得)1(2tdBmevv 下落距离下落距离 tdBmeBdtvs 21)(233/108.8mkgd m.107.18 TB5.0 22/86.5smmBgdvm 17、磁力悬浮如图，在铁芯顶端？上一个小铝环。当线圈中通以220v的交流电时，铝环便悬浮起来，试用电磁感应理论说明。铝环tII cos0 i解:设稳定后,原线圈中的电流强度为tII

30、 cos0 铝环中的感生电流强度为I则通过铝环所包围面积的磁通量为LiMI 铝环tII cos0 i式中M为互感系数,L为自感系数铝环电阻为R,则i满足微分方程iRdtLiMIddtd )(LtMIiLRdtdi sin0 当达到稳定状态时电流i将与交流电频率相同的角频率作周期性的变化.为求稳定状态下的电流I,可求微分方程的特解代入微分方程,可解得22200LRMIi 2 RLarctg铝环中的感生电流的幅值与I0 和M均成正比,但它的相位与原线圈中电流的相位相差,讨论两种情况:(1)铝环的电阻很小,确切地说,电阻R比感抗L小得多,这时=.这时原线圈与铝环中的电流方向相反,互相排斥,当斥力能够

31、平衡它所受到的重力时,铝环就能悬浮起来.若斥力很大,会出现”?环”现象.)cos(0 tii(2)铝环的电阻R不能忽略,则在/2和之间.这时i的方向与I的方向,时而相同,时而相反.但在一个周期内相反 的时间大于相同的时间.平均说来,相互排斥力胜过相互吸引力,铝环就悬浮在空中.只要铝环电阻比较小,而交流电的频率又较大,总能出现悬浮现象,由以上讨论可知,悬力悬浮是自感和互感共同作用的结果,不考虑自感,是不能解释磁力悬浮现象的.18、电磁制动器如图所示的电磁制动器是由非磁性的金属圆盘和放生垂直于圆盘的磁场的磁铁(没画出)组成.当圆盘转动时,因电磁感应而使圆盘受到阻力矩的作用,从而使其转速减慢直至停止

32、不考虑摩擦等其它阻力的影响.(1)求阻力矩的M的近似表达式;(2)开始制动后经过多长时间,圆盘的角速度减小到原来 的百分之一.r1rdBmrBaBavi 解、(1)在圆盘上沿径向长度为a的线段内因切割磁感应线而产生的感应电动势为小金属块的电阻为dadaR 1 沿径向流过这一块金属的感应电流为drBaRi 安培力BiaF draBrFM 222 制动力矩(2)由转动定律得dtdJM draB 222 dtdmr 221draB 222 Cdtd 21222mrdaBC cte 0 角速度减到1/1000时所需要的时间)/(33.2100ln1222211draBmroCt 磁场子越强,磁场子覆盖

33、面离轴越远,制动就越快.19、电磁异步驱动如果使磁铁所放生的磁场垂直地通过金属圆盘,则当磁铁转动时,将因电磁感应而驱使金属圆盘作同方向转动.同样,若磁场相对于金属线框作平行于线框平面的移动,也将驱使金属线框沿同方向的移动.以上现象称为电磁驱动.以金属线框驱动为例说明异步驱动的原理.如图,设矩形线框abcd质量为m,其回路电阻为R,在t=0时刻,线框一边ad与磁场边界重合,ad边长度为L,磁场务右移动速率为Vb,若线框移动速度为V,试证明:VVb.abdc解:设线框ad边与磁场边界重合时为计时零点,经时间t,磁场向右移动距离Vbt,线框向右移动距离为x,则在时刻t,通过线框的磁通量为lxtVBb

34、m)(则电磁感应定律,感应电动势的数值为)(dtdxVBldtdbm )(vVBlb 感应电流为逆时针方向)(RvVBlib 安培力方向向右RvVlBBilFb)(22 线圈运动满足动力学方程dtdvmRvVlBb )(22mRvVlBdtdvb)(22 )1(Atbevv mRlBA22 bvv 考虑初始条件对上式积分得20、高频感应加热处在交变磁场中的金属块，由于变化磁场放生的感应电动势在金属块中引起涡旋状感生电流，利用涡流所释放出的焦耳热来加热金属块，这就是高频感应炉的工作原理。如图，将一个直径为D，高为h的圆柱形金属块放在高频感应炉中加热。设感应炉线圈产生的磁场是均匀的，磁感应强度的方

35、均根为B*，频率为f。金属柱的轴平行于磁场，其电导率为。设金属是非磁性材料且涡电流产生的磁场可以忽略。试证明在金属柱内产生的平均热功率为3242*23hDBfP hDBhDBtBr cos02 解：考虑半径为r，厚度为dr的一个薄圆筒，如图所示，筒中的磁通量为tBrdtd sin02 该薄圆筒的电阻（沿圆周方向）为hdrrdR 2 该薄圆筒内涡流产生的瞬时热功率为rtdrhBrdRdP 220322sin21 drthBrPD 2203220sin21 thBDf 220423sin321 平均热功率为tdthBDfTPT 2204230sin3211 dthBDfTT242303211 2*

36、423321hBDf tdtBTBT 22002*sin1 式中21、电子感应加速器电子感应加速器在科学研究、工业生产以及医疗卫生事业等方面都得到了广泛的应用。其结构如图a所示。在电磁铁两极间有一个环形真空室，在交变电流的激励下，两极间出现交变的磁场，某一瞬间的磁感应线如图b所示。这交变磁场又激发一感生电场。从电子枪射入真空室的电子受到两个力的作用：一个是沿切线方向的感生电场，它使得电子不断加速，另一个沿径向的磁场力，它充当向心力，因此电子能保持在环形真空室内不断地作圆周运动。（1）电子感应加速器中，电子被加速的时间有多久？电子能获得多大能量？（2）要使电子维持在恒定的圆形轨道上加速，磁场的分

37、布应该满足什么条件？（3）若电子加速的时间是4.2ms，电子轨道内最大磁通量为1.8Wb，试求电子沿轨道绕行一周平均获得的能量。如果电子最后获得的能量为100MeV，电子绕行了多少周？如果电子轨道半径为84cm，电子运行的路程是多少？电子轨道真空室iEBve vdtBd)(a)(b)(c解(1)在磁场变化一个周期中，只有1/4的周期内才能满足磁场力为电子提供向心力和电子在圆轨道上被加速这样两个基本要求。(2)要维持电子在环形真空室的恒定圆形轨道上加速，应该使向心力随电子的速率增加而相应增加，由此可以推导出磁场分布情况所满足的条件。设半径为r的圆周内磁感应强度平均值为B则由电磁感应定律可知感应电

38、动势为dtBdrrEii22 电生电场强度为dtBdrEi2 另一方面，由动量定理，在dt时间内，电子动量增量为BedrdteEmvdi2)(积分得2Bermv )2(对于在半径为r的轨道上运动的电子有rvmevB2)3(由（2）（3）得2BB 电子能在一个稳定的轨道上运动，磁场分布满足的条件：每一时刻轨道上磁感应强度的值必须等于轨道内磁感应强度平均值的一半，这在设计电磁铁时所要求的。（3）Vdtd429102.48.13 电子？行一周获得的动能最后获得的动能100Mev,它线行的圈数为561033.242910100 N期间电子行的路程为kmrNL12302 22、感应电动机中的旋转磁场利用

39、三相交流电可以产生旋转磁场,如图所示,将三相交流电分别通以彼此成120度的线圈AA1,BB1和CC1中,在这三组线圈中将产生磁场B1,B2和B3.证明:三者的矢量叠迭给出一个大小不变但以恒定角速度放置的磁感应强度(称为旋转磁场).2B1B3BxytBBm cos1）（32sin2 tBBm）（32sin3 tBBmtBBBBBmx sin233cos3cos321 tBBBBmy cos233sin3sin23 总磁感应强度B的大小为myxBBBB2322 ttgBBtgyx B矢量与y轴的夹角为t 因此合磁场以恒定的角速度旋转.如果在这样的旋转磁场中放一个笼子,其转轴垂直于旋转磁场平面,则当

40、磁场旋转时,转子中将产生感应电流,转子将跟着旋转,这就是感应电动机的原理.但转子的转速必小于旋转的磁场,与电磁异步驱动.23、电容器的充放电过程Rc Kqq CqdtdqR )1(RCteQq 充电RC 时间常数Qq63.0 RCt qt0Q Q63.0RC大充电时间长 53 tCqdtdqR RCtQeq 放电RCteVV 0qt0Q Q37.0放电时间 32 t24 试用Maxwell速度分布律计算每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数。已知速度分布律如下：kTmvxxxekTmNdvdNvf22122)(解：取直角坐标xyz，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积dA.设单位体积内的分子数为n，则

41、单位体积内速度分量在vx-vx+dvx区间内的分子数为xxdvvnf)(在该速率区间内的分子数在dt时间内能够与dA 相碰的分子数为xxxdvvdAdtnfv)(因此每秒碰到单位面积器壁上的分子数为xxxdvvnfvN)(0 xkTmvxdvekTmnvx221022 212 mkTn mkTv 8 因此每秒碰到单位面积器壁上的分子数为vnN41 dAdtvx25 试用Maxwell速率分布律证明平动动能在-+d 内分子数占总分子数的百分比为 dekTdfkT 2123)(2)(并根据上式求分子平动动能的最概然值和平均值。解：221mv mdv2 dvvfdf)()(dvekTmkTmv223

42、224 dekTkT 2123)(2kTekTf 2123)(2)(0)(fkTp21 分子平均平动动能为kTdf23)(0 如图，瓶内盛有气体，一横截面为A的玻璃管通过瓶？插入瓶内。玻璃管内放有一质量为m的光滑小球。设小球在平衡位置时，气体的体积为V，压强为P=P0+mg/A.其中P0是大气压强。现将小球稍向下移运，然后放手，则小球将以周期T在平衡位置附近作简谐振动。假定在小球上下振动的过程中，瓶内气体进行的过程，瓶内气体进行的过程可看出准静态绝热过程，试证明：小球的振动周期为PAmVT 2 0 y解：小球振动过程气体被压缩或膨胀，此过程当作绝热过程。cV P01 dPVdVV PAyVPd

43、VVPdP yAVPdPAF2 小球受恢复力的作用，F为准弹性力。222dtydmyAVPF 02 ymVPAy 02 yy mVPA2 mVPAT2/22 22PAmV 2224PTAmV 27：宽L的河流，流速与离岸距离成正比，已知两岸处的流速为零，河中心的速度为v0，一小船以恒定的相对速度Vr垂直于水流从一岸驶向另一岸。在离岸L/4处因故突然掉头，以相对速度vr/2垂直于水流驶回本岸。（1）试求小船的运动轨道；（2）小船返回本岸时离原出发点的距离是多少？4Lxy解：设如图坐标系iyLvu02 水流速度jvvrr 船的相对速度jviyLvvuvrr 02船的绝对速度yLvdtdx02 rv

44、dtdy yLvvdydxr02 CyLvvxr 20CyLvvxr 20X=0,y=0 c=020yLvvxr 这是一条抛物线，在离离岸L/4处，船的坐标rvLvx1601 41Ly 返航时船的绝对速度jviyLvvr220 yLvdtdx02 2rvdtdy yLvvdydxr04 CyLvvxr 202X1和y1代入上式得rvLvC1630 202yLvvxrrvLv1630这也是一条抛物线，回到本岸时，y=0,故离原出发点距离为 2xrvLv163028、如图（a)所示，在固定不动的圆柱体上绕有绳索，绳的两端挂大小两桶，其质量分别M=1000kg和m=10kg.绳与圆柱体之间的摩擦系数

45、为=0.05,绳子的质量不计。试问为使两桶静止不动，绳至少需绕多少圈？mMTdTT dN d2 d2 dTdTT dN d2 d2 d1解、当绳与柱体之间的摩擦力为最大静摩擦力时，圈数最少。取一小段绳子进行受力分析得下列方程dNdTddTdNdTddT 2cos2cos)2sin2sin)TT（dNddTdNddTT 2cos2sin2）（22sin dd 12cos ddNdTdNddTT 22）（因为NdTd 忽略高级小量 dTdT CT lnmgT 0 mgCln mgeT 设绳绕n圈nmgeMg 2 157.14ln21 mgMgn 29 29 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，设

46、空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，即即 ，K K为比例系数为比例系数 .抛体的质量为抛体的质量为 m,m,初初速速 为为 ，抛射角为，抛射角为 .求抛体运动的轨迹方程求抛体运动的轨迹方程 .vkFr0v解解 取如图所示的取如图所示的 平面坐标系平面坐标系Oxyxxxktmmavvddyyykmgtmmavvddtmkxxddvvtmkkmgkyydd vvPrF0v Avxycos00vvxsin00vvy0tmktx/0ecosvvkmgkmgmkty/0e)sin(vvtmkxxddvvtmkkmgkyydd vvPrF0v Avxy0k)e1)(cos/0mktkmx(vtkmgkmg

47、kmymkt)e1)(sin(/0v)cos1ln()cos(tan0220 xmkkgmxkmgyvv当阻力很小时，上式可近似为当阻力很小时，上式可近似为220cos2tanxgxy 2v 飞船登月飞船登月3030、一质量、一质量 的登月飞船的登月飞船,在离月球在离月球表面高度表面高度 处绕月球作圆周运动处绕月球作圆周运动.飞船采用飞船采用如下登月方式如下登月方式 :当飞船位于点当飞船位于点 A 时时,它向外侧短时间它向外侧短时间喷气喷气 ,使飞船与月球相切地到达点使飞船与月球相切地到达点 B ,且且OA 与与 OB 垂直垂直 .飞船所喷气体相对飞船的速度为飞船所喷气体相对飞船的速度为 .已

48、知已知月球半径月球半径 ;在飞船登月过程中在飞船登月过程中,月球的月球的重力加速度视为常量重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020.14mkm100h14sm1000.1ukm1700R2sm62.1g解解 设飞船在点设飞船在点 A 的速度的速度 ,月球质量月球质量 mM,由由万有引力和牛顿定律万有引力和牛顿定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 得得12120sm1612)(hRgRv21)(220vvvARmhRmBvv)(01sm1709)(RhR0Bvv

49、得得 当飞船在当飞船在A A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里向外喷气的短时间里 ,飞船的飞船的质量减少了质量减少了m 而为而为 ,并获并获得速度的增量得速度的增量 ,使飞船的速使飞船的速度变为度变为 ,其值为其值为vAvmu质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 ,角动量守恒角动量守恒m0vAvBBvuvhORA飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后,在到达月在到达月球的过程中球的过程中,机械能守恒机械能守恒21)(220vvvA1sm1709BvRmmGhRmmGMM2B2Avmvm2121RmGhRmGMM222B2Avv即即1sm1615Av于是

50、于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv0vAvBBvuvhORA3 13 1、如 图，飞 船 绕 地 球 作 圆 周 运 动，离 地 面 的 高 度、如 图，飞 船 绕 地 球 作 圆 周 运 动，离 地 面 的 高 度h=800Km(h=800Km(轨道半径轨道半径r r0 0=R+h),=R+h),速度速度v v0 0=3=3 10104 4km/h.km/h.经过短暂经过短暂的沿矢径向外侧喷气，飞机获得了指向地心的的附加速度的沿矢径向外侧喷气，飞机获得了指向地心的的附加速度vr=800km/hvr=800km/h，其轨道变为椭圆。设喷气后飞船的质量可看，