数学人教A版选修4-1课件：本讲整合2.pptx

1、-1- 本讲整合 -2- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 -3- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题一 与圆有关的角的计算与证明 圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆 有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心 角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、 弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助于圆内接四边形的对角 互补和圆的切线垂直于经过切点的半径来解决. -4- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 应用 1 已知,如图, 与 的度数之差为 20 , 弦与交于点,CEB=60 ,则CAB

2、 等于( ) A.50 B.45 C.40 D.35 CAE-ECA=20. 又CEB=CAE+ACE=60, CAE=40,即CAB=40. 答案:C 解析: 与 的度数之差为20 , -5- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 应用2如图,已知D,E分别是ABC的BC,AC边上的点,且 ADB=AEB.求证:CED=ABC. 提示:要证明CED=ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证 明A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故 采用分类讨论来解决. -6- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 证明:作ABE的外接圆,则点D与

3、外接圆有三种位置关系:点D 在圆外;点D在圆内;点D在圆上. (1)如果点D在圆外,设BD与圆交于点F,连接AF, 如图.则AFB=AEB.而AEB=ADB,则 AFB=ADB.这与“三角形的外角大于任一 不相邻的内角”矛盾.故点D不能在圆外. (2)如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于点F,连接AF,如图, 则AFB=AEB. 又因为AEB=ADB, 所以AFB=ADB. 这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾. 故点D不可能在圆内.综上可得,点A,B,D,E在同一圆上.所以 CED=ABC. -7- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题二 与圆有关的线段的

4、计算与证明 在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,先考虑圆幂 定理,即相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,得到 成比例线段,再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等量代 换加以证明或列出方程解得线段的长. -8- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 解析:由于 AB 是O 的切线,则 AB2=AC AD. 又 AC=4,AB=6,所以 AD= 2 = 9. 所以 CD=AD-AC=9-4=5. 又 P 是 CD 的中点,所以 PD=PC= 5 2. 又 MN 与 CD 交于点 P, 则 MP NP=PD PC= 25 4 . 专题一 专题二 应用3如图,过O外一点A作一

5、条直线与O交于C,D两点,AB切 O于B,弦MN过CD的中点P.若AC=4,AB=6,则 MP NP= . 答案: 25 4 -9- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 应用4在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点 C,D,交另一圆于点E,F. 求证:CG ED=EG CF. 提示:简单型的比例线段问题,首先考虑证明两个三角形相似. 证明:如图,连接AD,AE,BC,BF. D=ABC,AGD=CGB, ADGCBG. AG BG=CG DG. = , -10- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 同理AEGFBG, = . AG BG=

6、EG FG. 由可得 CG DG=EG FG, = , - = -. = , ED=EG CF. -11- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 1(2015 天津高考,理5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦 CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为 ( ) A. 8 3 B.3 C. 10 3 D. 5 2 -12- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 解析:由相交弦定理, 因为M,N是弦AB的三等分点, 所以AM=MN=NB,MB=AN. 所以AM MB=AN NB. 答案

7、:A 得 = , = . 所以 CM MD=CN NE,即 24=3 NE,解得 NE= 8 3. -13- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 解析:由切割线定理得EC2=EB EA, 即12=EB (EB+4),可求得EB=2. 连接OC,则OCDE,所以OCAD, 答案:3 所以 = ,即 4 6 = 2 ,所以AD=3. 2(2015 广东高考,文15)如图,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点, 过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若 AB=4,CE= 2 3,则 = _. -14- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送

8、 2 3 4 1 5 6 7 8 3(2015 重庆高考,理14)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆 O的切线与DC的延长线交于点P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,则BE= . 解析:因为PA是圆的切线, 所以有PA2=PC PD, 因此CD=PD-PC=9. 又因为CEED=21,所以CE=6,ED=3. 又由相交弦定理可得AE BE=CE ED, 答案:2 于是 PD= 2 = 62 3 = 12, 所以 BE= 63 9 = 2. -15- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 4(2015 广东高考,理15)如图,已知A

9、B是圆O的直径,AB=4,EC是圆O 的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于 点D和点P,则OD= . -16- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 解析:设 OD交劣弧 于点M,由 OPBC,得 OP= 1 2 ,为AC的中 点,PM= 3 2. 由切割线定理得 DC2=DM (DM+4). 在ABC中,AC为直角边, 且 AC= 2-2= 42-12= 15, 所以 CP= 15 2 . 在 RtDCP中,DC2=(DM+PM)2+CP2, 联立可求得 DM=6,所以 OD=8. 答案:8 -17- 本讲整合 知识建构 综

10、合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 5(2015 课标全国高考,理22)如图,AB是O的直径,AC是O的切 线,BC交O于点E. (1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线; (2)若 OA= 3,求ACB 的大小. -18- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 解:(1)连接AE,由已知得,AEBC,ACAB. 在RtAEC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE. 连接OE,则OBE=OEB. 又ACB+ABC=90, 所以DEC+OEB=90, 故OED=90,DE是O的切线. (2)设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 3,

11、= 12-2. 由射影定理可得,AE2=CE BE, 所以 x2= 12-2,即x4+x2-12=0. 可得 x= 3,所以ACB=60 . -19- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 6(2015 课标全国高考,理22)如图,O为等腰三角形ABC内一 点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G, 且与AB,AC分别相切于E,F两点. (1)证明:EFBC; (2)若AG等于O的半径,且AE=MN= 2 3,求四边形的面积. -20- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 解:(1)由于ABC是等腰三

12、角形,ADBC,所以AD是CAB的平 分线. 又因为O分别与AB,AC相切于点E,F, 所以AE=AF,故ADEF. 从而EFBC. (2)由(1)知,AE=AF,ADEF, 故AD是EF的垂直平分线. 又EF为O的弦,所以O在AD上. 连接OE,OM,则OEAE. -21- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 由AG等于O的半径得AO=2OE, 所以OAE=30. 因此ABC和AEF都是等边三角形. 因为 AE=2 3,所以AO=4,OE=2. 因为 OM=OE=2,DM= 1 2 = 3, 所以 OD=1. 于是 AD=5,AB= 10 3 3 . 所以

13、四边形 EBCF 的面积为 1 2 10 3 3 2 3 2 1 2 (2 3)2 3 2 = 16 3 3 . -22- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 7(2014 课标全国高考,文22)如图,四边形ABCD是O的内接四边 形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (1)证明:D=E; (2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:ADE为 等边三角形. -23- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 (1)证明:由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE. 由已知得CBE=E,故D

14、=E. (2)解:设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC,知MNBC,故O在直 线MN上. 又AD不是O的直径,M为AD的中点, 故OMAD,即MNAD. 所以ADBC,故A=CBE. 又CBE=E,故A=E. 由(1)知,D=E,所以ADE为等边三角形. -24- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 8(2014 课标全国高考,文22)如图,P是O外一点,PA是切线,A为 切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延 长线交O于点E.证明: (1)BE=EC; (2)AD DE=2PB2. -25- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 4 1 5 6 7 8 证明:(1)连接AB,AC, 由题设知PA=PD,故PAD=PDA. 因为PDA=DAC+DCA, PAD=BAD+PAB,DCA=PAB, 因此BE=EC. (2)由切割线定理,得PA2=PB PC. 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理,得AD DE=BD DC, 所以AD DE=2PB2. 所以DAC=BAD,从而 = .