福建省莆田市2018届高三数学第三次月考试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 - 1 - 莆田一中 2018届高三年级第三次月考 数学 （理科）试题 一、选择题 ： (每小题 5 分，共 60分 ) 1.已知全集 RU? ，设集合 | lg( 1)A x y x? ? ?，集合 ? ?2 , 1 ,xB y y x? ? ?则 ()UA C B =（ ） A ? ?1,2 B ? ?1,2 C ? ?1,2 D ? ?1,2 2.如图，将半径为 1 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内 (阴影部分 )现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为 ( ) A.4 1 B.1 C 1 1 D. 2 3.若复数 z满足 z(i 1) 2i 1，则复数 z的虚部

2、为 ( ) A 1 B 0 C i D 1 4.已知 na 是公差为 1 的等差数列 , nS 为 na 的前项和 ,若 844SS? ,则 10a? （ ） . A. 172 B. 192 C.10 D.12 5.已知函数 1)1ln ()( 2 ? xxxf ，则(lg2)f1(lg )2f等于 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 6.已知)nx的展开式中第 4项与第 8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.12B11C102D97. 九章算数中，将底面是直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图 中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧

3、面积为 ( ) A 2 B 4 2 2 C 4 4 2 D 6 4 2 8.如图 ,给出的是计算 12 14? 1100的值的一个程序框图，则 图中判断框内处和执行框中的处应填的语句是 ( ) A.i100， n n 1 B i100， n n 2 C i50， n n 2 D i 50， n n 2 9.已知双曲线 222:14xyC b?( 0)b? 的一条渐近线方程为 62yx? ， 12,FF分别为双曲线- 2 - C 的左右焦点， P 为双曲线 C 上的一点， 12| |:| | 3:1PF PF ? ，则 21|PF PF? 的值是（ ） A 4 B 26 C 210 D 6105

4、 10. 已知函数 )sin()( ? ? xAxf ( ?,A 均为正的常数 )的最小正周期为 ? ，当 ?32?x时，函数 )(xf 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A )0()2()2( fff ? B )2()2()0( ? fff C )2()0()2( fff ? D )2()0()2( ? fff 11. 已知 F 为抛物线 2yx? 的焦点，点 ,AB在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，且 6OAOB?（ O 为坐标原点），若 ABO? 与 AFO? 的 面积分别为 1S 和 2S ，则 124SS? 最小值是 ( ) A. 732 B. 6 C. 132 D. 43 12

5、. 已知函数 ? ? ? ?l n 2 2 4 ( 0 )f x x a x a a? ? ? ? ? ?,若有且只有两个整数 1x , 2x 使得? ?1 0fx? ,且 ? ?2 0fx? ,则 a 的取值范围是（ ） A. ? ?ln3,2 B. ? ?2 ln3,2? C. ? ?0,2 ln3? D. ? ?0,2 ln3? 二、填空题： (每小题 5 分，满分 20分 ) 13.已知向量 )1,1( ?a ， )4,6( ?b ,若 )( bata ? ，则实数 t 的值为 _. 14. 若实数 ,xy满足不等式组 221xyyxy?， 则 22( +2) +( 3)xy? 的最大

6、值和最小值之和为 _. 15. 某运动队对 , , ,ABCD 四位运动员进行选拔 ,只选一人参加比赛 ,在选拔结果公布前 ,甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是 C 或 D 参加比赛”；乙说：“是 B 参加比赛”；丙说：“ ,AD都未参加比赛”；丁说：“是 C 参加比赛” .若这四位教练中只有两位说的话是对的 ,则获得参赛的运动员是 _. 16 在 ABC 中 ， 若 3sin 2sinCB? ， 点 E ， F 分别是 AC ， AB 的中点 ， 则 BECF 的取值范围为 三、解答题： (本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 .) - 3

7、 - 17.(12分） 已知 数列 na 的前 n 项和 24nS n n? （ 1） 求数列 na 的通项公式 （ 2） 求数列 72 nna?的前 n 项和 .nT 18.(12分） 矩形 ABCD 中， 1AB? ， 2AD? ，点 E 为 AD 中点，沿 BE 将 ABE? 折起至PBE? ，如下图所示，点 P 在面 BCDE 的射影 O 落在 BE 上 . （ 1） 求证： BP CE? ； （ 2）求二面角 B PC D?的余弦值 . 19 (12 分） 2018 年莆田市创建文明城市圆满结束，成绩优异。在创建文明城市过程中，为增强市民的节能环保意识 ,我市面向全市征召义务宣传志愿

8、者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者 ,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 , 2 5 , 2 5 , 3 0 , 3 0 , 3 5 , 3 5 , 4 0 , 4 0 , 4 5 （ 1）求图中 x 的值 ,并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年 龄在 ? ?35,40 岁的人数； （ 2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20名中采用简单随机抽样方法选取 3名志愿者担任主要负责人，记这 3名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为

9、X ，求 X 的分布列及数学期望 - 4 - 20.（ 12 分 )已知椭圆 22:1xyC ab?过点 ? ? ? ?2,0 , 0,1AB两点 （ 1）求椭圆 C 的方程及离心率； （ 2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，求证：四边形 ABNM 的面积为定值 21.（ 12 分 ) 已知函数 ? ? ? ?2 112 ln 2f x a x a a xx? ? ? ?. (1) 设 ? ? ? ? 1g x f x x?，求函数 ?gx的单调区间； (2) 若 0a? , 设 ? ? ?11,A x f x

10、， ? ? ?22,B x f x 为函数 ?fx图象上不同的两点，且满足? ? ? ?121f x f x?，设线段 AB 中点的横坐标为 0,x 证明： 0 1ax? . 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答 .如果多做，则按所做第一个题目计分。 22.（ 10 分 )在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为?225223tytx(t 为参数 )，在极坐标系 (与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 ? sin52? 。 (1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、

11、 B 。若点 P 的坐标为 )5,3( ，求 PBPA? 。 23.（ 10 分 )已知函数 错误！未找到引用源。 .（ 1）求 错误！未找到 引用源。 的图象与 x 轴围成的三角形面积；（ 2）设错误！未找到引用源。，若对 错误！未找到引用源。 恒有 错误！未找到引用源。 成立，求实数 a的取值范围 . - 5 - 参考答案 一、选择题 ： CABB DDCC CABC 二、填空题： 13. 5 14.35215.B 16 17( , )48 17 解析： （ 1）当 2n? 时 , ? ? ? ? 221 4 4 1 1 5 2n n na S S n n n n n? ? ? ? ? ?

12、 ? ? ? ? ?， ?3 分 当 1n? 时， 113aS?适合上式 ， ? 4分 52nan? ? ? ? 5分 (2) 令17 122nn nna nb ? ?， 所以2 3 2 13 4 5 12 2 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 3 11 2 3 4 12 2 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 7分 两式相减得： 211 1 1 122 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ? ? 8分111211 212nnn? ? ? ? 10分33 2nn? ? 11分 故136 2n nnT ? 12 分 18.解析：

13、 （ 1）由条件，点 P 在平面 BCDE 的射影 O 落在 BE 上 ?平面 PBE? 平面 BCDE ， ? ? 1分 2 2 22 , 2 , B C 2 , B EB E C E C E B C? ? ? ? ? ? ? 3分 ,B E C E P B E B C D E P B E B C D E B E C E B C D E? ? ? ? ? ?平 面 平 面 平 面 , 平 面 平 面 CE?平面 PBE ，? ? 5 分 而 BP? 平面 PBE PB CE? ? 6分 （ 2）以 O 为坐 标原点，以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 BC 的直

14、线为- 6 - y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示直角坐标系 则 11, ,022B?， 13, ,022C?， 13, ,022D?， 20,0,2P? 8分 设平面 PCD 的法向量为 ? ?1 1 1 1,x y z? ? 则 1100CDCP?，即 11103 2 0xyz?，令 1 2z? ，可得1 20, , 23? ?设平面 PBC 的法向量为 ? ?2 2 2 2,x y z? ? 则 2200PBBC?，即 2 2 22200x y zy ? ? ?，令 2 2z ? ，可得 ? ?2 2,0, 2? ? 10分 ? ? 12121233c o s , 11? ?

15、?11分 考虑到二面角 B PC D?为钝二面角，则二面角 B PC D?的余弦值为 3311? ? 12分 19 解析： （ 1）因为小矩形的面积等于频率，所以除? ?40,35外的频率和为 0.70， ? ? (2分 ) 所以1 0.70 0.065x ?， ? (4分 ) 所以 500名志愿者中，年龄在? ?40,35岁的人数为0.06 5 500 150? ? ?(人 )；? (5分 ) （ 2）用分层抽样的方法，从中选取 20 名， 则其中年龄 “ 低于 35 岁 ” 的人有 12名， “ 年龄不低于 35岁 ” 的人有 8名 ? (6分 ) 故 X的可能取值为 0,1,2,3， ?

16、 ? 285140 32038 ?CCX，? ? 95281 32028112 ?C CX， ? ? 442 32018212? C，? ? 57113 320312 ?C,? (8分 ) 故 X的分布列为： - 7 - X 0 1 2 3 P28514952895445711? (11分 ) 所以14 28 44 11 171 90 1 2 3285 95 95 57 95 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (12分 ) 20.解析： （ 1）由题意得， 2, 1ab?， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 14x y?， ? (2 分 ) 又 22 3c a b? ? ?,所

17、以离心率 32ce a? (5 分 ) （ 2）设 ? ? ?0 0 0 0, 0, 0P x y x y?，则 220044xy?， 又 ? ? ? ?2,0 , 0,1AB，所以直线 PA 的方程为 ? ?00 22yyxx? ， 令 0x? ，得 002 2M yy x? ? ， ? (7 分 ) 从而 00211 2m yB M y x? ? ? ? ?，直线 PB 的方程为 001 1yyxx? 令 0y? ，得 00 1Nxx y? ? ，从而 0022 1NxA N x y? ? ? ? ?， ? (9 分 ) 所以四边形 ABNM 的面积： ? ?220 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 02 4 4 4 8 411 212 2 1 2 2 2 2x y x y x y x yS A N B M y x x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 00 0 0 02 2 4 4 222x y x yx y x y? ? ? ? ? 从而四边形 ABNM 的面积为定值 ?