（数学）导数常用的一些技巧和结论.pdf

1、导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧和结论 （2017 年全国新课标 1理21）已知 2 2 xx f xaeaex. （1）讨论 fx的单调性； （2）若 fx有两个零点，求a的取值范围. 解析： （1） 2 221211 xxxx fxaeaeeae 若0a ，则 0fx 恒成立，所以 fx在 R 上递减； 若0a ，令 0fx ，得 11 ,ln x ex aa . 当 1 lnx a 时， 0fx ，所以 fx在 1 ,ln a 上递减； 当 1 lnx a 时， 0fx ，所以 fx在 1 ln, a 上递增. 综上，当0a 时， fx在 R 上递减；当0a 时， fx在 1

2、,ln a 上递减，在 1 ln, a 上递增. （2） fx有两个零点，必须满足 min0f x，即0a ，且 min 111 ln1ln0f xf aaa . 构造函数 1lng xxx ，0 x . 易得 1 10gx x ，所以 1lng xxx 单调递减. 又因为 10g，所以 1111 1ln01101gga aaaa . 下面只要证明当01a时， fx有两个零点即可，为此我们先证明当0 x 时，lnxx. 事实上，构造函数 lnh xxx，易得 1 1hx x ， min 11h xh，所以 0h x ，即lnxx. 当01a时， 2 22 2 2 110 aeae aa f e

3、ee ， 2 333333 ln121ln11 ln10 a faa aaaaaa ， 其中 1 1ln a ， 31 lnln a aa ，所以 fx在 1 1,ln a 和 13 ln,ln a aa 上各有一个零点. 故a的取值范围是0,1. 注意：取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面： 22 33 202030ln1 xxxxxxx a aeaexaeaeeaeaex aa ； 另一方面：0 x 时， 2 20201 xxx aeaexaexx （目测的） 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln1xx，ln xx，ln 1xx （放缩成双撇函数

4、） 11 ln1 2 xxx x ， 11 ln01 2 xxx x ， 1 ln1xxx x ， 1 ln01xxx x ， （放缩成二次函数） 2 ln xxx， 2 1 ln 110 2 xxxx ， 2 1 ln 10 2 xxxx （放缩成类反比例函数） 1 ln1x x ， 21 ln1 1 x xx x ， 21 ln01 1 x xx x ， ln 1 1 x x x ， 2 ln 10 1 x xx x ， 2 ln 10 1 x xx x 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）1 x ex， x ex， x eex， （放缩成类反比例函数） 1 0 1 x ex x ， 1

5、0 x ex x ， （放缩成二次函数） 2 1 10 2 x exxx ， 23 11 1 26 x exxx ， 第三组：指对放缩 ln112 x exxx 第四组：三角函数放缩 sintan0 xxx x， 2 1 sin 2 xxx， 22 11 1cos1sin 22 xxx . 第五组：以直线1yx为切线的函数 lnyx， 1 1 x ye ， 2 yxx， 1 1y x ，lnyxx. 几个经典函数模型 经典模型一：经典模型一： ln x y x 或或 ln x y x . 【例 1】讨论函数 lnf xxax的零点个数. （1） 1 a e 时，无零点. 1 fxa x ， m

6、ax 11 ln10f xf aa . （2） 1 a e 时，1 个零点. 11 fx xe ， max ln10f xf ee . （3）当 1 0a e 时，2 个零点. 10fa （目测） ， 111 ln10 11111 aa f aaaaa ，其中 1 1 1 e a .（放缩） 10f eea . 22 11111 ln0faa aaaaa ，其中 2 2 1 ee a .（用到了 1 ln1xxx x ） （4）当0a 时，1 个零点. 1 0fxa x ，单调递增. 10fa ， 11 22 1111 10 aa aa a feaaeaa aaeea . 【变式】 （经过换元

7、和等价变形之后均可以转化到例 1： lnf xxax） ： 1. 讨论 lnfxxmx的零点个数（令xt， 2 m a） ； 2. 讨论 lnfxxmx的零点个数（令 1 a m ） ； 3. 讨论 lnfxxxmx的零点个数（考虑 fx g x x ） ； 4. 讨论 ln x fxmx x 的零点个数（考虑 g xx fx，令 3 2 tx， 3 2 ma） ； 5. 讨论 2 lnf xxmx的零点个数（令 2 tx，2ma） ； 6. 讨论 x f xaxe的零点个数（令 x et）. 经典模型二：经典模型二： x e y x 或或 x e y x 【例 2】讨论函数 x f xeax

8、的零点个数. （1）0a 时，1 个零点. 0 x fxea， x f xeax单调递增. 且 010fa ， 1 1 10 a fe a ，所以在 1 ,0 a 上有一个零点； （2）0a 时，无零点. 0 x fxe恒成立； （3）0ae时，无零点. min ln1 ln0f xfaaa； （4）ae时，2 个零点. 1 1 10 a fe a ， 10fea，2ln2ln20faa aaa e. 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： x f xeax） ： 1. 讨论 2x f xemx的零点个数（令2xt， 2 m a） ； 2. 讨论 x x em fx xe 的

9、零点个数（去分母后与 1 等价） ； 3. 讨论 x fxemx的零点个数（移项平方后与 1 等价） ； 4. 讨论 2x f xemx的零点个数（移项开方后换元与 1 等价） ； 5. 讨论 1x f xemx 的零点个数（乘以系数 e，令ema） ； 6. 讨论 ln x fxmx x 的零点个数（令 t xe，转化成 2） 7. 讨论 1x f xemxm 的零点个数（令1xt ， 2 m a e ） ； 经典模型三：经典模型三：lnyxx或或 x yxe 【例】讨论函数 ln a f xx x 的零点个数. （1）0a 时，1 个零点. 2 0 xa fx x ， ln a fxx x

10、 单调递增. 10fa ， 1 1ln 110 111 aa faa aaa . （2）0a 时，1 个零点（ 0 1x ）. （3） 1 a e 时，无零点. 2 xa fx x ， min ln10f xfaa （4） 1 a e 时，1 个零点. 0 1 x e . min 11 ln10f xf ee （5） 1 0a e 时，2 个零点. 22 111 ln0f aaaa aaa ， 1 10fea e ， 10fa ， 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： ln a f xx x ） ： 1.讨论 1 lnfxax x 的零点个数； 2. 讨论 lnfxmxx的零点个数（考虑 f x g x x ，令xt） ； 3. 讨论 x a fxx e 的零点个数（令 x et） ； 4. 讨论 x a fxe x 的零点个数； 练习题练习题 1. 已知函数 2 21 x fxxea x有两个零点，求a的取值范围. 2. 设函数 2 ln x fxeax，讨论 fx的导函数 fx的零点的个数. 3. 已知函数 2 1 x f xxeax有两个零点，求a的取值范围. 4.已知函数 2 1 2 x m f xexmx. 当0m 时，试讨论 yfx的零点的个数.