专题01 曲线和方程（训练篇A）含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题.docx

1、1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 A 1 专题专题 01 曲线与方程曲线与方程 训练篇训练篇 A 1. 已 知 抛 物 线的 焦 点 为， 准 线 为， 若与 双 曲 线 的两条渐近线分别交于点和点，且（为 原点） ，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 解解 因为抛物线的焦点为，焦点，准线 的方程为。 因为 l 与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且 为原点） ， 所以， ， ， 离心率为，故选 D. 2. 过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于、，在 上方，为抛物线上一点，则 . 解解 依题意求得：，设坐标为，有： ， 代

2、入有：，即 . 3. 双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若 ，则的面积为 （ ） A. B. C. D. 解解 双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨在 第一象限，可得，所以的面积为：. 故选. 4设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的 圆 与 圆交 于，两 点 ， 若， 则的 离 心 率 为 （ ） A. B. C.2 D. 2 4yxFll 22 22 1(0,0) xy ab ab AB | 4|ABOF O 23 25 2 4yxF(1,0)Fl1x 22 22 1(0,0) xy ab ab AB | 4|(ABOFO 2 | b AB a | 1OF 2 4 b

3、 a 2ba 22 5caba 5 c e a 2 4yxFx 2 4yxABA BM(2)OMOAOB (1,2)A(1, 2)BM( , )M x y ( , )(1,2)(2) (1, 2)(22,4)x y 2 4yx164 (22)3 22 :1 42 xy CFPCO | |POPFPFO 3 2 4 3 2 2 2 23 2 22 :1 42 xy C( 6F0) 2 2 yx P 2 tan 2 POF 6 ( 2 P 3) 2 PFO 133 2 6 224 A F 22 22 :1(0,0) xy Cab ab OOF 222 xyaPQ| |PQOFC 235 2 用思维

4、导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 A 2 解解 1 由题，得，为等腰直角 三角形，.故填 2. 解解 2由题意， 把代入， 得， 再由，得，即， ，解得.故选：. 5.设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限， 若 为等腰三角形，则的坐标为 . 解解 设，椭圆的， 由于为上一点且在第一象限，可得，为等腰三角形，可能 或，即有，即，；，即， 舍去.可得. 6.在平面直角坐标系 xOy 中取两个定点 A1( 6，0)，A2( 6，0)，再取两个动点 N1(0， m)，N2(0，n)，且 mn2. (1)求直线 A1N1与 A2N2的交点 M 的轨迹 C 的

5、方程； (2)过 R(3,0)的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，过点 P 作 PNx 轴且与轨迹 C 交于另一 点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若 RP RQ (1)，求证： NF FQ. 解解 (1)依题意知，直线 A1N1的方程为 y m 6(x 6)， 直线 A2N2的方程为 y n 6(x 6)， 设 M(x，y)是直线 A1N1与 A2N2的交点， 得 y2mn 6 (x26)， 又 mn2，整理得x 2 6 y2 21.故点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 6 y2 21. (2)证明：设过点 R 的直线 l：xty3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 N(x1，y1)

6、， 由 xty3， x2 6 y2 21， 消去 x，得(t23)y26ty30，(*) 所以 y1y2 6t t23，y1y2 3 t23. |OFc|OPa OPF 2 c e a 2 c x 222 xya 2 2 2 4 c PQa | |PQOF 2 2 2 4 c ac 22 2ac 2 2 2 c a 2 c e a A 1 F 2 F 22 :1 3620 xy CMC 12 MF F M ( , )M m nm0n 22 :1 3620 xy C6a 2 5b 4c 2 3 c e a MC 12 | |MFMF 12 MF F 1 | 2MFc 2 | 2MFc 2 68

7、3 m3m 15n 2 68 3 m30m (3, 15)M 3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 A 3 由 RP RQ，得(x 13，y1)(x23，y2)，故 x13(x23)，y1y2， 由(1)得 F(2,0)，要证 NF FQ， 即证(2x1，y1)(x22，y2)， 只需证 2x1(x22)，只需x13 x23 x12 x22， 即证 2x1x25(x1x2)120， 又 x1x2(ty13)(ty23)t2y1y23t(y1y2)9，x1x2ty13ty23t(y1y2)6， 所以 2t2y1y26t(y1y2)185t(y1y2)

8、30120，即 2t2y1y2t(y1y2)0， 而 2t2y1y2t(y1y2)2t2 3 t23t 6t t230 成立，即 NF FQ成立 7.设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B已知 3| 2|(OAOBO为原点） （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴 和直线l相切，圆心C在直线4x 上，且/ /OCAP求椭圆的方程 分析分析 第 （1） 题由题意可得32ab， 再由离心率公式可得所求值。 第 （2） 题求得2ac， 3bc，可用 c 表示椭圆方程，把直线FP的方程代

9、入椭圆方程可用 c 表示P的坐标，以 及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解出 c。 解解（1）3| 2|OAOB，即为32ab，可得 2 2 31 11 42 cb e aa 。 （2） 3 2 ba， 1 2 ca，即2ac，3bc， 可得椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc 。 设直线FP的方程为 3 () 4 yxc， 代入椭圆方程整理得 22 76130 xcxc， 解得xc 或 13 7 c x ，代入直线PF方程解得 3 2 c y 或 9 14 c y （舍去） ，所以 3 ( ,) 2 c P c。 圆心C在直线4x 上，且/ /OCAP，则

10、OCAP kk。设(4, )Ct，从而 3 2 42 c t cc ，解得 2t ，即(4,2)C，可得圆的半径为 2，由直线FP和圆C相切的条件为dr=2，于是 |3 4423 | 2 916 c ，解得2c ，所以4a ，2 3b 。 故所求椭圆方程为 22 1 1612 xy 8 （2020 郑州一模） 已知椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab 的离心率为 2 2 ， 且过点(1,0)C （1）求椭圆E的方程； C y P x O B A F 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 A 4 （2）若过点 1 ( 3 ，0)的任意直线

11、与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M， 求证，恒有| 2|ABCM 解解（1）由题意知1b ， 2 2 c a ， 又因为 222 abc解得，2a ，所以椭圆方程为 2 2 1 2 y x （2）设过点 1 (,0) 3 直线为 1 3 xty，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 由 2 2 1 3 1 2 xty y x 得 22 (9 18 )12160tyty，且0 则 12 2 12 2 12 , 918 16 , 918 t yy t y y t 又因为 11 (1,)CAxy， 22 (1,)CBxy， 12121212 2 1212 2 22 44

12、 (1)(1)()() 33 416 (1)() 39 1641216 (1)0 9183 9189 CA CBxxy ytytyy y ty yt yy tt t tt 。 所以CACB 因为线段AB的中点为M，所以| 2|ABCM 9.已知双曲线 C 的中心是原点， 右焦点为 F 3 0， 一条渐近线 m:x+ 20y ,设过点 A( 3 2,0)的直线 l 的方向向量(1, )ek v 。 （1）求双曲线 C 的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）若过原点的直线/al，且 a 与 l 的距离为6，求 k 的值； （3）证明：当 2 2 k 时，在双曲线 C 的右支上不存在

13、点 Q，使之到直线 l 的距离为6. 解解（1）设双曲线C的方程为 22 2(0)xy 3 2 ，解额2双曲线C的方程为 2 2 1 2 x y （2）直线:3 20l kxyk，直线:0a kxy 由题意，得 2 |3 2 | 6 1 k k ，解得 2 2 k 5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 A 5 （3） 证证 1 设过原点且平行于l的直线:0b kxy， 则直线l与b的距离 2 3 2 | , 1 k d k 当 2 2 k 时，6d 。 又双曲线C的渐近线为x20y， 双曲线C的右支在直线b的右下方， 双曲线C右 支上的任意点到直线

14、l的距离大于6。 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6。 证证 2 假 设 双 曲 线C右 支 上 存 在 点 00 (,)Q xy到 直 线l的 距 离 为6， 则 00 2 22 00 |3 2 6(1) 1 22(2) kxyk k xy 由（）得 2 00 3 261ykxkk。 设 2 3 261tkk， 当 2 2 k 时， 2 3 2610tkk； 2 2 22 21 3 26160 31 k tkk kk 将 00 ykxt代入（2）得 222 00 (1 2)42(1)0kxktxt 2 ,0 2 kt， 22 1 20,40,2(1)0kktt 所以，方程

15、(*)不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6 10.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于x轴的直线上的点， OP OM =，求点 6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 A 6 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 解解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，由已知得 1 ,4,3 7 ac ac ac 解得，w椭圆标准方程为 22 1 167 x

16、y w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）设( , )M x y，其中4,4x 由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16() x xy 整理得 2222 (169)16112xy，其中4,4x （i） 3 4 时，化简得 2 9112y ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 点M的轨迹方程为 4 7 ( 44) 3 yx ， 轨迹是两条平行于x轴的线段 （ii） 3 4 时，方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy ，其中4,4x 当 3 0 4 时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x 的部分； 当 3

17、1 4 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x 的 部分； 当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆 11.设)0(),(bbaP是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点), 1(b的直线. 记Q是直线l与抛物线pyx2 2 )0(p的异于原点的交点. （1）已知2, 2, 1pba. 求点Q的坐标； （2）已知点)0(),(abbaP在椭圆1 4 2 2 y x 上， ab p 2 1 . 求证：点Q落在双曲 线144 22 yx上； （3）已知动点),(baP满足0ab， ab p 2 1 .若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛 物线上，试问动点P的轨迹落在

18、哪种二次曲线上，并说明理由. 解解 (1) 只要把1,2,2abp代入解方程组即得Q的坐标为16, 8 7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 A 7 (2) 由方程组 2 1 xy ab ybx ,求出 1 , b Q a a ，代入 22 44xy，并利用1 4 2 2 b a 即可得到144 22 yx （3） 设轨迹方程为)(2 2 cxqy，0q 把Q a b a , 1 代入方程， 得 c a q a b1 2 2 2 ， 即 22 22qcaqab 不妨把, a b分别看成, x y， 即讨论方程 22 22yqxqcx表示的曲线， 其中qc是参数 () 当0qc时， 2 2yqx，此时点P的轨迹落在抛物线上； () 当 2 1 qc时， 2 2 2 11 24 xy cc ，此时点P的轨迹落在圆上； (iii) 当0qc且 2 1 qc时， 2 2 2 1 2 1 1 42 x yc q cc ，此时点P的轨迹落在椭圆上； ()当0qc时， 2 2 2 1 2 1 1 42 x yc q cc ，此时点P的轨迹落在双曲线上